ARTICLE TROISIÈME

Développemens des fonctions d'un ou de plusieurs polynômes ordonnés par rapport aux puissances et aux produits de deux ou de plusieurs lettres différentes p en séries ordonnées de la même manière,

129. Nous nommerons , pour abréger , polynômes doubles , ceux qui sont ordonnés suivant les puissances et les produits de deux lettres oc qi y ^ tels que

cx^

dx^

etc.

c'xy

d'xy

etc.

d"xf^ d"'y^

etc.

etc. ;

nous nommerons

polynômes

triples ceux

: qui sont

ordonnés

par

rapport

aux

puissances et aux produits de trois lettres x, y, z. Nous appellerons aussi séries doubles ^ triples, les séries qui résultent du développement des fonctions de polynômes doubles , triples , et en général toutes les séries qui sont ordonnées suivant les puissances et les produits de deux ou de trois lettres différentes.

Des fonctions dun seul polynôme double ou triple.

i3o. Comme nous avons à faire varier les quantités de deux manières , par rapport aux x , et par rapport aux y , nous emploîrons le signe d sans accent pour marquer les dérivations qui se rapportent aux ^ , et le signe d' , avec l'accent , pour marquer celles qui se rapportent aux y. Dans les dérivations indiquées par d , lorsqu'il faut changer une lettre dans la suivante , on lui laissera l'accent ou le nombre d'accens qu'elle avoit ; ainsi on changera Z» en Cj ^' en c'; c" en d^\ etc. Dans les dérivations indiquées par d' , au contraire , lorsqu'il faut changer une lettre dans la suivante , il faut aussi augmenter de l'unité le nombre de ses accens ; ainsi a se changera en V , V en c" , c" en ^"' , etc.

104 DUCALCUL

Lorsque deux signes dd' se suivent, le dernier à gauche affecte toujours tout ce qui vient après lui : ainsi, dans d*". p'". ^^ , p" affecte toute la quantité p'«. ^^. On voit par là que d. p'^. « = d. d'. ^' = d.c" = d" , et qu'en général le coefficient de x'y" dans le polynôme sera désigné par p'».p''».«. Donc

ïi.a==.b ^ p2. « = c, p5. az=zd ^ p4. a = e , etc.

T>'.a = b', T>.T>Ka-=c\ b^.d', a = d' j d^. d'. <ï = e' , etc.

p'2.^ = c", ii.y'^.a = d" , p2.p'2. ^ = e", etc.

^'^.a = d"' , D. p'3.^ = e"', etc.

p'4. <2 = e'^, etc.

Mais, si on regarde b et h' comnxe les premiers termes des polynômes doubles suivans

b -\- ex -h dx^ -f- ex^ -h etc. b' + c'x

-\- c'y 4- d'xjr -I- e'xy- H- etc.

d"y2 j e"xy'^ -f- etc.

-f- e"y5 j etc.

-f- etc. , on aura

T>.b=c,-g^.b=dj p3. ^ = e , etc. D. ^' = c' , p2. Z>' = £?', p3.^' = e', etc.

D'.^=rc', B.jy'.b = d', p2.D'.^=e', d'.^' = c", D.B'.b' = d", p2.D'.^' = e",

Nous faisons cette observation principalement pour que, quand les d et d' affectent des lettres simples , on ne soit pas embarrassé par les coëfficiens numériques indiqués par les c qui se mettent au-dessous des caractéristiques D et d'.

Quand il faut désigner d'une manière générale les coëfiiciens des produits des puissances de ^ et de j^ , nous employons des lettres ou des nombres inférieurs : ainsi , pour désigner le coefficient de x"y dans le polynôme du numéro précédent , nous écrivons am,n ; Tindice inférieur 7n,n indique la {m -^ ny^""' lettce après a dans Tordre alphabétique, et comme l'indice n est précédé de la virgule , il marque que cette lettre est en outre affectée de n accens. De cette manière, p3. p'a.a = «3^3=/"; p^. p'^- ^ = «2,3 =/'";