Si les exposans de x dans le polynôme de
Ç {ococP -\- Cx^ H- yx'' -+- ^x^ -f- etc. ) (c)
sont quelconques et qu'ils ne suivent aucune loi , on pourra faire le développement de la manière suivante. On fera ecoc^ = ci , l^xi = b, yx'^ = c, etc. , et l'on développera (|)(^ -{- b -{- c -\- etc.), ce qui ramène ce cas au précédent; après le développement, exécuté par la règle du n.*' 5o , on remettra pour « , 6 , c , etc. leurs valeurs. Si l'on veut ordonner la série suivant les dimensions des lettres S*, y, J, etc. , on développera (p(û! H- Z» -H c H- etc. ) d'après la formule du n.° 79 , et l'on remettra de même pour a ^ h ^ c , etc. leurs valeurs. On voit que dans ces cas la série ne sera pas ordonnée suivant les puissances de X.
82. Examinons quelques cas particuliers. Supposons d'abord qu'on ait
<^{Qx H- y^2 j ^^3 j gjr4 -4- etc.); ....{d)
on fera Sx z=z a ^ y x^ =. b ^ Ix^ = c , etc» , et après le développement on
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remettra au lieu de a, b , c ^ etc. leurs valeurs ; ou bien , en regardant x comme invariable, et ê", y, ^, etc. comme variables et tels que t>.C = y oc, D. y = (Jx , D. <^ = g.x , etc. , on aura , de l'une et de l'autre manière ( n.® 3o ) ,
(pCoc H- j)(pCx»yx^ H- T>(pÇx.^x^ -+- nCpÇx.gx^
H- -^^(pocx.y^x^ H- p-cpê'x. 2y(^x5 ^ etc. • -H :g^(pCx. y3^6
Les termes de la série ne sont pas ordonnés suivant les puissances de x ; ils le deviennent cependant si la fonction <p indique une puissance quelconque , et ils le deviennent encore , au premier terme près , lorsque la fonction (p indique un logarithme , car alors, le premier terme étant log Cxj
le second sera -^ — =1 C-^yx,
Çx '
83. Si les exposans des puissances de x dans le polynôme forment une progression équi-différente ou arithmétique , comme dans
Cp{o6 -\-' ÇxP -\- y x^P -^ ^x^P -^ etc.), (e)
quel que soit /? , mais le premier terme « étant sans x\ on développera encore comme à l'ordinaire (n.® 3o ) , et la série résultante sera ordonnée par rapport aux puissances de x ; elle aura cette ibrme
A ^ B xP -^ Cx^p -4- Dx'^P -f- etc.
Pour s'en convaincre on n'a qu'à faire xP = ^^ et alors ce cas rentre dans le cas ordinaire ; on remettra ensuite xP , au lieu de f , dans le résultat. Nous avons mis la condition que l'exposant de x soit zéro dans le premier terme ce du polynôme ; autrement , x entreroit dans les quantités affectées de la fonction (p dans le développement.
Dans le cas particulier, cependant, où il s'agit d'élever le polynôme à une puissance quelconque m , le premier terme ce peut aussi être multiplié par une puissance quelconque de x. Ainsi , s'il faut développer
.^/ïjrr-i, («^^ ^- ^xP+^ H- yxP -+-.2? ^ ^xP + 3? | etc.)'" , (/)
où les exposais forment une progression équi-différente quelconque , on n'a qu'à développer tout de même que si l'on avoit
(ce -^ Cx -^ yx~ "i- Sx^ H- etc.)'":
la série résultante aura cette forme
Ax'^p H- Bx^P-i-'! H- Cx'^P + ^i -f- Dx'^P-^^^ ■+- etc., et les valeurs de A , B ,C , D , etc. seront les mêmes que Ton auroit obtenues
desderivàtions. 67
en développant ( « -^ Sx -^ yx^ -^ etc.)'"; car l'expression (/) est égale
x^'P^u -h Sx<i -+- yx^i -j- ^x'^<i -4- etc.)", laquelle , en faisant a; ? z= j^ , devient
X'"/'('a -}- gy -{- yj2 | jy5 [ etc.)'". Ainsi, si l'on demandoit le terme sans a;, c'est-à-dire affecté de a;», dans
(ce Q ^ "*
puisque cette formule est la même chose que celle-ci
x-^'^{oe, -\- Qx -^ yx^ 4- Ja:3 -j- £a;4)«, il suffîroit de prendre le terme affecté de x"^^ dans
(a + ê*^ H- y>r2 -f- <J.t3 -h g.xA)»», «■* -^^T
c'est-à-dire de développer, à la manière ordinaire, ^"^^.cc^. ■ . i'^ r,
84. Dans les cas où les coëfiîciens du polynôme sont affectés de dénominateurs numériques ou autres , dont chacun est composé d'un facteur de plus que le précédent, comme dans ce polynôme ç r .s
-^^ -h- , ,, rrjX^ -h etc. , ""(g)
. 77i' mm" m' m" m'" ' ^°
on peut , pour développer une fonction quelconque d'un tel polynôme, comparer la fonction à la formule générale
(p{cc -^ Cx -\- yx^ -\- ^x^ -h etc.), '
et , après avoir développé cette dernière , substituer p , — , ,
m' ' m' ju" ' ni^ni^^m^*^ etc. à la place de a , C, y , (î*, etc. respectivement. Mais on peut aussi se passer de ces substitutions et faciliter le développement par le procédé suivant.
On fera les dérivations à la manière ordinaire n.** 3o, comme s'il n'y avoit pas de dénominateurs au-dessous de ^ , /*, 5, etc. ; on aura soin seulement, toutes les fois qu'il faudra changer une des lettres p, q ^ /', ^, etc. dans la suivante, de ne faire ce changement qu'en donnant à cette dernière lettre un facteur au dénominateur, ce facteur étant toujours le dernier de ceux
qui divisent la lettre dans le polynôme. Ainsi on changera yy en -^, , ^ en
T7- , r en rry , etc. ^
En effet , on voit , avec un peu d'attention , que ce procédé doit mener aux mêmes résultats que les substitutions.
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Ainsi ^(/z H- bx -^ x^ H- -rx^ -4- etc.) se développe par la
règle du n." 3o , pourvu qu'en changeant les lettres on change « en ^ , ^ en
— , c en 77 , a en - , etc.
Pareillement (D ( — I r x 4 — x^ -\ x^ -\- etc. ) se déve-
loppe par la même règle , pourvu qu'en changeant les lettres on change a
en -, ^ en -, c en - , etc.
Réciproquement , s'il falloit changer une des lettres /?, ^, r, etc. en celle qui la précède, comme au n.° 36 , il ne faudroit pas changer , par exemple , j en /•, mais en m'" r; on changeroit de même r en m" ç ^ q en m) p.
Nous aurons occasion de faire usagê^ de ces observations, -if. La forme (g") revient souvent dans la théorie des suites , aussi bien que
p '\- m) q.x '^ m^m)^r.x'^ -h m^ m^^ rn)^^ s. x^ -f- etc (Zt)
Si l'on avoit à développer une fonction quelconque d'un polynôme pareil , on pourroit , ou la comparer avec la formule
(^{oc -\- ê'x -f- yx"^ -h Ix'^ -H etc.), et, après avoir développé cette dernière, substituer yo , m^q ^ m}m}W , etc. à la place de « , £" , y , etc. respectivement ; ou , ce qui est plus simple , faire les dérivations par les règles données dans le §. II, comme si ^, r, 5, etc. n'étoient pas multipliés par des facteurs m) , tw." , a/î'", etc., en observant seulement que , quand on change une lettre dans celle qui suit , il faut changer p non en </ , mais en m}q ^ q en ttz'V, r en rti^^^s^ et ainsi de suite.
Réciproquement, si , pour prendre une dérivée inverse, il faut cnanger une
lettre dans celle qui la précède , on changera s en — rn , r en -^ , a en — ,.
Ainsi , on développera facilement la fonction
(p( ^z -H bx -+- I. 5ca32 j 1. Q, 3 ^^3 ^ 1. Q. 3. 40^4 4- etc.).
mii\ j.
