En suivant la règle, on déduira sur-le-champ du terme
TtCpa.é^ '^•g^(pa.{2b'd"' -i-c"^] -h^^Cpa.Sb'^c" -H y^Ça. b'^
lÊp Dû C À L CUL
par exemple , terme que l'on peut toujours calculer par les règles du §. II ou du §. III de l'article premier , on déduira , dis-je , les développemens réduits des termes suivans affectés de xy^ , x^yà , a;3j4 , etc. , comme on les voit ioi.
j)(pa.f^ xy^
- Dp2(p^. b{2b'd"' -+- c"^)
- Dp^cp^. bSb'^c"
- Dd4<P^z. èè'4
y^(pa.[3b'^e" 4- 6^'c'J" 4- 3(qW H- c'^)^"} Dp2(p^. ji(<26'e'" 4- 2c'^'" H- 2c"^") 4- c(a6'^'"4-c p2D(p^. ô^e'^
- Dp3(p^. {3(3^/2^" 4- e^c'c'O 4- c36'2c" } ; 4- p^p^^p^. b^(2b'd"f 4- c"2)
- Dp4(p^.{è4è/3c/ 4, cè'4j
- ^^D^(pa.b^3b'^c'*
- p2p4<ptf. è2ô'4
DBS D E II I V A T I O N S.
+ ^'(pa.{2b<g"' + Qc'/"' + 2d'e"' + 2e'd>" H- qc"/" + '2d"e"} -+- DDcpa. { %'^ H- c/'^ + de'^\
+ .p3ça. { Sb'^f" -H 66'c'e" + SCQè'^' H- c'2) ^" H- 3(q W -h 2c'd') c"} H- p2D(pfl.JA2yv^ ^-. <2bce'^]
Dp^cpa.
DD4(pa.{ô(43'3^' -f p2p3(pa.(^,2(3è'2^"
p2p4(pû.(ô2^^'3c' p3p3<pa. 6336 V
p3p4(pa. 636'4
ciSb'^'d" -i- 66'c'c") H- d3b"'c" )
66'2c'2) + c46'3c' -j- Jè'4} -H 66'c'c") + 2bc3b'^c"} - c"c")
etc..
ÎLfm'ol -"11 '3
Tii' ij" ocr» p'-»
100. Nous avons vu, n.° i33 , que p'". p'". (pa est égal à p*. p'«.(p«; si donc on développe la première de ces expressions d'une manière pareille à celle par laquelle on a développé la dernière dans le n.° i35 , à cela près qu'on commence ici par les dérivations indiquées par d , on aura la formule
p'". (d<P^. p'»-'.Z') -+- p'". (p2(p^.p'»-3.^2) | p'". (p3(p^. pw-S.:^?^,^!- etc. + p'". (p^-^^p^. p2. ^'«-2) -f- p'«. (p'»-i<pâ^. D.^"»-!) H- ^'\{D'"q)a. b"") y et de là , en développant encore en b' chaque terme , on tirera
fT
1 22 DUCÀLCUIi"
( ' -|-DD(p<2. p'«-». (^'p««-'.^) H-Dp2(pa. p'«-».(^'p'»-2.^2)
-}-p2D(p/2.p'n-2^^'2pm-i. ^) -f- p4(p/2. p'* / ' -4. ^4 | pn - 3 p w^^. p'S. ( h^n^ 3 ^m)
-HDp3(p^; p'«^».^.yp'»-3. ^3) +p''-2pm-i(p^. p'2,(^'n-2D.^m.i)
1 6iC< • • • •
-f-p2p2<p<!ï.p'n-^(^'2p'»-2.^2) H-p«-ip'«-2(p<z,i)'.(^'n- ip2.^»j-2)
| pii-apm^p^. pf2,(^'n-2^m) H- p"- » p'"(P^. d'. (^'«- i^"») + p^p^^^a. ^'"^'».
H-p«-ip'"-'^^.D'.(^'«-'D.^'"-i) +p''p'»-»(p^. ^'"d. ^'«-1 j p«pm- 2 ^^. ^'/i p2, ^m - 2
Cette formule se déduit immédiatement de celle du n.° i36 , si dans celle-ci on échange entre elles les lettres b et y , les exposans et indices ttï et tz , et les signes D eto'. Elle sert comme l'autre , avec les changemens convenables, à calculer un terme quelconque de la série indépendamment de tous les autres, ainsi qu'à déduire les uns des autres les coëfficiens de ces termes. Mais, au lieu que la formule du n.° i36 nous a conduits à déduire les uns des autres les coëfficiens des termes qui suivent la même ligne horizontale j celle-ci fait arriver à la règle pour déduire les uns des autres les coëfficiens des termes qui suivent les obliques inclinées aux lignes horizontales d'un angle demidroit , du terme Dx^ , par exemple , les termes Ex^y , F^^x^y^ , O^^x^y"^ , iV^x^y'^^ etc.; et c'est là la seconde manière de déduire les uns des autres les termes de la série , manière dont, à la fin du n.° 144, nous avons promis de faire mention.
Ici , lorsqu'on effectue les dérivations d' sur les quantités polynomiales , il faudra regarder toutes les lettres différentes, avec ou sans accent , comme indépendantes les unes des autres , à l'exception seulement des lettres qui dans le polynôme du n.** 129 suivent les lignes obliques, inclinées sur les horizontales d'un- angle demj-droit, comme c, d) ^ e",/"'", etc. , lesquelles seront regardées comme dépendantes les unes des autres; et quand on fait une dérivation d sur les seules lettres sans accent , on l'effectuera à l'ordinaire , en considérant ces lettres comme dépendantes les unes des autres.
Pour ne pas passer de justes bornes, je supprime des détails, que le lecteur suppléera aisément.
» DESD^RTVÀTIONS. 123
(III
Seconde solution du problème précédent.
i5i. Nous allons présentement donner, pour résoudre le problème proposé au n.° 1 3 1 , une méthode qui , lorsqu'il s'agit de déduire les coëfficiens de la série les uns des autres , est à quelques égards plus facile que celle que nous venons d'employer : elle est d'ailleurs plus étendue dans ses applications.
Nous avons remarqué, n.° 144 , qu'on peut aussi déduire les uns des autres les différens termes de la série '2) n.° i3i qui se succèdent dans les mêmes colonnes verticales , c'est-à-dire les coëfficiens affectés généralement de a;'», x^-^y^ x'"-^f-, ^«-3^3, etc.; et c'est de la manière de faire cette sorte de dérivations que nous allons nous occuper.
