Si l'on suppose
X = — cx'^ — dx-^ — ex-^ — etc. ,
on aura , (Voyez plus bas le n.® 83.)
X"" = c2^-4 H- D. c2. ^-5 H- p2. c2. a;-6 4- ^'^.c^,x-i 4- etc. ,
^5 = — c^oj-^ — D.c^.x-l — p2. c3. a:;-8 — p3. ^3. a;-9 — etc.,
et il est visible que les termes du second ordre (n.*'^y4 et 76) seront représentés
par nXx^ ^ pourvu qu'on mette — Z» à la place de a;; et l'on voit également,
et très- clairement, que les termes du troisième ordre seront représentés par
-j , en mettant de même — ^ à la place de x après la différen-
tiation ; que , sous la même condition , les termes du quatrième ordre seront représentes par — — - — , et amsi de suite : de sorte qu on aura
^„ = ^« 4- nXx'' -\ î^ — ^ 4- - — î^ / 4- etc. ,
Q ax 3 1. Q da;2
pourvu qu'on regarde x comme la seule variable , et àx comme constante ; qu'on ait soin de rejeter les termes qui contiendroient des puissances négatives àe X, et qu'après les différentiations on change ^ en — b.
C'est la formule à laquelle Lagrange est parvenu , d'une manière différente, dans les Mémoires de Berlin , année 1 768 , pag. 261.
77. Si l'on ordonne le développement en c du n.*^ 74 suivant les puissances de ^ , la formule prend cette forme An = zç. b" ± nb''-\c ip nè«-3. D. c
. ï.cf/ ^-3 n-A.. n'5 ^]
±1 nbn-e |p4.c -— p2.c2 ^ ^__c3|
, f re-8 , «-7.71-8 , , n-6.re-7.re-8 ,1
zb etc. zb 72^° { D'^-^.c — etc. } ; où la loi est facile à saisir, et où les signes supérieurs ou inférieurs ont lieu suivant que n est un nombre impair ou pair. Mais il y a de remarquable que , si l'on fait attention qu'il ne faut ajouter une puissance nouvelle de c qu'aux quantités qui multiplient les puissances de b de rang pair , on déduit très-facilement les quantités polynomiales , exprimées en c , les unes des autres , par dérivation , en suivant la règle du n.° 3o ; et qu'on peut ainsi continuer sans peine la série développée et réduite : on s'arrêtera aux termes qui contiendroient des puissances négatives de ^.
En développant les quantités en c , la formule précédente devient la série que Waring a donnée au commencement de ses Medltationes algebraicce. Il l'a tirée des formules de Newton. La règle qu'il donne pour la former est fondée sur les combinaisons, et ne diffère pas au fond de celle de Vandermonde , à laquelle elle peut être ramenée ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas. La solution de Waring a été publiée la première ; elle se trouve déjà dans les Miscellanea analytica de cet auteur, imprimés en 1762.
Remarquons qu'on peut aussi ordonner suivant les puissances descendantes de Q le développement de la formule générale B'^.cpccf et y appliquer les observations précédentes. Nous laissons au lecteur à faire ce développement.
Problème.
78. Résolvons à présent le problème inverse : connoissant les sommes des puissances des racines d'une équation quelconque , exprimer un coëfûcient quelconque de l'équation en sommes de ces puissances.
Si Ton fait 1 = a, et log^ = A ^ l'équation (2) du n.° 69, savoir,
log(^z 4- ^z 4- cz2 -f- dz^ + etc.) = v^ — Bz z^ — ^3 — etc.,
donne , en prenant les exponentielles de part et d'autre , e étant le nombre dont le logarithme hyberbolique est l'unité ,
a H- hz + cz3 -I- dz^ H- etc. = ^^ - ^^ - 7^* - f^' - ^^'' ;
64 DUCAliCUL
ainsi tout se réduit à développer le second membre suivant les puissances de z. Or on a ( n.° 3o )
etc. ;
il est donc visible qu'en prenant positivement tous les 5 , -, -r-, etc. , mettant
b , c , b , etc. à leur place , et faisant ^ = o , on a (n.° 20 ) pour un coefficient quelconque de l'équation ( 1 ) du n.° 68,
/!„ = — p«-'. b H çn-i.b2 — -p«-3.b5 H- etc. ziz b« ;
ou bien , en écrivant les termes dans un ordre inverse ,
tf „ = rp — ^- 6« ±: ^— — ^. D.b«-» =n \ pa.i^»-*
±: i-__ p3.b«-3 qz etc. + -i-pn-^b^ p«-».b.
Les signes supérieurs ont lieu si n est impair , les inférieurs , si n est pair.
Ces formules , dont la loi est fort simple , se développent par les règles des numéros 47 et 43. Waring a aussi donné pour la solution de ce problème, une formule qu'il forme par les combinaisons , et qui s'accorde avec les nôtres ; elle se trouve dans ses Meditationes algebraicce , cap, I , probL III , coroll. f ainsi que dans son premier ouvrage de 1762.
(V.) 79. Nous rassemblons ici plusieurs remarques, utiles dans différentes occasions , et qui servent à donner plus d'étendue à la méthode. Si on ne vouloit pas ordonner le développement de ^{cc -\- ^oc -\- yx"^ + ^x^ -{- etc.) suivant les puissances de cr, mais par rapport aux quantités (^ot^ ncpc», p^(p«»> etc. , on trouveroit
CP» + D (p> 05. { C. a; + D. C. ^^ + p2.^.^3 j p3. g". ^4 -j- etc.} H- p2(p^. ^^2. ^2 | D. ^"2. a;3 4- p2.g'2.^4 -I- p3. C^. x^ -}- etc. } -f- p^(pa. {ê'3.x3 { jD.é'3.x4 + g2. g>3. jnS 4. p3. g'3. ^6 4- etc.} H- etc. , développement
développement qui se trouve en même temps ordonné par rapport aux dimensions des lettres C, «y , J , etc. , et où les quantités placées dans la même ligne horizontale dérivent les unes des autres avec la plus grande facilité au moyen de nos règles.
On peut parvenir bien simplement k l'expression précédente , car il suffit de faire Cx ~i^ yx^ -h ^x'^ -}- etc. = Tf^ et, après avoir développé (p(cc-{- tf), de mettre à la place de tt ^ tt^ , tt^ , etc. leurs valeurs en séries. Ce développement a de l'analogie avec celui des numéros y5 et 76.
