CX
-4- dx^
-+- ex^
Vy
-h c^xy
-\- d"xy^
-t- e"jc2j2
-H e"'xy^
^\ " , jwl-^ , jwl,'^ '-etc. '^ ^^^
• etc.
etc.
on considère les coëfficiens des colonnes verticales ; on voit qu'en imaginant a? = 1 , le polynôme se partage en plusieurs polynômes simples qui procèdent suivant les puissances de^, savoir
b + Vy,
c -h cy -f- c^^y^ t
d ^ d'y ^ dy^ -4- ^v» (^)
etc.
Si maintenant on regarde les coëfficiens de ces polynômes partiels comme
dérivant les uns des autres , on est conduit à une nouvelle sorte de dérivées
où les lettres ne changent pas, mais seulement les accens, et où b\ c", ^3^'",
e"', etc. , sont des dernières dérivées, dont les dérivées ultérieures sont zéro.
i53. Désignonspar'ïDO, '2ço^ '3po^ etc. , les dérivations de cette espèce; on aura, en regardant b , c, d ^ e ^ etc., comme des premiers termes de polynômes,
124 I)V CÀIiCUL
'Ji>o.e = e', '^po.e =r e", '^po.g ^^ g'" ^ '4po.e :^^ e'^; et ainsi de suite.
Si l'on compare '^po.e avec p'^.e, on voit que dans '^po.g la lettre ne cliange pas, mais seulement le nombre des accens , tandis que p'^.e dénote que la lettre change en même temps que le nombre des accens, car '3po.e=e"'et p'3.e = /î'". En général p'^.p'".^ indique la (77^+^2)**°** lettre après b , affectée de n accens, tandis que ''*po.D'".6 indique la m'*"" lettre après b affectée de n accens ; et, enseservantdesnotationsgénéralesindiquéesàlafm dun.^iSo, on a p'".p'''.6 ou p'^p*".^ = bm,n et '«po. p"^. b = bm.n,n, d'où l'ou conclud que '«p".p'».^ est la même chose que p'« - ". p'". è , et '"p». p"». (pa la même chose que p*"- ". p'". (pa.
164. Cela posé , passons à la solution du problème. Si dans la fonction proposée (a) on suppose
cx"^ H- éxy -1- é^y"^ = ^j (c)
dx^ -\- d'xy -f- d"xf^ -H d"'f^ = î) ,
ex^ -H e'x^f + e"xy^ -f- e"'xy^ -f- e'^/4 = g,
etc. , la fonction prendra cette forme
Ç{a + S5-}-S + î5H-e-f- etc.), (^)
et l'on aura pour les premiers termes du développement (n.® 33 )
-Hp2cpâJ.352 H-p2(p^. Q«8g -f-p2(p«.(2?8I)-H(S2) ^etc.î..(e) -Hp3(pa.fS3 -H p3(p^. 3252g H- p4^^. 254 et comme tous les polynômes (c) sont homogènes en a; et / , de même aussi toutes les colonnes verticales du développement {e) seront homogènes en x ety, (pa ne contenant ni x ni^, et les q.^, 3.^, 4.*, 5.'^, etc. colonnes étant respectivement de une, de deux , de trois , de quatre, etc. dimensions en x et y*
Ne prenons qu'une de ces colonnes, la 5.® par exemple; ce que nous en dirons s'étend à toutes les autres. On voit qu'en y mettant uniquement b , c, dy e klsL place de 25 , ^ , X) , S respectivement , on aura le coefficient de «4, lequel sera par conséquent
D(p«.e H- p2(p«. [<ibd -+- c2) H- p^cp^. 3b-'c + p4(pa. M , .... (/*)
et
DESD^niVATIONS. IsS
et qu*en faisant x = i dans les polynômes (c), en mettant les polynômes (^) à la place de S5 , €, î), S respectivement, et en développant suivant les puissances de y l'expression qui en résulte , on aura les coëfficiens de x'* , x^y , xy^ , xjr^ t y'^ '- en effet , par cette substitution la colonne cinquième devient D^a. (e -j- ey -H e"j2 j e^^iyb 4- e' ^4) -H p2(p^. { Q {h-\'h'y){d'\'d}y -h ^3Î'y2-|^"|y3)|(c -j- c^ + c"jK^)^} H- p3(pa. 3(^-+-^;y)2(c-f- c'jH- c'y) —• (é';
-H p4(pa. (3 + ^y)4
Mais il est aisé de voir que les coëfîiciens de j^, jK^, J'', y'^ du développement de ( g" ) se déduissent facilement par dérivation de la formule (/) ; qu'il suffit pour cela de supposer que b y c, d^ e aient pour dérivées celles que nous avons indiquées ci-dessus n.° i53 , et d'appliquer les théorèmes et les règles du §. I.*"^ de l'article second, en regardant chacune des quantités e, ibd y c2, 3h'^Cy M comme une origine particulière de dérivation, et toutes les lettres différentes comme indépendantes les unes des autres. On voit d'ailleurs que cette formule (/) n'est autre chose que le coefficient développé et réduit de x^ dans le développement de
<p{a -]- bx -H cx"^ -f- dx^ H- etc.).
i55. D'après cela , et en observant que les régies pour faire les dérivations indiquées par '^d^, '^po^ etc., '"p^ sont Jes mêmes au fond que celles que nous avons données pour les cas où les dérivations exigeoient le changement des lettres ; on a , pour le coefficient de x^y dans le développement de la fonction proposée («), ou pour celui de j^ dans {g) ^
pour le coefficient de j^2 dans {g) ou de x^y"^ dans (e),
r>(pâr.'2po.eH-p2(p«.j'2po.(Q^^)|'2po.c2J H-p3(p«.'2po. (3^2c)|ç4(p^.'2po.^4j
pour le coefficient de^ dans {g) ou. die xy dans (e) ,
D(pa.'3po.e^p2^^.|'3po.(Q^^) l '3po.c2} 4 p3<p^.'5po.(3^2t^)|p4^^.'3po.j4j
et enfin , pour le coefficient de j)/'4 ,
D(p«.'4po.e4-p2(pa. {'4po.(Q^^)4-'4po.c2 j 4- p5(pâ5.'4po.(3^2c) | p4^^.'4po.^4.
Si , en déduisant ces coëfficiens les uns des autres , on effectue les dérivations par les procédés du §. I." de l'article second , en faisant attention aux
la6 DUCAIiCUL
lettres accentuées dont les dérivées sont zéro , et en observant qu'ici a n'a point de dérivée , on trouvera les coëfficiens de la cinquième colonne du n.° 157 ci -après.
i56. Il est facile de voir que ce que l'on vient de dire de la colonne 5.' de la série du développement , s'étend aux autres colonnes verticales , et qu'ainsi on peut établir la règle suivante.
RÈGLE
Pour développer une fonction quelconque de polynôme double , en une série double;
Calculez les coëfficiens des termes affectés de x, œ^ , x^ , x^ , etc. x" , etc., sans y ^ par la règle du n.^ 3o ^ en excluant du polynôme tous les termes affectés de y.
Puis f pour déduire du coefficient de x'^ ceux de x"-^y, x^-'^y'^ , x"-^y'^, etc. successivement ; dans les quantités polynomiales du coefficient de x'* développé et réduip , considérez chaque monôme comme une origine particulière de dérivation et les différentes lettres qui le composent comme des quantités indépendantes les unes des autres , et faites une dérivation divisée, en supposant la dérivée divisée de a égale à zéro , celle de b égale à ¥ , c' celle de c ^ d^ celle de d , etc. ; faites ces dérivations par les procédés du §. /.*'■ de l'article second, et uous aurez le coefficient de ^"-'y.
Ayant eu soin de distinguer par des barres "verticales , ou autrement , les unes des autres les quantités provenues des différens inonomes du coëf" ficient de x*^ ; faites une seconde dérivation divisée, suivant les procédés cités , en supposant la dérivée divisée de V égale à zéro , celle de c' égale à c", â?" celle de d\ etc. , et qjous aurez le coefficient de x^-^y^.
Continuez d'une manière pareille pour avoir les coëfficiens de x'^-^y'^, ^n-4j^4j etc.
Les barres 'verticales servent à partager les quantités en groupes , à chacun desquels il faut appliquer en particulier le procédé de dérivation qui résulte de la règle du n.° 88 et de ce qu'on a pratiqué dans l'exemple du n.° gg.
Cette règle est facile et commode ; nous nous en sommes servis pour calculer par colonnes les coëfficiens réduits de la série suivante. Le lecteur, pour s'exercer , pourra pousser plus loin ce développement.
DES DERIVATIONS.
iSy. Voici les premiers termes réduits du développement de la fonction de polynôme double proposée n.*' i3j.
l.recOL. a. de COL. 3.e C O L O N N B. 4*' C O t O W W E.
-H D(pa. c'
-\- D(pa. c"
{ 7bc' )
( abc'' ) ■^r^^'j^ab'c]
xy
+ p3^«. 3èô'2 -\~T>(pa.d"' -}- ^^(p^' b'^
xy^
D(pa, e x^
^^(pa.{2bd-h-c^)
■ ^^(pa. b^
■ T>(pa. e' ■^■2(pa.{2bd' -f- <2b'd\ -h- 2cd) •B^(pa.{3b^c' -{-6bb'c)
■ ncpa. e"
^ iQbd"-\-<ib'd'\)
- p3(p^. { 3 b^c" -hSbb'c' H- 3i'2c }
4-p2(p«.(Q^^'"-HQÔ'^"|-f-Qc'c") -I- p3(p«. (6ôô'c" 4- 3èV) -f- p4(pâ!. 466'5
-l-p2^^î.(26'ÊÎ'"|-Hc"2) -l-p3(p^7. 36V -i- p4<pa. 6'4
^JK^
DU CAliCUIi
