Développer

cos(a -H ^x ^- yx'^ H- ^x^ -H £x4 -h ^x^ -h yix^ -+- etc.) en une série de la forme .

^ H- Bx H- Cx^ -H Dx^ -H £^4 ^- etc.

On a ^ = cosa; delà, B = — sina./3; continuant les dérivations, on a sur le champ , et sans être obligé de faire aucune réduction , ce qui suit ; yi ■= COS06 , B = — sin«. /3 ,

C= — sin». y '^^

^ . j, cosa ^ sina » D = — sin«.J 2,/3y -h r/3^»

. cosoî , ^n „. sina «-^ , cosa -

E =— sin«.s — -^-y- (2/SJ 4- y^) -4- j:^3- 3/3^ -^ 7X174* ^'

F = — 5in«.^ — ^. (2/3£ 4- 2y^) -H i^^. (3/3^^ -H 3/2y=)

cos« ^^ sina ,

etc. , et ainsi de suite.

ftÛ CAliCUt

33. Mais sans nous arrêter plus long- temps à des cas particuliers, nous allons donner onze termes du développement du cas général où la fonction du polynôme est quelconque , connue ou inconnue.

Soit donc la fonction exprimée généralement par

<P(« -H /3^ -+- 7^2 ^ ^^3 |» £,x4 -H ioc^ -h yjx^ -H etc.); le premier terme du développement est cp» ; en suivant la règle du numéro 3o, on écrit ^ur le champ les termes suivans, chacun se déduisant de celui qui le précède ; voici le développement :

(pa -f- DCpctf . /3.^ -f- DCpa. y

D2(pa

QiSy

D4(pQ5

•4- D(pa. >f

-f-3y2ji

D4(pQg 1.... 4 ^

D^ c3/32;7H-3/3(27^-hQ<5k)) ■3.2.3* ( -f-Sy^g + 3y^^ S

,Ç^. (4iSY-+-6i3'C2yg-+-(j2)^ 1... 4 ( 4- 4/33«y"J*-t-y4 Ij

■D^(pcc (5/3 4g ■ 1.... 5* (

^^-{6/35cr

DES

■^1.2.3 ( + 3y2^+3yQ<Fg4-(^3

pSçpQg (5/3^^+ lo/B^Qys + J^)) "^ 1.... 5' ( + io/B23y2^+ 5]3y4 i

DERIVATIONS. a^

dJ^ ( 3iS2; + 3/3(27^ + 2<J^ + Q£^)

"*" 1....4 (+4/3C3y2^+3y2d'fi+J3) + 4y3g + 6y2j2 çS^a (5/34^ + 10/3^(27^+ 2jg)

■^■i.... 5' (+io/3^(372g + 3yj^^) + 5/34y3^+y5!

, D^cpa (6/35^ + i5/3H2y£ + ^) + 20/3337^^

D9(paf ^j.

etc. On peut continuer ainsi sans peine autant qu'on voudra.

34. On pourroit développer de la même manière les fonctions suivantes , tang(« -+- ^Jc ^ yx'-" ^- etc. ), cotangC^ -h Cx ~h- yx^ -H etc.), arc.sin(« -+- Cx -\- yx^ -h etc.) , arc.cos(a -\- Cx -h- yx^ -4- etc.), log.sin(a-f-ë'x + 70^2 ~+- etc.), log.cos(a -+~ Cx -h yx^ -h etc.), et toutes sortes d'autres fonctions. Mais comme les quantités polynomialet

demeurent toujours les mêmes, et que les seules Dcp», -^-^ , — -^,

etc.

changent avec la nature de la fonction ; que d'ailleurs ces dernières quantités se trouvent toujours par les règles du calcul différentiel , puisqu'elles ne

sont autre chose que —^ , -^ — -, 7 . :■ , etc., d^» étant constante;

3o DUCAL CUI.

il suffira de substituer les valeurs de ces quantités dans le développement du numéro précédent, pour avoir celui de chaque fonction particulière.

On remarque , sans que fen avertisse , que si le polynôme n'est composé -{ que d'un nombre limité de termes , comme si l'on a (p (a -h Cx -f- y^^) , il suffit de traiter comme constant le coefficient y du dernier terme de ce polynôme ; de cette manière on ne calcule rien de superflu , et on a sur le champ le résultat tout réduit. x

35. Si ce n'est pas les dérivées divisées qu'on demande à déduire les unes des autres, mais bien les dérivées simples d. (pa , d^. (p^^ , Tt^.cpcc, etc., dégagées des divisions par les produits convenables de i , 2 , 3 , 4 î etc. ; voici comment on s'y prendra.

Soit en général vt^.^ot dé^^eloppée et réduite ; pour en déduire H" '^^.(poc, on multiplie chaque ternie de la dérivée proposée par n -f- 1 , indice de la nouvelle dérivée , et l'on eopécute les dérivations par la règle du n^ 3o.

Ainsi Ton trouve

D. Q^OC = T>(poC'C,

d2. (pc^ = QD(pa5. y -f- D2(pa. 5*2,

D^.Cpoc = 2.3.4D(p«. £ -H 3. 4 D2(pfl5. (Qg'(J -f- y2) -^- iiy^(pcc.3C^y 4- D4(p«.^4,

et ainsi de suite.

La règle précédente découle immédiatement de celle du n." 3o. En effet, il est facile de voir qu'elle mène au même résultat que l'on obtiendroit en

calculant , < par la règle du n.® 3o , et en multipliant ensuite chaque

terme par le produit i. z, 3,.. ^(/î+i), afin d'avoir D«-+-^(pc«.

36. Jusqu'à présent nous avons déduit chaque dérivée de celle qui la précède immédiatement , mais nous pouvons aussi faire l'inverse , et déduire en rétrogradant une dérivée quelconque de celle qui la suit immédiatement et qui est d'un ordre plus élevé d'une unité , c'est-à-dire , déduire le coefficient de 0?""^» daps la série, de celui de x^ On peut nommer cette opération une dérivation inverse, et la désigner par p--» ou par s, en faisants = d— » , (s est une petite capitale de caractère romain) ; cette opération répond à l'intégration comme la dérivation directe répond à la différentiation,

DESDERIVATIONS. 3l

Pour déduire une dérivée divisée de la dérivée divisée de l'ordre immédiatement supérieur , on observera la règle suivante : "

RÈGLE

Soit donnée — -^-— développée et réduite : pour remonter de cette dérivée à celle qui la précède d'un ranff. savoir à '— — ,

1.° Rejetez tous les termes où les dernières lettres sont élevées à des puissances plus hautes que la première ;

2.** Dans chaque terme terminé par une lettre simple, changez cette dernière lettre du terme en celle qui la précède dans l'ordre alphabétique , et toutes les fois qu'il se forme une nouvelle puissance , divisez par son exposant, >

Ainsi , soit donné , par exemple ,

2^ = i>(p«. n -H ^- (. Ci + =v^ -)- h) -4- ^*- (3 en + 3 e.y<r+y5)

on trouve par la règle précédente, pour la dérivée inverse '^ ,

Cette règle est l'inverse de celle du n.** 3o , et il est aisé d'en sentir la ' raison , sans qu'il soit nécessaire d'y insister ; iL suffit d'observer que les termes qu'on rejette sont ceux qui , dans les dérivées directes , proviennent des dérivations faites sur les avant- dernières lettres.

On peut calculer par cette règle, dans un ordre inverse, les termes du développement du n.° 53 , ce qui sert à la pratiquer et me dispense de l'appliquer à d'autres exemples.

37. S*il s'agit de faire des dérivations inverses pour former des dérivées simples , c'est-à-dire non divisées , on observera la règle suivante :

Sa DUCAliCTJL

Soit donnée D^.cpà développée et réduite', pour remonter de cette dérivée à celle de l'ordre immédiatement inférieur , D'*~"''.(|)«, divisez toute VexpreS" sionpar n, indice de la dérivée proposée , et suivez au reste la règle du n.° 36.

Ainsi de on déduit par cette règle

Cette règle est un corollaire des n.°^ 35 et 36.

38. Voici une autre manière de parvenir à la règle du n.° 3o , qui est à quelques égards plus simple et même plus directe que celle que nous avons employée. Elle ne suppose que ce qui a été dit n.°^ 1 , 2 , 3 et la règle du développement des puissances des binômes, et mériteroit peut-être la préférence dans une exposition abrégée de la méthode.

Dans (p{cc H- Coc -h 7^^ -H ê^^ -h etc.)

on peut considérer le polynôme oc -+- Coc ~\- yx^ H- etc. comme engendré de la manière suivante : soit d'abord « seule et soit Cx son accroissement , on aura a H- ê'-x; ; soit actuellement yx l'accroissement de ê", on aura oc H- Coc H- 7^2 j soit encore Sjo l'accroissement de y, le polynôme deviendra ce •+■ Cjo -4- yx^ -h- ^x^y et ainsi de suite.

Or, si on avoit d'abord (p(cc -h Cx) , Cx étant l'accroissement de <%, le développement seroit, n.°^ 2 et 3 ,

(P(« -^ Sx) =

(Poe -h B(pc».Sx H )r-.Ç2ac2 ^ 4i^. g'3^3 H iii^.^4a;4 -+- etc.

Que C croisse maintenant de yx , on aura d'une part

(p{cc -i- Cx -h yoo^), et de l'autre, en mettant C -{- yx au lieu de C dans C, S^ , C^, etc. considérées comme des fonctions de C -H yx , et ordonnant par rapport à x ,

(poc H- D^cc> Cx •+• DÇoc-yx. x

H ^*^* Q^ X^ H ^±— . T>Ç\yx. X^ H ^^ ^. 72 a;2. ^2,

H ^-5^4x4 H- etc.

DESD^RIVATIOXS. . 35

Si on met, de plus, y H- <îx au lieu de y, ensuite J" -4- g a; au lieu de S^ etc. ; on aura , d'une part ,

<P{oc -+- Cx -^ yx^ -H ^x^ H- sx^ -H etc. ) , et de l'autre , (P«tf -f- D(p«. 6'r H- ncpoC'yx.x •+- ■D(poc. ^x.x"^ -H -DCpoc» sx.x'^ H- etc.

Maintenant , ♦ après avoir calculé quelques termes de plus , qu'on fasse abstraction des x et qu'on suppose simplement l'accroissement de a = ê*, celui de 5*= y , etc. , ou bien n.cc = S", d.S" = y , n^y = ^^ etc. , et qu'on examine de quelle manière le coefficient d'un terme quelconque dérive du précédent , on parviendra sans peine à la règle du n.° 3o.

Si de plus on observe que y = n.C'y ^ = o.y = , DÊ'^.y = d^^. ^.^

■n3 /f naZfa d2 Zf d^Ê'^ d2 Zf2

D^3. y = D. ë*^, et ainsi de suite; on aura les premiers termes de la série (2) du n.o 21 ; d'où l'on conclura, quoique par une sorte d'induction, le théorème du n.° 20.

39. Introduisons ici pour les dérivées divisées une notation plus simple,

dont nous ferons souvent usage par la suite. Puisque dans ^7- , ,

le dénominateur se forme d'après l'indice ou exposant m du signe dérivatif d ,

ce dénominateur n'étant autre chose que le produit des nombres naturels 1 ,

2,3, etc. m , dont le dernier est cet indice même ; nous proposons de mettre

p*" au lieu de , le ^ au-dessous du d indiquant un coefficient déno-

minateur , déterminé par l'indice m. Ainsi on écrira indistinctement p-cp« ou

TT' P^^« o^ 1X3 ' ^'-^^ "^^ 777' ^ -^ '''' f:^' ^ -^ '''' I7rr4' ^'^•

^4 DUCAliCUIi V ^

§. III

Manières de calculer un terme quelconque du développement indépendamment de tous les autres,

40. La métliode que nous venons de donner offre des moyens simples de calculer un terme quelconque de la série dans laquelle se développe la fonction du polynôme , sans qu'on ait besoin de connoître les termes précédens ou subséquens; car les termes de ce développement sont la plupart composés eux-mêmes de plusieurs autres termes , et comme il est toujours facile d'avoir un de ceux-ci, tels que le premier ou le dernier, on peut en déduire les autres par dérivation , à peu près comme nous avons fait dériver les termes même de la série les uns des autres. Ces manières de calculer un terme de la série , isolé et hors de rang , étant souvent d'une grande utilité , nous les présenterons avec quelque détail ; elles sont fondées sur les formules des n.°^ 20 et 22*: comme celle qui résulte de la dernière de ces formules est la plus facile , nous allons l'exposer la première.

Observons d'abord en général , que , puisque les quantités affectées du signe de fonction, i^Q^oci P"'?'^^ P^^^ > ^^^' ' ^"^ entrent dans les formules citées, se calculent par les règles des différentiations , tout se réduit à faire voir comment on développe , en les faisant dériver les unes des autres , les quantités que nous avî)ns nommées polynomiales.

Première manière.