Q. 3...mx 1.2.3... «' ^ '^ /. ^ i.2../Xi.2..mXi.2..7z
On voit, sans que j'en avertisse, que p»"'. p'«. (p(^z, «) est la même chose
que p*»' ". (p(«, a),et qu'on peut se servir également des deux expressions : nous
préférons la dernière, comme plus simple. Pareillement, D^". p.»»». D"«.(p(a,«, a)
est la même chose que p^'*"» ».<p(a,â^, os) ; les virgules aux indices servant
toujours à distinguer les dérivées partielles tant les unes des autres que des
dérivées totales.
Problème.
1T2. Soit proposée une fonction quelconque de deux polynômes, savoir (p(a -{- bx-hcx^ -4- dœ^ H- etc. , a H- g*^ -f- yx^ -f- Sx^ H- etc.) ; ...(i)
on demande à la développer en une série de la forme A -h- Bœ -\- Cx^ H- £)x3 + etc.
et à calculer immédiatement un terme quelconque du développement.
C'est là le cas général que nous avons promis de traiter , n.° 85 , et qui ne nous paroit pas l'avoir été jusqu'à présent.
Si l'on n*a que la fonction ^{a -\- b x -\- c x^ -\- d x^ -f- etc. , «) où a est constant, son développement ,, par ce qui a été dit dans l'article premier, peut être indiqué de cette manière , •
(p(«,a)-l-p*'.cp(«, e)c).x H-p2».(p(^z,a). a:2H-p3,.(p(«,«). x3-}-etc. , ...(2) où les indices de d sont suivis d'une virgule pour marquer qife dans (p(a^cc) c'est a seul placé avant la virgule qui varie , oc demeurant constant.
Maintenant, si l'on met oc -\- C^ -+■ yx- -+- ^x^ 4- etc. à la place de ce dans les quantités (p{a , oc) , n^ > . (p (a , oc) ^ p2, . (p (« , a) , etc. , elles se développeront d'une manière pareille , savoir , a étant constant et oc variable , Ç)(^ï , a) en (p (a , a) -f- D » ». <p (âj , oî). a: -f- p ' 2. (p (<2 , a). a:2 -t- p . 3. (p (^^ ce), x^ -h etc. ,
D'». cp(/ï, oc) en D»'. <p(û,a) -+- pi''(p(«,«). a; -^ -g^ > ^. (p {a , oc), x^ -+- etc. , pa'.(p(a,a) en p»'.<p(a,«) -+- p^. >.(p(^, «). a; -{- ^^'^.(p{ay06).x^ 4- etc., etc.
DES DERIVATIONS.
Donc , en mettant ces valeurs dans la formule (2), et en ordonnant suivant les puissances de a:, on aura
Cp(^,a)-f-D''.(p(<Z,û;)
dx^
etc.
etc. , « -H ê'o: -4- «yxa -{- ^x^ -|- etc. ) =
Ç^''.(p(^,a) -h-pi.2. (p(^^flf)l -+-p2,. (p(^j^) , -i-pa.».(p(/z,a)[
Si l'on fait attention à la loi qui règne dans les termes , on en conclura facilement que le coefficient du terme quelconque de la série affecté de x^ pourra s'exprimer par cette formule
P'«.(p(«,a) + p»"»-'.(f)(rt,a) H- p^*'''-^. (pC^,a) + p5,«- 3.^(^^^) ^ etc.
11 3. L'analyse précédente ne donne qu'un commencement de développement ; pour parvenir au développement complet et réduit , tâchons de séparer les quantités polynomiales de celles qui doivent demeurer affectées de la fonction (p.
Faisons, à cet effet, dans la fonction proposée (1) , n.° 112,
if-^cx -{- dx^ -H etc. =p , et g* + yx-\-Soc^ -f-etc. =7r; .... (5)
la fonction proposée deviendra
qu'il s'agit de développer. Or je remarque que dans ce cas p» ^ (p(a, «) devient P' *cp(«, «). 7r*, n.« 3 , que p*"» . (p{a,cc) devient p^ cp {a , a), p'^ , et que p*"» ^ <p(«,a) devient p''''(p(^, a). ^'■77* : ainsi la formule (3) devient
(p{a -h px , ce -\- 7(x) =
(p (â5 , a) H- D' » (P (â^ , a). TT -+-D''Cp(^2,a).yc»
+ p'''(p(«,«).yp^ H-p2.(p(«,a).yo2
-}-p2, ï(p(^,a).yo27r + p3.(p(a,a).^5
-H etc. ..(6)
11 4. A présent, à cause des valeurs de ^ et 77- , on a généralement ^'" = (^ -f- ex + dx^ -H etc. y , Tx'' = (C H- y^ -+- (^^^ -H etc. )S ainsi
DU GALCUIi
p'^ z=z b' ^ D. è\ X + p2. ^^ x^ -h p^. ^^ ^'^ -H etc. , ;r* = g*' 4- D. 6''.a; -4- p^.g-'.^s >4 p^.g-^.^S } etc., P'tt' = yC' -^li.il^'C'yx -\- ^^.ib'C').x^ + p3.(^'-C').a;3 -f- etc. Mettant donc les valeurs de p , tt et celles des puissances et des produits de ces quantités dans la formule (6), ordonnant par rapport à x, et mettant, pour abréger, A kla. place de (p(«, «); la formule (6) devient
q)(a -^ b X -h- c x^ -h dx^ -\- etc. , ce -h Sx -\^ yx^ -h $x^ 4-etc.) =
X 4-D.i-^.D.g'+p'=*Xg'2
-HD»'^.D.^-+-p»'»^.^C
a:2 +D.iXp2.g'-4-p,2^.D.C2H-p'3Xg'3x3 H- D»»^.p2.^ + p^ '^.D. (Z'ê') H- p'-^^^-^ê"^
etc.
-HDï»:>^.p3.^ -H p^i^.p2.(Z'0 -f-p''2^.D.(<î'e'2) -|-p'.3^.^g>3
-)-d3.^.D.^3 4-p3,i^. ^3^ H-p4,^. M La loi des termes est facile à saisir ; on en tire la proposition suivante.
Théorème.
ii5. Si l'on a une fonction quelconque de deux polynômes,
(p(a -f- bx H- cx2 -{- etc., a 4- ^o: -H yx^ -4- etc.), le coefficient du terme quelconque affecté de a:" dans le développement est, en mettant ^ au lieu de (p(«, «) ,
P'«. >^-+-p''«-'.^4- p2.«-2.^ -f- p3,n-3. ^ [ etc. 4- p»-''». -^ -f- p»». >/ — D,iy^p«-jg'+P'M.D«-^g'2|p,3^. p«-3.g'3 +p.4^. p«-4.C4 -l-etC. -f- p.'^.g»» ^-DW^.p"-.'^ 4-p'.M.p''-2(^g') -t p.,2^.p«-3(^^2) +p''3 J.p«-4(^g'3)|,etC. -f-p',«-M.^^«. + p2> ^. p«-2. ^2 4-p2,M.p«-3(^2g'^^p2,2j.p«-4(^2^2) f efç .^ça^^.a^^^g»»- + p3,^.pn- 3.^,3 +p3.M.pM(Z.3^)^gtç j p3,».3^^^3g.,.j
+ p4'^.pM. M H-etc.4-p4.«-4^.^4^«-4
-f- etc.
-Hp"'^. ^«i
où
UESDERIYATIONS. Q^
OÙ D'ï-^, D'»-^, Tt'^A^ D»>'^, d2, y4 , etc. sont la même chose respectivement
àA àA à^A dM d2.4 .,,«,. . ,
que -j — , -7— , T— :; , j— r"» j~t » ^^c- ? et on les ^ et t doivent être considérés ^ ace aa uoc^ aadoc aa-
comme des premiers termes de polynômes.
116. Si on considère la loi des termes de la formule (7), n.° 114, on en voit découler la règle suivante , pour faire dériver un terme quelconque de la série , du terme précédent, c'est-à-dire, g''+^(p(^,«) de p^.cp («,«).
RÈGLE
Le développement de p '. (p ( ^ , « ) étant donné et disposé par colonnes verticales; pour en déduire celui de p" "+" '. (f)(^ , «) , i.° dans chaque colonne faites une nouvelle dérivation totale et divisée sur les quantités polynomiales ,c est-àdire^ composées de b ,^ et des lettres suivantes ; 2.° dans la dernière colonne , prenez de plus dans chaque terme la dérivée divisée suivante de (Pi^fÇf), par rapport à oc seulement, et en outre la dérivée divisée de Cp {a, oc) par rapport à a , mais seulement dans le dernier terme de la dernière colonne, c'est-à-dire , dans la plus haute dérivée de (p{ay oc) partielle par rapport à a,
117. Par cette règle , et en développant les quantités polynomiales par les numéros 3o et 99 , on déduit les uns des autres les coëfficiens des termes de la série , tout développés et réduits , ainsi qu'il suit ,
A=(:p(ajoc)y B==ii'\A.S ~\-i>^'A.bf
C == D'M.y H- p.2^.g'2 Z) =:d.i^. ^+p.3^. Qfy ^p.3^.^5
■+- nhA.c -Hp''M.^ff -i-D»»-4.^-|-p''M.(^y +cÇ) -f-p'.M.^ê'^
-l-pa.^.^% -hp^'^.Q^c H-p2,»A^2^
£=D,ïAs4-p.2^. (qCJ + y2) 4-p,3j.3^2y +p,4^.f4
■+'D''A,e-+--^'''A.{hS+cy + dÇ) -h^^'\4. {h 'X^y-\-cQ'') -+- d»'3^. ^^5 -4-p2,^. (q^^ +c2) -|-p2,M.(^2y^2^cê')-4-p^'^^.^^^2
•4^ p4> A. ^iîariol iam A a
et ainsi de suite. Il est aisé de continuer aussi loin qu'on voudra. Nous nous sommes servis , pour développer les quantités polynomiales , du procédé de la première solution du problème du n."' 97; on peut aussi y appliquer les procédés de la seconde et de la troisième solution du même problème.
Ï18. Il seroit inutile d'expliquer la manière de calculer un terme quelconque indépendamment des autres , soit en écrivant dans l'ordre inverse les colonnes de la formule générale du théorème précédent , soit en les laissant telles qu'elles se trouvent ; on pourra appliquer aux développemens des quantités polynomiales les règles et les observations du §. III de Fart. I , et les solutions du problème du n.° 97. Après tout ce qui a été dit jusqu'ici, ces développemens n'ont plus de difficulté. Il faut observer que dans toutes les formules précédentes de cet article les ^ et ê* doivent être considérés comme des premiers termes de polynômes, ce qui résulte des analyses des problèmes que nous avons résolus.
Problème.
^^ 119. Soit proposée une fonction quelconque de trois polynômes,
<P (a + bx + ca:2 + etc. , a •\- bx + cx"^ + etc. , a + /3^ + yx^ + etc. ) ; on demande à la développer en une série de la forme A -h Bx H- Cx^ -f- Dx^ ~\- etc.
Si Ton compare la solution que nous venons de donner , n.° ii4> pour une fonction de deux polynômes , avec celle , n.° 21 , pour une fonction d'un
DES DERIVATIONS.
seul polynôme , on en conclura facilement que les premiers termes du développement demandé seront tels qu'ils suivent , en mettant , pour plus de simplicité , A au lieu de Ç) ( a , a , « ).
De même que dans le développement de la fonction de deux polynômes les quantités polynomiales exprimées en /3 et ^ , n.° 114, suivent la loi des termes des puissances du binôme (^ -+- b ; ici les quantités polynomiales placées dans les lignes verticales et exprimées en /3, b, b , suivent Ja loi des termes des puissances du trinôme /B H- ^ H- b , en supprimant les coëfficiens numériques de ces termes ; et les indices des d qui affectent A sont réglés sur les exposans de /2 , de Z» et de b. De là il s'ensuit que dans la fonction de quatre polynômes les quantités polynomiales suivent la loi des termes des puissances du quadrinome , et ainsi de suite.
Il est facile de conclure de la loi qui régne dans les termes précédens la forme du terme général affecté de x", ainsi que la régie de dérivation pour déduire le coefficient de chaque terme de celui du terme précédent.
120. Si l'on avoit à développer une fonction quelconque de deux autres fonctions de polynômes,
(P { F(^ H- ^x -t- ca;2 -1- etc. ) , f (« -j- /3a; H- yx^ + etc. )} , il suffiroit de faire dans le n." 117, ^ = F^, Z» = d.F<«, c = p2.F^, etc. , 05 = fa , 0 = D.fa , y = p2.fflf, etc. , et de développer ces expressions par la règle du n.o 3o. Ce cas ne présente aucune nouvelle difficulté.
etc.
§6 D U C A li C U L
§ III
Applications et remarques.
' ÎJTous avpàs réservé pour ce paragraphe quelques observations que nous n'avons pas cru devoir présenter plus tôt, pour ne pas interrompre l'ordre des objets que nous venons de traiter.
\9\. Donnons d'abord des procédés abrégés pour les équations dérivées. Si l'on a une équation entre plusieurs quan|;ités ou fonctions de quantités indépendantes , mêlées ensemble d'une manière quelconque , et qu'on demande à prendre de cette équation, soit l'équation dérivée qui suit immédiatement , soit Téquation dérivée d'un ordre quelconque , il faut , avant de faire les dérivations , avoir soin de tout ramener aux lettres initiales , ce qui introduira des coëfficiens numériques nécessaires pour l'exactitude du résultat. En faisant usage de cette observation , on peut déduire sur-le-champ d'une équation en termes récurrens celle d'où l'on tire le coefficient d'un terme quelconque du développement ; on abrégera ainsi et on étendra en même temps la manière de trouver les termes de la série du développement en termes récurrens , manière dont nous avons donné des applications dans les n.®^ i3 , i5 , 17,18. Eclaircissons la chose par des exemples.
Prenons le cas du n.° 18, où l'on a eu,, pour trouver le second terme de
la série, l'équation „ r> .
^ ccB = m^A ;
supposons qu'on demande en termes récurrens le coefficient du 5.® terme
de la série , affecté de a:4. Il faudra prendre la dérivée troisième de cette
équation, ou déyelopper les deux membres de
Maïs ici on ne peut pas considérer JB et (^ comme des premiers termes de polynômes ; il faut donc tout ramener aux lettres initiales « et ^ , ce qu'on obtient en donnant à l'équation précédente cette forme
Diéveloppaiat à présent par le théorème du n.^Sy, on trouve, à îiausâ que
p3. jj. ^ ;== 4 p4. ^ , ç2. D. ^ = 3 ç3. ^ ^ D.D. ^ = 2 p^. ^ , et ainsi des autres ,
«. 4p4.^ ^- Da. 3p3. ^ 1 p2. ^. Qp2.^ 4 pS.^.D. J =
w(D.«.p3.^ 4- 2p2.«.p2.^ ^ S^^cC'D'A •+- 4p4.«.^),
où
DBS DERIVATIONS* 97
OÙ l'on voit qu'on introduit ainsi les coëffîciens numériques q , 3 , 4 , nécessaires pour l'exactitude du résultat. Si on met à présent au lieu des dérivées indiquées leurs valeurs , on a , en transposant ,
iccE = {m — 3)SD -H (Qm — 2)yC -f- (3w— i)SB -+- ^msA^ de même que n.° 18.
122. On peut abréger le calcul par le procédé suivant. Si dans l'équation proposée il n'entre que des B, h , Ç avec des ^, a, ce; on mettra 1 devant chaque B , byC; ensuite , pour prendre une dérivée quelconque de l'équation, on fera les dérivations à l'ordinaire ; mais toutes les fois qu'on changera une lettre provenant des 1 B , 1 b , 1 5", en celle qui suit immédiatement , on changera aussi son coefficient en l'augmentant de l'unité ; et. s'il faut changer une de ces lettres dans la 2* , 3® , etc. de celles qui la suivent , on augmentera son coefficient de 2 , de 3 , etc. unités respectivement.
Soit pris l'exemple du n.** 106, où l'on a eu -^ = a'^cc''; on en tire B = — a^. s cc'*-^ C -+- ra^'^ h. oc' , et en multipliant par a oc et mettant ^ au lieu de a^ec~'j on a l'équation
accB -h (saC — rbcc)^ = o, laquelle donne le coefficient de œ dans le développement n° 106. Si l'on veut en déduire l'équation qui donne le coefficient de x^ , on écrira
aœ. li? -4- (sa. iC — r. 1 hoc) A = o ; en prenant la dérivée seconde de chaque terme considéré comme origine particulière de dérivation , on trouve sur-le-champ , par le procédé que nous venons d'indiquer et par le n.** 87 , aot.'3D-^{aÇ-\-boc)iC -\-(a^ -\-hÇ-ir'Cot)\B \
-^{sa^^--rxbu)C^\'^''fl-^^'%B^\'^'']^^
^ ' \'—r{\bQ-^'XCoc)S (— r(i^y-f-2cg'-f-3^a)J )
123. Si , outre \qb> A ^ a^ oc et B , /^, 6*, il entre des C, c, «y dans l'équation dont il faut prendre la dérivée d'un ordre quelconque , on mettra 1 devant les ^ , b, g*, et le produit des deux facteurs i. q devant chaque C y c, y^ en conservant cependant l'égalité entre les membres de l'équation ; puis , pour prendre la dérivée de l'ordre n de l'équation , on appliquera à chaque terme les règles du §. I." , article II , en considérant chaque terme comme une origine particulière de dérivation , et toutes les fois qu'on changera une lettre dans
Bb
gS DUCAiiCuii
une des suivantes, on augmentera chaque facteur numérique qui affecte la lettre d'un nombre d'unités égal à l'indice de la dérivation que l'on effectue sur la lettre , ou , ce qui est la même chose , du nombre qui marque la distance entre la lettre et celle en laquelle on la change.
S'il entroit aussi des D , d, S dans l'équation proposée , on mettroit devant chaque D, d , $ le produit i. 2. 3 , et devant chaque £, e , g le produit 1. 2. 3. 4 , et ainsi des autres.
Prenons pour exemple l'équation du n.° 17; on l'écrira ainsi ig". 1.2C — i.2y. i5 H- (ie')3. ^ = 0: pour en prendre la dérivée troisième, on aura sur-le-champ , par le procédé que nous venons d'indiquer,
— i.2y.4£:-- Q. 3 J.3Z> — 3.4g.QC — 4-5^. li? . .
équation qui donne la valeur de F en termes récurrens.
La démonstration se tire de ce que , l'équation proposée étant mise sous la forme ^ o a o a , / \% a
pour en prendre la dérivée troisième divisée , il faut développer séparément Ç3. {D.a.D2.^}, p3.{D2.a.D.^}, p3.{(D.a)3.^} ;
mais p3. D2. ^ ;:= 4. 5 p5. ^ j d. d. é» = q p^. ^ , p2. r>2. ^ =3.4 p4. A , etc.
Nos règles et nos notations sont très-utiles dans la méthode des coëfficiens indéterminés , où elles servent soit à abréger les calculs , soit à donner des expressions générales ; et l'on sait que la méthode des coëfficiens indéterminés est un des moyens les plus étendus et les plus féconds de l'analyse.
(II
124. Les formules que nous avons trouvées n."^ 93 et 94 , offrent des moyens de soumettre au calcul les combinaisons ordinaires , et de parvenir ainsi facilement à plusieurs théorèmes généraux , dont nous ne donnerons que les suivans, qui sont déjà connus d'ailleurs et que nous ne mettons ici que par forme, d'exemples de notre manière de procéder.
DESD^RIVÀTIOirS. gQ
Puisque, D«, D/ï», etc. na"*" étant = i , on a , n,° 93, p«- a- r (^aa}a>\ . . «*• ■") = pm - 1 - r [ao} a}\ . . ^«-"'). ^« -" -f- pw-3- r [aa}a>\ . . ^z**- '"), et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive au terme en substituant ces valeurs les unes dans les autres , on trouve
pm-i-r(^^i^n... ^M-n), ^m-i 4 pw-a-'-(^«»^Z"...^zM-'"). ««-11 ^ p'«-3-r(^^i^u...^M.iv), a"*"''
Si l'on désigne généralement par \jn i ^J*" la somme de tous les produits qu'on peut former avec m lettres différentes dont a est la première , en les prenant r à r; la formule précédente peut être traduite dans la suivante , (n.** gS)
[mi<z]'"+' =
[/»- 1 lû]^^z" -'4- [w- 5 !«]''.«''"" -H [w- 3i«y.û*'-'" H- [w-4iay.<ï«-'^ -{-etc.
-H [ri/zy.<z*; ce qui donne cette règle. « Pour déduire de la somme des produits de m » quantités différentes prises r à r , la somme de ces mêmes quantités prises MrH-iàr-i-i; multipliez par la dernière a^ ' ^ tous les produits r à r où » a"-' n'entre pas, ensuite par a^'" tous les produits r à r où n'entre ni » ^'"■' ni «*"", ensuite par a'^-'" tous les produits qui ne contiennent ni » a""* ni à^'" ni ^'^■'", et ainsi de suite jusqu'à ce que vous arriviez au » produit aa^a"... à^'% que vous multiplierez par ûj". w Au moyen de cette règle , en partant de la somme de m quantités , ^ + a' H- «" H- a'" -H etc. -H û^",
on formera successivement tous les produits de ces quantités prises deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc.
De cette règle on peut aussi conclure l'inverse. « Pour déduire des produits » de 771 quantités prises r -[- i à r -H i tous les produits de ces mêmes quantités » prises rkr; divisez par la dernière /z*"' tous les produits r-H i à r-f- i où » a'^'^ entre ; ensuite divisez par a"* ' " tous les produits r -{- i à r -f- i où » entre a'*'" avec a"*'^; ensuite divisez par a^-^" tous les produits r-\- i k r-f- 1 » où entre a"' '", mais où entrent aussi toutes les lettres suivantes a" " " , ^"^ "' , et
» ainsi de suite jusqu'à ce que vous ayez divisé par /ï"'*"* le produit
125. Partageons le produit de m quantités aa}a". ..a'*-^ en ces deux facteurs a a' a". . . û"" - ' , et a'"^" + • . . . ^"^ - ' , /? étant < m ; et prenons la dérivée çm-r jju produit par le théorème du n.** 78; nous aurons
pw-'-(aa'û".. .^ï**-') =
formule qui se traduit en celle-ci (n.^ 93) ,
[m\aY = [p\ay. [m-p I «'y-P H- [;? 1 ^z];»- '. [m-p 1 a^Y'P + ^ -\- [p 1 à\P-^. [m-p 1 ^z'y-i' 4- 2{etc. + [p\aY~'"'^P'^^' [m—p\à']'"—P-'^ H- [yo !«]'■—'»+?. [ttz—/?!^'' ]'»—/'. Cette formule a lieu si r est plus grand que p et en même temps plus grand que m —p; mais si l'on a au contraire p ^ r et m — p ^r, alors , puisque [/? I « f = 1 et [m — pia^Y '= 1 , et qu'il faut rejeter les expressions où l'indice seroit négatif , la formule précédente devient
[m\aY = [p I ày, i^[p\aY-^»[m—p\a''Y-\-[p\ ay—^^. [m —p \ a^Y -^ \p ' cLY—'^\m —p 1 «'JS
-H etc. -f-[yf?i<z]i. [ttx— /^la']''— 1 -t-i.['w— Z?!^"]'", comme il est aisé de le voir , en supposant par exemple dans la formule précédente p z=z r-]- Q.
Outre le théorème (*) que renferment les deux dernières formules, on peut tirer de ces principes différentes autres conséquences, en partageant, par exemple, aa'a'' , . . a**-' en trois ou quatre facteurs, etc.
(in.)
126. Donnons à présent une expression de terme général qui mérite d'être remarquée à cause de sa forme.
Si l'on a le produit
<p{cc-hCJc -^ y,v^ -hSx^ -h- etc.) X (a + bx~]- cx^ + dx^ -h etc. )
( * ) On peut aussi parvenir à ce théorème en considérant une équation du degré m , comme résultant du produit de deux équations, l'une du degré p, l'autre du degré m — p, et en comparant les termes.
DES D]éRIVATION9. lOt
à convertir en une série qui procède suivant les puissances de a;, on aura (n.® loo) pour le coefficient de a?"
(pa.p«.<r -HD(|)a.Ç«-«.(^ât) M- p='(pa.g'»-*. (C^^tf) H- p3(p^.p«-5. (^3^) | etc.
actuelleiîient , on peut transformer les quantités p«-». (g*^), p«-2. (^2^)^ p''-3. (^3^)j etc. , de manière qu'elles soient toutes exprimées en ce et a et que les dérivations indiquées par d soient toutes du même ordre n.
A cet effet, supposons, dans la formule précédente, (pot successivement égale à os, a^, a', «^ , etc. , en observant que p^^ , p^»^^ g4«3 ^ etc. = o , elle nous donnera
1.° p^Ca^z) = «p«.^ + D«. p«-*.(C«), d'où il vient , à cause de d « = 1 , p"-'.(^^) = ^"'{cca) — ap".ûr.
2.° La formule donne en second lieu p«.(a2^z) = <»2p«.^ ^ Q«p'«-i.(g'«) H- i.p«-*.(^2^)5
mettant pour i^"-^.(Ca) sa valeur ci-dessus et transposant, on a
3.° La formule donne , en faisant Çx = ec^, p».(a3<z) = «3p«.^|3gg2p«.i.(g»^) -^ 3ap«-2.(^2^) ^ ip''-5.(g'3tf), d'où l'on tire, en mettant pour p"-*.(5'^) et p'-^. (ff^^j leurs valeurs précédentes , p«-5.(g'3^z) =p«.(«3^) ~ 3cei^".iec^a) -h 3«2p«.(^^) ec^^.a.
4." En continuant ainsi , on trouvera p«-4.(g'4a) = pn.(Q54«)— 4ap".(a3^)-H6a2p«.(^2^)^^3p«.(^^)^^4p «,^^
et en général
p«-^ (C'a) =p«. («'tf)— rap«. («'-» a)-^-'^' ^ a^p». (^r-a^) ^'^^"^•^"^ «3p«.(^r.5a)
-j- etc. db ee^"-a.
Si dans cette dernière formule on suppose r = n, elle donne Ç'^a == p".(«"a) — /2ap«. (a«-ï^)H «2p«.(^-2^) — etc. ±: <»«p«.tf.
127. Si présentement on substitue ces valeurs de p'-^. (Ô'^ï), p'»-2.(C^a), etc. dans l'expression (1) ci-dessus, on aura l'expression suivante ,
Ce
lOft DrCAliCUI*
H- p2(pa5. {p«.(a2<<ï) — 2ap«.(«<2) -f- oc^^'^.a]
-4- p3(pa5. ip«.(âi^«) — 3«p''.(a2^) + 3flc2p«.(«^) «3p».«j
H- P^^«- {p^-Ca'^^ï) --4«p"-(«^^) + 6a2p«.(^2^) 4^3p«.(g^^). | a^p«.<z}
-f- etc
-H p'cpa- {p"- (c/a) — ra p«. (a»- - »^) | " -«^ p^. («' - ^tf) — etc. ±: «r p"- « }
-H etc • • •
H-pn<p«.{p«.(««<ï) — /2«p«.(«"-'^)-l--^ a2p/x.(^n.2^) __etc.z±:a«p«.<ï};
où toutes les dérivations indiquées sont du même ordre n. Si l'on avoit à développer
<p(« >+- Coc -{- yx^ 4- etc.) X \K^ + ^^ 4- ca:2 -i etc.), il suffiroit de mettre \|/^ au lieu de^ dans la formule précédente.
128. En faisant a = 1 et h , c, «?, etc. = o, la fonction à développer
deviendroit , « ^ 2 v
(p{cc H- ê^o; 4- yx2 4- Ja;3 4- etc.) ,
ce qui est le cas traité dans l'article l.^^. Faisant donc a = 1 dans l'expression précédente n.o 127, on trouve pour le coefficient de a;»,
p<pa. p«.a if T»
-f. p2<p^. {^«.^2 Qap«.a} + p3(Pa. {p".a5 __ 3^p«.^2 | 3^2pn.^} .
-H p4<p«. j p''.a4 — 4«p«.«3 -H 6a2p«.cB2 — 4fi»^P''-«i
-h etc
4- p"<pa.{p". a" — ««p".a"-* H '■ ^«^pn.^-i-a — etc. dz ««''■'p".^}?
où l'on a généralement pour la quantité polynomiale p"-^ë''^ l'expression p».«'' — r« p".»»"-! H- -^ a-p". «'■-2 ~" ' ' a5^p«.«'-3+ etc. =hra'--i p».».
En joignant à la formule que nous venons de trouver celle du n.° 20, et en formant celle qui est indiquée à la fin du n.° yj, on aura trois formules différentes pour développer p". <p« par dérivation.
DES DERIVATIONS. I0:>
