Soient à présent les quatre séries
z = «5/ -h J2 H- T>f^ -+- etc. , j = b a; -4- c a:2 -I- î) a;3 4- etc , x = bi^-^cç^-+- dv^ -H etc. , {/ = Ci^ -h y«2 | j^m3 i etc. , et qu'on demande z exprimé en u par une série de la forme z = Bu -f- Cu^ -f- Z)w^ -h etc.
On aura B = S5b^C» qni sera l'origine des dérivations*; et il faudra considérer le produit 25 bZ» comme fonction d'une quantité dont Q est la dérivée , ensuite le produit S3 b comme fonction d'une quantité dont ù est la dérivée , et enfin 95 comme fonction d'une quantité qui a b pour dérivée. On trouvera de cette manière ' a» 4.
B = «SbZ'g',
C = ^bby 4- {^^c -H (95c -H (lh^)l^^-}C^, ' ' ' '^ ''" '
D :=: mùS 4- {95bc -h (95c -f- eb^)^^}^^'^
4- {9)b<;? -H (25c -f- dh^^^bc -h (95b rH (Sabc H- Sb5)^3}^3^ etc.
Observons , et cela suit d'ailleurs de l'analyse du n.** 65 , qu'un terme quelconque B„ , lorsqu'il y a quatre séries données , est formé de tous les termes B ^ C , Z) , etc. Bn pour trois séries données , ces termes étant multipliés respectivement par p". g", p" " ^ C^ , p" ' ^ C^ , etc. , ^^ + ^ Cette observation et le procédé précédent s'étendent à un nombre quelconque de séries proposées. ' «^;-iup
56 DUCÀLcni.
Cas PARTlCUIilEB.
^j. Etant donnée la série
y z=i bx -+- cx^ H- dx^ -H ex^ -f- etc. , pn propose de substituer au lieu de x la série y elle-même pour avoir la série y ; ensuite de substituer de nouveau dans ^ la série / à la place de x pour avoir la série
y^ =z Bx -^ Cx^ -+- Dx"^ -h Ex^ -h etc.
Ce cas ne diffère pas de celui où l'on auroit les trois séries suivantes , dont les coëfficiens sont les mêmes ,
z = by -+~ cy"^ -H dy"^ -H etc. , y = bx -H cx^ -H dx^ -f- etc. , x = bw-+-cv^'^-'dv^-{- etc. ,
et où l'on demanderoit z exprimée en une série en t^. Il n'y a donc qu'à faire dans la solution précédente ( n.° 65) ,
^ = h = b, S==c = c, X> = t = d, etc. , et ç» = x, et l'on aura B = h\=i b\ b ,
C = b^-D.b -H {bT,.b -+- ■D.b.b'^)b^^
D = b^^\b -H {bT>.b H- d. Z^.^^ju.^a ^(^p2. ^ ^ n.b.jy.b^ -+- ^^.b.b^)b^, E = b^y'^.b -h (bjy.b -{- ■D.b.b^)B^.b^ -f- (b^^, b -^- n.b.Tt.b^ H- ■^^.b.b'^)Ty.b'^
etc. , où la loi est manifeste.
(IV
68. Plaçons ici le problème suivant , parce que notre méthode en rend la solution très-simple , et que cette solution , comparée avec celles qui ont déjà été données du même problème , fera faire des rapprochemens intéressans.
Problème.
Étant donnée une équation d'un degré quelconque , , ,,/ x^ H- bx^-^ ■+- cx"'-^ -+- dx'"-'^ -4- etc. =0, .... (1 )
dont «, C, y, <J, etc. sont les racines; on propose de trouver la somme des « puissances
»ESD:éllIVATIONS. 5y
puissances n de ces racines immédiatement en coëfficiens de l'équation et sans passer par les sommes des puissances inférieures.
69. Nous établirons d abord un lemme connu. Puisque «, ff, «y, <J, etc. représentent les racines de. l'équation proposée, on a, p^r la théorie des* équations,
xm f hx^-^ •+- cx"*'^ -+- dx^-^ H- etc. =
{x — cc){x — Ç){x — y){x — è)X ;
en faisant a; = - , et multipliant tout par z"^ , cette équation devient 1 -4- ^z 4- cz2 f- dz^ H- etc. = (1 — a2)( 1 — 0*2) (1 — «yz)(i — ^2) X ...., et , en prenant de part et d'autre les logarithmes ,
log(i H- ^2 -f- cz2 H- dz^ H- etc.) = log ( 1 — az) H-log ( 1 — g*2) -+- log ( 1 ^ «>/2) -H log( 1 — h)'^~QlC. y mais, puisqu'on a généralement (n.» 3.)
log(i — TTïz) = — mz 22 — --23 24 — etc.,
on trouve
Iog(i -4- ^2 H- cz^ -i- dz^ -4- etc.) =
— («H-ê'-hy-^-J-f- etc. )z
— {u^ -f- g*2 ^ y2 -^ (^2 4. etc.)^
— ( «3 H- ^3 ^. ^3 ^ J3 + etc.) 3^
— etc.
Faisant donc
^ — a-f-r-hy-f-^-(- etc. ,
C* — «2 4 g>2 ^ y2 l p 4. etc. ,
^ — «3 -j- ^3 + y3 + ^3 + etc.,
etc. ,
Féquation précédente devient
Ina t t 1 J^T
j^s — etc. ...(2)
58 DVCALCTIL
Le théorème que présente cette équation a été employé par Landen, JMathemadcal lucub rations , et par Lagrange, Mémoires de Berlin, années 1768 et 1769 ; mais ce qui suit est particulier à notre méthode.
♦ 70. Pour avoir B ^ C, Z), etc. exprimés en coëfficiens b, e^d^ etc. de l'équation proposée , il ne s'agit plus que de développer suivant les puissances de z le premier membre de l'équation (2). A cet effet, j'y mets a au lieu de 1 , afin de pouvoir faire le développement avec plus de facilité ( n.° 11. ), sauf à remettre ensuite 1 à la place de a. J'aurai log^ pour le premier terme, lequel devient = o , lorsque « = 1 , ainsi que cela doit être pour satisfaire au second membre de l'équation (2). De là on déd,uit (n.° 24.)
- = a-Kf.b ^ -^-r-i" + -r^'J ~ T ' :x
etc., et en général ( n.° 20.)
— ^-JL === ^-ï.pn-i.è -^ ::«.pn-«.^« + .^.p«'3.^d ,^ etc. dr ' 4 b,
Actuellement , si on change les signes et qu'on fasse éz = 1 ^ on trouve
^^ =5: <»« 4- C* H- y" 4- (?" 4- etc, =: ^^ ^p?"î,^ H-^p^'S^i^a ^ 2p«'5. ^3 ^ etc. zh— D.^«-»qp-^'», ,,. (3) ou bien , en écrivant les termes dans un ordre inverse ^ \^'
les signes supérieurs ayant lieu si n est impair , et les inférieurs, sin est pair, Voilà donc deux formules générales, (3) et (4), qui résolvent le problème de la manière la plus aisée ; Ja première m développe par la règlç du nr" 47 î la seconde, par la jégl§ du. n,*» ^3^
DESDERIVATIONS. 69
Ainsi les sommes des puissances successives des racines sont B =. — h,
^ = — ie + 1(Q^^ + cM — |3^2c + 1m, 1 3 '3 4
etc. On peut continuer par dérivation autant qu'on voudra.
yj. Si on veut avoir ^, C^ D^ etc. en termes récurrens , on fera pour
C D plus de facilité , — ^=«5, =^, 5-=©, etc. ; et l'équation
— B =. a-^h ci-dessus deviendra ^95 = ^ , où l'on considérera les quantités ^ et 25 et leurs dérivées comme indépendantes les unes des autres ; et en faisant les dérivations par le procédé des n.®^ 8eti3, remettî^t ensuite au lieu de 25, S , 2) , etc. leurs valeurs , et faisant a =. i , on aura les formules ordinaires
C ^^ hB ^ %c,
P ^ -^ hC ^ cB — 3d,
B ^ — hD -- gC -^ dB -^ ^e,
etç,
72, La première solution de ce problème a été donnée par Albert Girard dans son Invention nouvelle en algèbre , imprimée eu 162g, huit années avant la Géométrie de Descartes ; ses formules coïncident avec celles cidessus à ïa lin du numéro 70. Les formules en termes récurrens (n.° 71 ) furent publiées e?! 1707^ sans démor^stration ^ dans X Arithmétioue universelle de Neavton ; oi> les a démontrées de plusieurs manières , et on en a fait différens usages. Depuis, Wariwg , Laghanoe , Euler et Vandermonde ont dopné des règles ou des formules générales pour calculer la somme des puissances quelconques des racines immédiatement en coëfficiens de J'équation , c'est-à-dire iudépendamment des sommes des puissances inférieures, Arrêtons -nous un instant k comparer notre solution avec celles des géomètre? que nous venons de nompier,
6o DUCAliCUL
73. La règle que Vandermonde a donnée sans démonstration dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris , année iTji , pag. 373, se démontre facilement par nos formules (3) ou (4). Voici cette règle, en conservant nos dénominations.
« Pour avoir ^„ en — ^ , c , — ^ , e, — /, etc. , faites avec ces dernières » quantités la fonction rationelle et entière la plus générale possible de la jj dimension n, c'est-à-dire, prenez tous les différens termes de la forme » bP. c^. d^ X .... qui peuvent résulter des manières possibles de satisfaire » à l'équation-
/?H-Q9'-{-3r-+- etc. = n ,
:>-> p , q , r, etc. étant des nombres entiers positifs ou zéro ; la valeur de A^ 3) contiendra tous ces termes ; et le coefficient numérique du terme quel- » conque bP.a.d^x.^'. t en supposant p -\- q -{- r -\- etc. := / , sera
i.Q..../? X 1. 2.... ^ X 1.2.... r X ....*^ » le signe + ayant lieu &i n -]- l est pair , et le signe — , s'il est impair. » En effet, prenons dans la formule (3), n." 70 ,-un terme quelconque
riz p*". è"-'» , lequel, en supposant n — m, =. l ^ devient zir y p"-^*^^;
il est visible , par les remarques du n.® 52, que p«-^. i^^ développé donne tous les différens termes qu'on peut faire avec un nombre / des lettres ^ , c , £? , etc. , tels que la somme de tous les indices de ces lettres , ou , ce qui est la même chose , que \p -\- iq -f- 3r-}- etc. soit :=:/-j- n — / = 7ï,et que le coefficient de chaque terme h^> ci.d^ y,,.., soit
/ étant ■=. p -\- q ~\- r -\- etc. Donc le terme 7 p" " '• b^ de notre formule ( 3 )
représente l'assemblage de tous ces termes , chacun ayant pour coefficient
/ X i.../?X 1. 2... qXi. 2... -rX... l. '2...pX 1. 2... <7 X i. 2...r X ...
Quant au signe + ou — , chaque terme de la formule ( 3 ) aura le
signe — ou -h , suivant que / est impair ou pair , ce qui résulte de l'inspectioft
de la formule ; mais si l'on change les signes des 1.", 3.*, 5.', etc. quantités
de la suite ^ , c , «? , e , etc. , on voit par la nature des multiplications que le
produit
DESDÉniVATIONS. 6l
produit bP.c^^d' X." ' aura le signe — ou -f- , suivant que p -\- 2^ -h 3r -f- etc. = n sera impair ou pair. Donc , dans ce cas , le signe de bP. c^. d^x..., sera -f- , si tî et / sont tous deux pairs ou tous deux impairs : il sera — , si des deux nombres n et l l'un est pair et l'autre impair ; c'est-à-dire , le signe sera -f- si n -f- / est pair , et — si tî + / est impair.
De plus , dans notre formule ( 3 ) / reçoit successivement les valeurs 1 , Q , 3 , etc. , n : ainsi la formule contient tous les termes , ayant les conditions prescrites , qu'on peut former avec une seule lettre , avec deux lettres , avec trois , etc. et avec n lettres , c'est-à-dire , tous les différens termes de la forme bP. c^. d^ X.... qui peuvent résulter des manières possibles de satisfaire à l'équation ;t? -{- Q^ -f- 3r H- etc. = n, les exposans/? ^ q , r ^ etc. étant des nombres entiers positifs ou zéro. "^
74- Donnons à la formule (4)» ^^-^ 70 » nn premier développement en c;
elle devient par là
b^zt:nb'^-^,c zçinb'^'^,-D.o zh nb'^-A.-g^.c — nb^-5. n5. n -+• Atn.
n.n-3 , , . n.n-A. j - n.n-5 , ^ zn. ^«-4.c2 ziz b'^-^.-D.c^ nz ^^ - 6. D2. c2 zt: etc.
±: î-5— ^«*6.c3 zp — ^«-z.D.cSzhetc.
zn -5 ^«- \ c4 ±: etc. •
les signes supérieurs étant pour n impair , les inférieurs^ pour n pair.
76. Maintenant , si l'on distingue les termes de la série ( 5 ) en différens ordres ; que le terme zç. b"^ seul forme le premier ordre ; que les autres termes de la première ligne horizontale forment le second ordre ; ceux de la seconde ligne horizontale , le troisième ordre ; ceux de la troisième ligne , le quatrième ordre , et ainsi de suite ; il est clair par nos notations qu'on aura , pour les termes de l'ordre quelconque A + 1 j
— n{n-K-^){n-K-'x) (/2-2AH- i)^„.,, Q
-^ n(n-K'<i){nK-3) (^- "^ A) ^„ . ,, . , p
1. 2. 3 .... A /2(7z-a-3)(az-a-4)-.-. (^-2A-i) ,„.,,., ^ "*" 1. 2. 3 A • ^
etc.
6a DUCA^IiCUIi
en continuant jusqu'à ce qu'on arrive à des puissances négatives de ^ , et en prenant les signes tels qu'ils sont pour A -f- i impair , et les signes contraires pour A + 1 pair ; les valeurs de O , P , Q , etc. étant telles que Ton ait O + Pz -f- Qz^ + Rz^ + etc. = ( c H- r/2 4- 622 4- y^^ 4- etc. )^. C'est la loi donnée par Euler dans le tome XV des nouveaux Commentaires de Péter sbourg , pag. 67 , loi qu'il a tirée par induction des formules de Newton ( n.° 7 1 ).
