p'4.(pa.y4 4-etc

4- etc. , et en général le coefficient de x'"y'^ seroit p'". p*". (pa.

Puisque les deux séries (5) et (6) doivent être égales entre elles pour toutes les valeurs possibles de a: et de ^ , il s'ensuit que les coëfEciens des mêmes puissances et produits de a; et ^^ doivent séparément être égaux entre eux dans les deux séries , et qu'ainsi on a généralement p*". p'". <pa = p'''.D'".(p<2 ; d'où l'on conclud qu'on aura toujours le même résultat final, quel que soit l'ordre dans lequel on fasse sur (pa les dérivations indiquées par d et par d'.

134. Actuellement, pour développer les coëfficiens de la série (5), on pourroit effectuer les dérivations indiquées par d' et d au moyen de la méthode non simplifiée du §. I." de l'article premier , et en suivant l'esprit des règles ordinaires du calcul différentiel; on trouveroit ainsi

D. (^û = ■D(pa.ïy.a, d'. (pa = d (pa. T>'.a ,

p2. (pa = iD.(D.(pa) = Dcpj. p2. û 4- p2(pa. (d. û)2 , T>.D'.(pa = d.(d'.<Pg) = D cp <z. D. d'. <2 -H d2 (p <2. D. a. d'. rt , ^'-.(pa = jd'. (d'. (pa) = D(pa.p'2.a -{- ^^ (p a. (n' . ay ,

p3. (pa = jD. (p2. (pa) = d^Pû. p3. a -4- D^cpa.jD. a.p2.a + p2(p«7. |d. û.d2. a

-H p5(pûr. (d. a)3, et en réduisant, == D(pû. d3. a -f- p2^a. 2D. û. p2. a -4- p3(pa. (d. â!)5, p2.D'. (pa = yD.(d.d'.(Pû) = D(pû!. p2. d'.û! -+- p2(pa.D. û.D. d'. a

+ D2(pa.(fD.c.D.D'.â4-p2.a.D'. û) H-7D3(pa.(D.a)2D'.a, et en réduisant,

= D(pû. p2.D'. û -f- p2(pa. (qd.û.d. d'. a-t- Qp2. a. d'. û) -\- '^^(pa. 3(D.c)2D'.fl,

D. p'2. Ça = D. (p'2. (pa) = D (p a. D. p'2. a -j- d2 (pa. d. a. p'2. c + p- (pa, 2 d'. a. D. d'. a

-f- 3 ]?3(p^,D.^. (d', ^)2 ^ et en réduisant,

= IJ (pa. D. p'2. û 4- p2 (pa. ( Q D. a. p'2. 0-4-20'. a. d. d'. a) + p^Cpc 3 D. c. (D'.a)^

p'3.(pa == ■i-D'.(p'2.(pa) = D(pât.p'5û! 4- D2(pa.i-D'. c. p'2.a -4- p2(pa.j-D'. a.D'2.a

-+- D3(pa. (D'.a)3, et en réduisant, = D(pfl. p'3.a 4- p-(pû. 2d'. a.p'2. a 4- ^^ (p a. (d' . ay ,

et ainsi de suite. Si l'on mettoit à la place des a affectés de signes de dérivation les lettres respectives qu'ils désignent (n.° i3o) , on auroit les premiers termes de la série tout développés. Voyez plus bas, n.° 167.

Mais cette manière de faire les développemens des coëfficiens de la série a l'inconvénient d'exiger des réductions , parce qu'elle fait trouver plusieurs fois des termes composés des mêmes lettres ; elle ne donneroit d'ailleurs

108 DUCAliCUL

que par un calcul fort long le développement d'un coefficient quelconque indépendamment des précédens : aussi l'abandonnerons -nous. Nous allons donner deux méthodes qui feront trouver sur-le-champ, et tout réduits, les développemens des coëniciens de la série , soit en déduisant chaque coefficient du précédent , soit en le calculant isolément.

(II

Première solution du problème précédent,

i35. Pour parvenir à trouver sur-le-champ le développement réduit du coefficient d'un terme quelconque de la série indépendamment des autres , ainsi que pour déduire ces coëfficiens les uns des autres d'une manière simple; donnons un premier développement en bel y à l'expression générale D'".p"'.<p<2, afin de séparer par là les quantités polynomiales de celles qui demeurent affectées du signe de fonction <p.

A cet effet , je commence par développer p'". <pa par le théorème du n.° 20 , en faisant attention que i>\a == b\ et j'ai

IXpa. p'»-'.^' -4- pa<pû.p'«-2. ^'2 | p3^û.p'«-3. ^'3 -j- etc. H- p""» (p<2. d'.^'«- »

Maintenant, pour avoir pf.p'«. (pâ, je prends la dérivée p'» de chaque terme de la formule précédente , ce qui donne

p'".(D^Û!.p'«-».^') -î- p'«.(p2<pûr.p'«-2.^'2) | p'«.(p3(pû!.p'''-3.^'3) -+- etc.

dans cette formule p*" affecte toutes les quantités , a aussi bien que ^' , et a aura b pour dérivée relative aux d sans accent.

On développera en b chaque terme de la formule précédente , au moyen du théorème qu'offre la formule générale du n.** 100 , et l'on aura

-h p2^a.p'».p'«-2.^'2 -f-Dp2(pa. p'«-'.(^p'«-2. ^'2) ^p2p2(p^. pm-a. (^2p'«.2.^'2) | gtC.

H- p'^p^ (pa. b'" p'» - 2. b'^ H-p^Cpâ.

DBS D^niVATlOWS. IO9

-HP^Cp^- Ç'".p'«-3.^'5-4-Dp3(p^.p'»-^ C^p'«-3.^'3) + p2p3;p^.p«-3. (^2p'H-3.^'5)4 etc.

-H etc ;.........

-{-p«-2(p^.p«.p'2.^'«-> } etc. -t- p^-apn-^ip^ï. p2.(^m.2.p'2.^'/i-a)

-j-, pw-ipn-a (p^. D. (^«-ï p'2.^'«-2)| p'«pn-2(p^. ^«p'a. ^'«-2

-f. p«-^(p^Z. P^.d'. ^'«-» H- etc. -f- p'»-2p«-i(p^.p2.(^»»-aD'.^'«-i)

+ p«<p^.p'». ^'« + etc. -4-p'»-2p«(pa.p2.C^'»-^^'") + p'»-ip«(p^.D.(^'»-^^''')

On ordonnera cette formule par rapport aux indices des d sans point qui affectent <p^, en mettant ensemble tous les termes où les indices de ces d font la même somme , et l'on aura la proposition suivante.

Théorème.

i36. Le coefficient du terme quelconque affecté de x^y^ dans le dévelop- > *

pement d'une fonction quelconque de polynôme double peut s'exprimer par

la formule suivante ,

p«.p'''.(|)Yi = (lo)

D^p^.p*. p'«-'.^' + p^^^.p"». p^«-«. ¥^ + p^cp^. p". p'^""^- ^'^ -t- p^<P^. p*". p'"-4. 3'4

H-DD(p<Z.p'"-».(^p''*-^^') -HDp2(pâJ.p«-l.(^p'«-2.^'2) +Dp3(p^Z.p«-i.(^p'n-3.^'3)

4-Dp4(ptf. p'»-i,(^p'''-4.^'4) . +p'»-3pn-i(p^2!. p5.(^'»-3D'.^'«-»)

-|-p2p3(p«.p'n-2.(^2p'n-3.^'3) -4- etc. . -h etc. H-p'«-2p«-2<p«.p2.(^'»-2.p'2.^'«-2)

-f- p3p2(p^.pm-3.(^3p'n-2.^'2) ^ p'»-ïpn -3(p^.I).(^«-lp'3.^'fl- 3)