i)'/'^3 ^ £"'a;j3 + etc
E^Vyk f etc.
H- etc. , et calculer un terme quelconque de cette série indépendamment des autres.
La solution de ce problème fait l'objet principal de ce paragraphe ; nous allons y procéder par degrés, et recueillir les théorèmes qui s'offriront sur notre route.
i32. Cherchons d'abord à exprimer en signes de dérivation les coëificiens de la série (2) , sans les développer.
Supposons qu'on ait simplement la fonction
(p{a -{- b'y -h c"y^ -h d"'y^ -^ etc.) ; (3)
elle donnera, par l'article premier et le n.° i3o, pour la série résultante de son développement,
(pa -+- D'»(pa.y -f- -g'^.cpa.y^ -4- :^'^.(pa.y^ -+- etc. ....(4)
Actuellement , si l'on change a en a -h bx -\- cx^ -H dx^ -H etc. , b' en
b' -h c'x -h- d'x^ 4- etc. , c" en c" -H d"x -+- etc. , d'" en d'" + e"'x -H etc. , etc. ;
Dd
106 DU CAliCUIi
la fonction (3) devient la fonction proposée (i), et (pa ^jJ,<pa^ ^^^,(pa^ etc. dans la série (4) se changent , savoir ,
(pa en (pa + d. (pa. x + p2. (pa. x^ -f- p3. (pa, x^ -\- etc. , d'. cpa en d'. ^a -H d. d'. (pa. x -4- p2, d'. (^a. x^ -f- p3. r>'. ^p^, 3^3 { etc. , p'2. (pa, en p'2. (p^ h- d. p'2. (pa. x ~\- p2. p'2. (pa. x^ -4- p3. p'2. (p^. a;3 } etc. , etc. ; les d sans accent s'étendant à tout ce qui suit jusqu'au point après la lettre a.
Mettant ces expressions dans la série (4), la fonction proposée (1) devient, en ordonnant suivant les puissances et les produits de a; et de ^ , (pa-+-ii.(pa.x H- p». (pa. a;2 -|-p3. (pdt.xS •+■ p4. (pa. a;4 H- etc.
H- d'. (pa.y •+- D. d'. (pa. xy H- p2. d'. (pa. x'^y -H p^. d'. (pa. x^y -\- etc. H- p'2. (pûT.j'a -j-D.p'2. (pa.a:r^ +p2. p'2.(pa. x2j2 j etc. 4- p'3. (pa.j5 ^ D. p'3. (pa. xy^ + etc. -H p'4.(pa.^4 4-etc.
-f-etc.
d'où l'on conclud que le coefficient du terme quelconque affecté de x"*y'^ dans
la série (q) sera exprimé par d*». d'".(Z)û! = — .
^ ^ ^ * c tr ^ 1.2.. w XI. 2...»
i33. On pourroit aussi supposer d'abord que la fonction proposée soit
simplement
(p{a -\- bx ■+- cx^ -f- dx^ -f- etc.),
et , en changeant ensuite a en a -\- b'y -{- c"y^ -\- d"'y^ -+- etc. , ^ en ^ -4- c'j^ -H d'y'^ H- etc. , c en c -i- d'y ^ e"y^ -f- etc. , d en d -\- e'y -{- etc. , etc.*, en raisonnant et procédant d'une manière semblable à ce que nous venons de faire , il est visible qu'on trouveroit , pour la série résultante de la fonction proposée ( 1 ) ,
(pa-i-D.(pa.x 4- p2. <pû. 0:2 -i- -y^. (pa, x^ -\- t>^. (pa. x^ 4- etc.
^j>'.<pa.y -\-ji'.iy.(pa.xy '■hT)'.-g^.(pa.xy •+- ■DK'g^,(pa. x^y -4- etc.
H-p'2.(pa.y2 -[-:^'2,j),(pa.xy^ 4- p'2.p5(P«.x2^2 ^ etc.
