ARTICLE QUATRIÈME
Applications du calcul des dérivations aux séries récurrentes, tant simples que doubles ou triples , etc., d'un ordre quelconque.
201. La matière que nous allons traiter a mérité l'attention des plus grands Géomètres à cause de son utilité dans plusieurs recherches, principalement dans la théorie des probabilités. Elle offre un des cas des moins compliqués auxquels on puisse appliquer le calcul des dérivations.
MoivRE est le premier qui ait considéré les séries récurrentes simples , dans sa Doctrine of chances et dans ses Miscellanea analytica : il a enseigné à trouver la somme ou la fraction génératrice de ces séries , et à en trouver le terme général en décomposant en facteurs binômes le dénominateur de la fraction génératrice égalé à zéro : cette matière a été traitée ensuite par EuLER dans V Introduction à l'analyse des infinis.
Lagrange s'est occupé à plusieurs reprises des séries récurrentes simples; d'abord dans le tome I.^'^ des Mélanges de Turin il a rappelé la recherche du terme général de ces séries à l'intégration des équations linéaires aux différences ( finies ) , et il a étendu cette intégration aux cas où l'équation de relation a un dernier terme , fonction de la variable : le cas particulier où ce dernier terme est constant a aussi occupé Vincent Riccati , qui a donné sur ce sujet un mémoire imprimé dans le tome V des Mémoires présentés à l'Académie des sciences de Paris.
Lagrange , depuis , a simplifié considérablement toute cette théorie , au commencement de ses belles Recherches sur les séries récurrentes , etc, imprimées dans le recueil de l'Académie de Berlin pour 1776. Dans les mémoires de Paris pour 1772, 1.*^® partie , ce grand Géomètre a résolu d'autres problèmes nouveaux sur les séries récurrentes ; il y donne une méthode pour trouver si une série proposée en nombres est récurrente et de quel ordre : il a encore donné une autre solution de la même question dans un mémoire sur les interpolations , qui n'a paru jusqu'ici qu'en allemand, dans les Ephémérides de Berlin pour 1783. Prony vient aussi de traiter avec détail les principales questions qu'on peut proposer sur les séries récurrentes, dans le journal de l'École polytechnique.
Laplace a fait de savantes recherches suf le terme général des séries récurrentes
DES DÉRIVATIONS. l6l
rentes doubles ^ qu'il a nommées récurro - récurrentes , dans les mémoires présentés à l'Académie de Paris , tomes VI et VII , en considérant cette matière comme un cas particulier des intégrations des équations aux différences ( finies) partielles à plusieurs variables , intégrations pour lesquelles il a donné des méthodes ingénieuses. Lagrange, dans les recherches citées, imprimées dans le volume de l'Académie de Berlin pour 1775 , a traité de nouveau le même sujet; il y enseigne à trouver le terme général des séries récurrentes doubles et triples , par des méthodes nouvelles , qui ramènent cette matière à la théorie générale des séries. Depuis , Laplace a encore repris le même sujet dans son mémoire sur les suites» Académie des sciences de Paris pour 1779.
202. Notre intention est de faire voir dans cet article que le calcul des dérivations s'applique avec une très -grande facilité aux séries récurrentes simples, et qu'il donne, pour les termes généraux de ces séries , des formules fort abrégées , qu'on peut ensuite développer facilement pour chaque indice ou'quantième de terme en particulier , quel que soit cet indice, pourvu qu'il soit un nombre entier , ce qui est le cas le plus ordinaire dans la théorie des probabilités. Nos développemens présentent les termes de la série exprimés en coëfficiens du dénominateur de la fraction génératrice , mêlés avec quelquesuns des premiers termes dont on suppose la valeur connue , tandis que toutes les méthodes dont on a fait usage donnent le terme général en puissances des racines de l'équation qu'on obtient en égalant le dénominateur à zéro. Les développemens que donnent nos méthodes, quoique toujours faciles à effectuer, sont souvent fort longs ; mais cet inconvénient paroit compensë^ar l'avantage de n'avoir pas à décomposer le dénominateur en facteurs simples, ce qui, lorsque le dénominateur va au-delà du quatrième degré, et que ses facteurs né sont pas rationnels , surpasse les forces actuelles de l'Analyse.
Quant aux séries récurrentes doubles, nous offrons l'essai d'une méthode qui a cela de particulier , qu'on y forme aussi d'abord la fraction génératrice de la série : le dénominateur se déduisant sans peine de l'équation de relation, la principale difficulté est réduite à former le numérateur, et quelquefois encore à savoir par quel terme du dénominateur doit commencer le développement. Quand la fraction est ainsi déterminée , les dérivations donnent toujours le terme général sans qu'on ait besoin de décomposer en facteurs. Cette méthode , qui nous paroît mériter d'être cultivée et perfectionnée , étant appliquée à
162 DUCAIiCUL
plusieurs problèmes sur les probabilités , nous conduit aux mêmes résultats que Lagrange et Laplace ont trouvés par leurs méthodes , et elle y conduit souvent avec beaucoup de facilité. Nous indiquons ensuite la manière de l'étendre aux séries triples.
er
Des séries récurrentes simples,
203. On nomme séries récurrentes celles dont la propriété est , qu'un terme quelconque se forme de l'addition d'un certain nombre de termes précédens , multipliés chacun par un coefficient donné.
Ainsi , Am désignant un terme quelconque , si l'on a entre ce terme et les trois précédens Y équation de relation ,
a ï S" , y , (î* étant des quantités constantes données , positives ou négatives , la série sera une série récurrente du troisième ordre ; car cette équation donne
OC ce OC
où l'on voit que A m est formé de l'addition des trois termes précédens , chacun étant multiplié par un coefficient constant. On dit que la série récurrente ou son équation de relation est du r^^"* ordre , si la différence entre les indices des termes extrêmes A m etAm^r est égale à r. Les constantes qui multiplient les termes successifs , écrites les unes à la suite des autres , comme
ce -h C -\~ y -h S forment ce qu'on nomme Yéchelle de relation.
Nous ne nous proposons pas de donner toutes les applications que l'on peut faire du calcul des dérivations aux séries récurrentes : le problème suivant est le plus important dans cette matière , à cause du grand nombre de ses usages , et nous allons en donner une solution directe , qui ne demande aucune décomposition en facteurs.
Problème.
204. Etant donnée l'équation de relation d'une série récurrente simple, d'un ordre quelconque ,
OcAm-\- QAm^i -hyAm-'2~\-^Am^^-r- CtC. -f- flfr-i ^m-rH- i -j-OCrAm-r = 0;
trouver l'expression du jterme général de la série en a, C» y > <î» etc. , «r.
DES DÉRIVATIONS. l63
Pour simplifier , nous ne considérerons que l'équation de relation du troisième ordre , il sera facile de voir que les raisonnemens sont les mêmes pour un ordre quelconque.
Soit donc l'équation de relation
a^m -f- ê^^ffl-i -+- y^«-2 + ^^m.3 = O, ....(l)
laquelle , au moyen de nos notations , prend cette forme
«p'». ^ + B.eC'^^'^»u4 -h ç2.^. pOT-2. ^ j p3,^.p«-3. ^ = O :
or , en comparant avec la formule du n.° 87 , on voit que le premier membre de cette équation n'est autre chose que le développement de p*". (a^), p^.a, ou <^, étant un dernier terme dont les dérivées sont zéro; c'est-à-dire, qu'il n'est autre chose que le coefficient du terme affecté de x"' dans le développement du produit
icc-\-Ca) -h yx^ 4- Sx^){J -^Bx-h Cx^ -|- Dx^ -h Ex^ -4- Fx^ -^ etc.), -.• (2) le premier polynôme n'ayant que quatre termes et le second étant indéfini.
a -^-hx -\- cx^ -H dx^ + ex^-{-/x^ -h etc. . . . . ( 3 )
la série résultante du développement de ce produit, on aura
a = ccA, b^=T>.(ocA)j c=p2.(a^), J=:p3.(a^), e = p4. («y^), etc.; mais , puisqu'en développant ces expressions on trouve
d = ccAz -\- CJz H- 7-^1 -i- ê^ , ez= uA^ -+- ^Az + yA^ ^ SAi , etc , et que ces' valeurs doivent satisfaire à l'équation de relation , il s'ensuit que d , e y /, g , etc. sont tous égaux à zéro : il n'en est pas de même des valeurs de a y b et c , lesquelles , étant
a = uA , b = ocAx -f- ÇA , c = ctAz -4- Mi -H yA , ne remplissent pas toute l'étendue de l'équation de relation (1), et, sans s'évanouir , demeurent indéterminées. Ainsi la série ( 3 ) se réduit aux trois termes
a -^ bx ^ cx^ , tous les autres étant zéro. On remarque , sans que j'en avertisse , que , conformément à nos notations , nous écrivons indistinctement ^ ou y^i , C ou A2 , etc.
Donc , puisque la série ( 3 ) est égale au produit ( q ) dont elle est supposée le développement, nous aurons l'équation a •{■ bx -{- cx^
•« 4- Cx + yx'^ 4- èx^
=:A-hJ5x'-\- Cx^ -f- Dx^ H- etc. -H AmOQ"" -h etc. ... (4)
l64 DUCALCUIi
Les. coëfficiens du second membre de cette équation représentent les termes successifs de la série récurrente , et le premier membre est une fraction qui , par son développement, suivant les puissances de a;, donne ces mêmes termes. Cette fraction se nomme la fraction génératrice de la série récurrente.
Or il est clair que par nos méthodes on peut calculer un terme quelconque du développement de cette fraction , indépendamment des termes précédens. En effet , l'origine des dérivations sera aoer ' , et le coefficient de x^ sera Atn = p*". («a"' ) , c ex ^ étant des dernières quantités , dont les dérivées sont zéro (n.° io5). "
On a donc pour l'expression du terme général de la série récurrente du troisième ordre , en ^^ , h ^ c , et « , C, y , ^ ,
Am = ^"'.{aoc-') , , (5)
ou bien , en développant en partie ,
J^ z= «p'«.«-> + h^'^-Kcc-' + cp^-^.a-' , (6)
p3.^ , p4.cg , etc. étant = o.
L'expression ( 5 ) ou ( 6 ) est un véritable terme général , puisqu'elle est une fonction de m qui indique le quantième du terme : elle exige à la vérité un développement ultérieur ; mais , quel que soit 777 , pourvu qu'il soit un nombre entier positif ( ce qu'on suppose toujours dans les séries quand il ne s'agit pas d'interpoler ] , ce développement peut toujours s'effectuer facilement par nos règles; et l'on peut regarder l'opération du développement comme toute autre opération arithmétique ou algébrique que la! formule générale indique et que l'on effectue dans chaque cas particulier.
2o5. La même solution s'étend aux séries récurrentes d'un ordre quelconque. Ainsi, en reprenant l'équation de relation proposée de l'ordre /-, savoir
OcAm -\-QAm-\ H- 7^OT.a -h ^Am-Z "i" GtC, + «r-i^m-r+i H" OCrAm.r= O,
on en formera sur-le-champ le dénominateur
ce -^ Cx -\- yx^ -+- Jjc3 + etc. H- ar-2 ^'■^ ' -f- «r^*" , (7)
en mettant simplement 1 , Xy x^, x^, etc. au lieu de Amt Am-i , Am-zj Am-Zy etc. respectivement dans l'équation de relation proposée ; et la fraction génératrice sera
a + l?x -{- cx^ -f dx^ + etc. -\- ar.iX^-^ .^^
« + C^ + «yX^ 4- ^^3 + etc. + CCr-iX'--* + CCrX' '
le numérateur ayant toujours un terme de moins que le dénominateur.
Les
DES
DléRIVATlONS. l65
Les valeurs de a, b, c^ d ^ etc. ar.x demeurent arbitraires, si l'on n'a que l'équation de relation proposée : pour que la série récurrente soit entièrement déterminée , il faut que les valeurs de ces quantités soient données immédiatement par les conditions de la question , ou bien il faut que l'on connoisse les A— I premiers termes de la série récurrente , car les valeurs de a^ b^ c, d^ etc. s'en déduisent ensuite facilement. En effet on a , d'après le n.° précédent, a = ocA j b = D.(ocÂ) , c=-^'^.{ccA) , et généralement a, == ^^.(ocÂ) ; ou , en développant ,
a = uA ,
h = ccB -Y- J^A,
c = ocC + ÇB -+• yA ^
d = ctD -i^ ce -h yB -{- SA , .
etc. ... V
ar. 1 = OcAr- 1 -4- SAr-2 H" y^r-Z 4- etc. -H CCr- \A'
Quant à la valeur de ar^ elle est ccAr •+- CAr-i -h yAr-2 ~\- etc. -f- e»rA , et comme cette quantité est un cas particulier de l'équation de relation , il est évident qu'elle est = o , ainsi que toutes les valeurs de «r -i- 1 , ^r -f- 2 > etc. : voilà pourquoi le nombre des termes du numérateur de la fraction génératrice est toujours moindre de un que celui des termes du dénominateur.
A présent nos méthodes donnent pour le coefficient de x"* dans le développement de la fraction génératrice ( 8 ) cette expression
Am = ^'".(acc-^) , (10)
^r-i et ocr étant des derniers termes dont les dérivées sont zéro. C'est l'expression très-simple du terme général demandé de la série récurrente de l'ordre r. Ainsi le problème proposé au n.° Q04 est résolu.
On trouve au n.° io5 trois manières différentes de développer cette expression ; par la première on a
Am= ■^'".(acc-') = ' (11)
tfÇ'".a-'-+-^p'"-».a-» -f- cp«-a.a-*-f-etc. -F-^r-2p'"-'"+^.a-* -f- <Zr. 1^*""+ *.«"'•
Nous allons ajouter quelques observations sur les développemens du terme général que nous venons d'obtenir.
206. Puisqu'on a eu a = ccA , on peut mettre l'expression ( 1 o) sous cette forme ,
Am = ç'".(«u4«-0»
Tt
l66 DUCALCUIi
pourvu qu'on fasse zéro les dérivées de ocr et qu'on ait soin de rejeter toutes les dérivées àect'^ inférieures à p" - '^ + ». »- » , à cause que , dans p*». (««-») , ar-i est un dernier terme , et partant que «r-ip'"*'""*"^«-* est le dernier terme du développement de p*". (â5«" * ).
Avec cette attention on peut partager otAoc'^ différemment en facteurs avant que de faire le développement de l'expression précédente.
1.° En partageant otAoc-^ dans les facteurs otA et «-*, on a sur-le-champ
-H {uB H- ê'^)p'»-'.«-i
-f- (qî/) H- ^C -I- y^ -I- <J^)p«-3.«-i . . '
H- etc
-+- {ecAr-i -4- Wr.2 -H, yAr-Z -h etc. -t- OCr-o^B + «r-i^)p'"-'" + ^«-^
2.** En partageant le produit ocAoc''^ dans les facteurs ^ et «. a-», on a aussi sur-le-champ
Am = p'».(^ X «.«"0 = ^ («p'".»-^ + Cp'»-^»-' + yp'»-^»-» -H etc. H- ar-ap'"-'-^-^.»:-» + «r-,p'«-''+».a-0 4- ^(«p"»-». «■* + ^p'"-2. oj-i -h yp'^-S.a-i H- etc. -+- «r- 3p'"-'' + ».««-») -f- C(ap'»-2.^-i f g'p'»-3.«-i ^- etc. 4- «r-3p'"-''+'.«-')
H- Z?(«p'«-3.ûî-> -4-Cp'"-4.«-i 4^ etc. -H «r.4p'»-'' + ».a-») (i^)
~T~ etc. •.••.••.••.••••.••••**••, 4- ^,.2(ap'»-'''+-^a5-> ^ g'p'»-^+i.«-») -t- ^/iLap" '' + ».«-».
Cette dernière formule s'accorde au fond avec celle qu'a trouvée Laplace, par une voie différente , dans son mémoire sur les suites (Académie des sciences de Paris , année 1779, P^ge 237). La formule précédente ( 1 Q ) paroît préférable dans plusieurs occasions ; on peut cependant mettre cette dernière ( 1 3 ) sous une forme qui en abrège les développemens , ainsi qu'on va le voir.
207. Quelle que soit la dernière des quantités cç, Ç, y^ ^y etc., c'est à-dire celle dont les dérivées sont zéro , on a toujours
à cause que t».«ç-> = 1 , et que d. 1 = o , et p'.i = o, Soit g, par exemple,
DES DÉRIVATIONS. iSj
la dernière des quantités », ê* , y , etc. : on aura , en développant ,
p'.(«.âf-i) = «p*.»-» -f- g'p'-'.a-» -f- 7p'-2.a5-i -f- Jg'-S.of-i -{-gp'-4.«-i = o; d'où l'on tire les équations suivantes
ap^«"» -f- g'p'-i.a-i -f. yp*-3.£^-i -j- ^p'-3.^-i = >« £p'-4.aîap^oî-i -H g'p'-».a-i -h yp'-^.a-i = — S^'-^.cc'^ — ep'-4.c»- Au moyen de ces équations la formule suivante , qui donne le terme général pour l'équation de relation du quatrième ordre,
et qui est un cas particulier de la formule ( 1 3 ) du numéro précédent , savoir ,
-^(ap^a-i -+- ^p'»-».«"^ + yp'»"2.a-» + Jp'«-3.«-«) H- B{o6^'"'Kcc''^ -H ê'p'"-=.a-' -+- yp'"-^.»-*) 4- CCap'"-^.»-» -{- é'p'"-3.«-0 H- D.oc^'^-^.u^^ , se change en cette autre , plus simple et plus facile à évaluer en nombres ,
^- ^.sp'"-4. «-»
— ^(^p^M.a-i -f. gpm.5.^-1) -+- C(ap'»-2.a-» + g'p'«-3.«-i) H- /).«p'«-3.a-i,
où le nombre des termes est réduit à la moitié plus un. Dans ces deux formules s est une dernière quantité dont la dérivée est zéro. •
Cette simplification s'étend au terme général d'une série de l'ordre quelconque r, et la formule (i 3) devient ainsi , «r étant toujours une dernière quantité,
— CCar.apw-^^-i -+- «r.ip'«-'-».«'» -t- «5rÇ'«-'"-^a*0 etc ,
-H ^r.sCap^-^ + ^.fV*» H- 5'p'""''-*-*.»" -H yp'"-'' + ^«-0 -H -4r.a(ap'"■' + ^«-^ -H ^p'"-'" + »» a'») 4- ^r-i.tttp^-' + ^flS'».
.^68 DUCAliCUIi
208. Éclaircissons par un exemple la manière d'employer nos formules.
Exemple.
On demande le onzième terme de la série récurrente du troisième ordre, dont l'équation de relation est
U^m -4- QAm — \ -V- y^m — z -\- ^^m^Z = O ,
les trois premiers termes A , B , C étant donnés.
La formule (11 ) du n.° 2o5 donne pour le terme cherché
OÙ $ est une dernière quantité. Je lis cette formule à rebours et je développe d'abord ç^.»— " ; j'ai par le n.^ qo , en écrivant la suite à rebours ,
les termes suivans sont zéro, à cause que «^ est une dernière quantité. Développant ultérieurement par la règle du n/' 43 , j'ai sur-le-champ
p8.«-i a-9.ê*8 — a-S^g'fiy -f- «-7(6^5^ -h 1 5^ V )
— a-6 ( 1 oê'^Qy^ -+. i iiÇ2yZ^ ^ a-5(6g'^<^- + 4^3«y2j -h /+)— «-^. '^y^^- De là on tire successivement par dérivation les développemens suivans , par la règle du n.° 3o, en commençant, si l'on veut, par le dernier terme,
— «-6 ( 1 0^3^ -+- 1 oê'^3y2(^-l- 5 gy^O -t- «-^ (4^%<^ -+- 4y^<^) — «-"^-^^ pio.^-i = a-".^io^-io.qg'8y|^-9^8g'7<J{Q8^6y2)^-8(2ig'52yJ+35g'4y3) -H<»-7(i3^4j^-f-QoC33y2(yH- ï5g'2y4) «-6(10^ ^3yj^2 4. 3^4y3^l ^5;
Ges développemens réduits de p^.»— i, w.oc~^ , p'°.a"~* étant multipliés respectivement par c = (icC-\-CB -hyA j b =: ocB -\- I^A ^ a=ccA^ la somme des produits est l'expression développée du onzième terme de toutes les séries imaginables du troisième ordre.
Supposons, pour appliquer ces formules à un cas numérique , qu'on veuille le onzième terme , l'équation de relation étant
u4m -H Am—i — Q^m~3 2-^ot — 3 = 0>
et les trois premiers termes étant ^ = i, ^ = 2,C=3.
On aura « = i, ^=1, «y= — q, ^•= — q; az=i ^ b = 3 j c = 3 j
et le onzième terme sera ^lo = 63.
DES D É. R I V A ï I O N S. 169
209. La solution du problème précédent donne immédiatement un terme quelconque de la série récurrente , lorsque l'indice ou le quantième de ce terme est un nombre entier positif; on peut demander à présent, si l'on ne peut pas trouver des formules finies qui donnent pareillement un terme quelconque de la série récurrente , lorsque l'indice ou quantième de ce terme est un nombre entier négatif : c'est ce que nous allons examiner.
Problème.
Etant donnée l'équation de relation d'une série récurrente de l'ordre quelconque r, on demande l'expression d'un terme quelconque de la série continuée en arriére, c'est-à-dire, l'expression du terme général à indice ou quantième entier négatif.
Soit la série récurrente , continuée des deux côtés , représentée par etc.-h^.zx-^-^A.^cc-^-hy^^iX-^-j-A-h-Bx-i' Cx^ •+- Dx^ -h etc. ; ...(i) on peut réduire la question à former la fraction génératrice de la partie de la série qui s'étend à la gauche de u4 , d'après l'équation de relation , ou même d'après la fraction génératrice de la série qui s'étend en avant , à la droite de A.
Pour plus de simplicité nous supposons que la série soit du troisième ordre j la même analyse s'applique à un ordre quelconque. Soit donc l'équation de relation ^ . jo > , ^ , ^ v / x
CC^m -H b^m- 1 -}- y^w.2 + SAm-Z =^ O ', .... (2)
puisque cette équation est censée vraie pour toutes les valeurs de l'indice m entières , positives et négatives , on pourra mettre — m -\- 3 au lieu de ?n , et l'équation de relation deviendra
^A,m -+- yA.m+i H- ÇA-m+z + OcA^m + Z = O. (3)
Or le premier membre de cette équation n'est autre chose que le coefficient de 02-" dans le développement du produit suivant
(i+yx-»-l-C^-2H-«:c-5).(^.,^-i f^.2^-2|y/.3X-3 4^^aj-4|etc.), ...(4) ainsi qu'il est aisé de le voir en effectuant la multiplication. Soit
«a;- » -j- hx-^ -}- c^-3 -1- t>x-4 -+- tx^ -\- etc. .... (5)
la série résultante de cette multiplication ; on aura
a = (Jy^.i ,
b = ^A.i -h yA.x ,
c = ^A,z 4- y^-a ■+- ÇA., ,
b = ^A.^ H- yA.z + €A.^ -f- eeA.^ , ^ ^
t = èA.s 4- 7^-4 + ÇA-z -H uA.2 ,
etc. • YT
lyO DUCAliCUIi
où l'on voit que les valeurs de b , e , f etc. satisfont à Téquation de relation
( 3 ) , et que par conséquent elles sont toutes zéro ; mais qu'il n'en est pas
de même de celles de a , b et c , lesquelles , ne remplissant pas toute l'équation
de relation, doivent demeurer indéterminées, ou être données par l'état de la
question. On aura' donc l'équation suivante
ax - > + bx - 2 4- ex - 3 X . A i
J + yx-.+gx-a + «:.-5 ==A.,x-^+A..x■^+A.,x■^+A.,x-^+e^c. , ...(7)
dont le premier membre est la fraction génératrice demandée.
Le numérateur dépend ici des trois premiers termes de la série continuée en arrière : mais on peut aussi le faire dépendre des trois premiers termes de la série étendue en avant , et , en liant ainsi les deux côtés de la série , on pourra mieux comparer la fraction génératrice de la série continuée en arriére avec celle de la même série étendue en avant. A cet effet, je fais , — 771 successivement = — i , — 2,-3 dans l'équation de relation (3), ce
^uidonne U .r = ^ {c.C -i- CB -i- yA ) ,
S^.2 -+- y^-i = — {ocB -H C^),
jj-s -+- y^-a -4- C^-i = — ocA.
En comparant avec le numéro 204 , on aura a = — c, b= — b ^ c = — a. Donc la fraction génératrice de la série continuée en arriére sera aussi
On voit qu'elle résulte de la fraction génératrice de la série étendue en avant , . ' ' • 7. ,
ce -\- Qx ■\- yx'^ + ^x^ '
si l'on multiplie celle-ci haut et bas par x'^ , qu'on ordonne suivant les puissances négatives de a;, et qu'on mette le signe — devant la fraction.
Cette règle est générale pour une série d'un ordre quelconque r, car l'analyse précédente demeure toujours la même. Ainsi la fraction génératrice ( 8 ) , ,, n.° Qo5 , étant multipliée haut et bas para;-'', et affectée du signe — , donnera * pour la fraction génératrice de la série de l'ordre r , continuée en arrière , ^r-i^-^ + <^/--2-^'^ + etc. + ^a;-''+» 4- <ïx-''
CCr H- OCr- i X' ^ + OCr-^X-^ + CtC. + Çx-'+^ +CCX-'^
Ce problème ^ déjà été résolu par Là on ange dans les,^ mémoires de Paris ,
DES DEniTi-TlONS. I7I
pour 1772, 1.*^ partie, page55o et suivantes; mais notre analyse , qui n'est pas fondée sur la décomposition de la fraction génératrice en fractions simples, est plus directe et paroît ne rien laisser à désirer.
210. Quant à la manière de développer cette dernière fraction , elle est absolument la même que celle par laquelle on développe la fraction (8 ) , n.° qo5 , pourvu qu'on regarde ici ar. i et otr comme des premiers termes , et qu'on prenne pour leurs dérivées , non les lettres qui les suivent dans l'ordre alphabétique , mais celles qui les précèdent. En se conformant à cette remarque , on peut indiquer le terme général à indice négatif de la série de l'ordre r, c'est-à-dire, le coefficient de a;-'" dans le développement, par \
^-m = — Ç'"-'. {^r-i(ar)-^ } ; .....(lo)
et le terme général à indice négatif de la série du troisième ordre sera
^.;,z = — p'»-^(cj-i) = — (cp'«-».(î-»-f-^p'«-2.<î-»-i-ûp'«-5j-i) ....(II)
Au lieu d'ordonner les termes de la fraction génératrice de la série continuée en arrière suivant les puissances négatives de ^ , on peut, pour déduire la fraction génératrice dont il s'agit de celle de la série étendue en avant , se contenter d'écrire à rebours le numérateur et le dénominateur de cette dernière fraction , en affectant toute l'expression du signe — . Ainsi la fraction
a -\- h oc -^ c oc'^ . ,, . c.r2 ^ hx ■\- a ' — - — 3 — ; — K— 5 donnera celle-ci — - > ^ , , . ^ — ; — , car,
en développant cette dernière suivant les puissances x-^ , x"^ ^ x-"^^ etc., on aura ( n.P 107 ) les mêmes coëfficiens qu'en développant la fraction (8) du numéro précédent.
211. Nous avons donc des formules et des méthodes pour calculer par dérivation , immédiatement , un terme quelconque d'une série récurrente , toutes les fois que l'indice ou le quantième du terme est un nombre entier positif ou négatif, et cela sans qu'on ait besoin de décomposer le dénominateur de la fraction génératrice en facteurs binômes , ou cette fraction en fractions simples. Quoique l'on voie par l'exemple du n.° 208 que le nombre des termes du développement, toujours très- faciles à former d'après nos méthodes , devient très- considérable pour des termes fort distans du premier et pour des séries d'un ordre fort élevé ; cependant , comme rien n'arrête nos développemens , ils donneront toujours le moyen d'avoir immédiatement un terme quelconque de la série.
ly^ DU CAliCUIi
Il n'en est pas de même des méthodes connues. Moivre et ceux qui l'ont suivi sont obligés , pour former l'expression du terme général , de décomposer la fraction génératrice en fractions simples ; pour cela il faut décomposer le dénominateur en facteurs binômes, et, si on ne connoit pas d'avance ces facteurs, il est nécessaire d'égaler ce dénominateur à zéro et de résoudre exactement une équation qui peut être d'un degré fort élevé , ce qui surpasse toutes les forces actuelles de l'Analyse. Le terme général qu'on trouve ainsi , lorsqu'on peut y parvenir , est exprimé en puissances des racines du dénominateur , tandis que nos formules le donnent en coëfficiens du même dénominateur. La méthode qui enseigne à trouver le terme général par l'intégration des équations aux différences (finies) , fait parvenir à une équation qui n'est autre chose encore que le dénominateur de la fraction génératrice égalé à zéro , et elle exige pareillement qu'on en cherche les racines.
Il nous paroit donc qu'on peut souvent employer nos méthodes avec avantage, lorsque, ne connoissant point les facteurs du dénominateur, les racines de ce dénominateur ne sont pas rationnelles , et que d'ailleurs on ne demande qu'un terme de la série récurrente à indice ou quantième entier : et dans ce cas nos méthodes sont les seules praticables , pour les séries d'un ordre supérieur au quatrième.
Mais si l'on demande des formules qui puissent encore servir pour des indices fractionnaires , il devient indispensable d'employer celles qui résultent de la décomposition du dénominateur de la fraction génératrice en facteurs binômes : alors, supposé que l'on connoisse ces facteurs, on décompose la fraction elle-même en fractions simples à dénominateurs binômes ; chacune de ces fractions donne un coefficient de x" , et la collection de ces coëfficiens forme le terme général.
Comme cette matière tient aux dérivations, et qu'à leur aide on arrive facilement à des formules élégantes et utiles , elle ne sera pas déplacée ici , et nous allons la traiter succinctement.
a 12. Démontrons d'abord une proposition qui sert de base à la décomposition des fractions.
P Soit en général la fraction --?r , P et Q étant des polynômes finis, chacun
de la forme a -\- bx -\' cx^ -+- dx^ -j- etc. -\- a^.ixi-^ -\- a^xi ^ P ayant un terme de moins que Q, c'est-à-dire, étant d'un degré inférieur de l'unité à
celui
DES DERIVATIONS. Ij5
celui de Q ; si Q est le produit de deux autres polynômes connus MetJV, on pourra toujours décomposer la fraction proposée en deux autres, de cette manière
telles que K soit un polynôme dont le degré est inférieur de l'unité à celui de My et L un polynôme dont le degré est inférieur de l'unité à celui de JY, En effet l'équation ( i ) donne
-^^ =Q, et KN-\- LM=P, ....(2)
puisque par supposition Q = MN. Soit Q un polynôme du degré {/ , et M du degré m , tu étant <^q \ P sera du degré q — i , iV du degré q — w ; K devra être du degré m — i , et X du degré q -^ m — i ; ^ aura donc m termes et m coëfficiens indéterminés , et Z» en aura q — m. Voyons si ces suppositions s'accordent avec l'équation ( 2 ). KN sera du degré m — 1-4- q~ — m=. q — 1 , et LM du degré q — m — 1 -^ m=z q — 1 ; donc KN -h LM sera du degré q — 1 , c'est-à-dire , du même degré que P : ainsi KN -+- LM contiendra q coëfficiens indéterminés ; donc , P ayant q termes, on pourra former, entre les coëfficiens de KN -\- LM et ceux de P y q équations linéaires qui serviront à déterminer les q coëfficiens de K et de L, D'où il résulte que la décomposition dont il s'agit est toujours possible.
21 3. Supposons à présent que A/" soit une puissance de binôme, (a — ^)'"; Jlf sera donc un polynôme de m -h 1 termes et K un polynôme de m termes, dont le premier ne sera pas affecté de ^, et le dernier sera affecté de oj*»-'. L'équation ( 2 ) donnera p l(^^^„ .
. Si dans cette équation on vouloit tout développer suivant les puissances de « — x , il suffiroit de mettre partout, au lieu de x, a — {a — x), ou a — « , en faisant a — x=a) , pour simplifier ; puis , de développer en séries ascendantes, suivant les puissances de co-
Or il est clair que , K étant du degré m — i en ^ , il sera encore du même degré en «, après qu'on aura mis a — « au lieu de x. Donc, si on' développe
•^ et — -yjjr- suivant les puissances ascendantes de œ , aucun terme de ^
ne pourra entrer dans la valeur de K , laquelle par conséquent sera égale
p aux m premiers termes du développement de -^.
iiyi DUCAr. CUL
De là il s'ensuit que , pour déterminer le numérateur de la fraction partielle , qui est une de celles dans lesquelles on veut décomposer la fraction
proposée ^, il faut diviser Q par le dénominateur (a — ^)'« , et en nommant iV"
le quotient, développer -=— en une série ascendante suivant les puissances
de a — X \ les m premiers termes de cette série , dont le dernier sera affecté
de (« — ^)'""S formeront la valeur du numérateur K {^).
p Le calcul des dérivations donne un moyen facile (Je développer —suivant
les puissances ascendantes de c^ — x. En effet , soit
P a -\- bx -\- cx^ + ^x"^ + etc. + Clq.xXA-^
N 7f + -mX 4- ^X2 + aX^ + etc. + Ttq-mXl-"' '
on mettra partout a — a? au lieu de Xy et désignant par — - la fraction
a -\- bo, '\' ca^ + da^ + etc. <3r^ . i a? - ^ TT + <a a + ^a^ -f o-a^ + etc. + ttj . ^ a? - *" ' il est clair qu'en considérant dans cette expression a seul comme variable, et faisant la dérivée de a = — i , on aura, pour le développement demandé,
__ H D-.o, -f- p^-.o,^ +d3|.^3 ^ etc. + p-^l-o,-- = K,
D'où il s'ensuit que -— — — — , c'est à dire les fractions partielles qui résultent
du dénominateur ( a — a;)"' seront , (a étant = a — a? , ,
K (a — ce)'»
a étant seul variable dans - et sa dérivée étant — i.
214. On demande à présent le coefficient de x^ dans la série qui résulte du
K développement suivant les puissances de x de la valeur précédente de ^ .
( * ) Cette méthode , qui a déjà été donnée par Laplace dans son mémoire sur les suites ( Mémoires de Paris , année 1779!» page 224) est la même que celle qu'EuLER a exposée dans les Acta de Pétersbourg pour 1780, 1." partie, et qu'il a préférée aux méthodes qu'il avoit données précédemment à&nsV introduction à T Analyse des infinis et dans son Calcul différentiel, parce qu'elle s'applique aux fonctions transcendantes. Elle se trouve ici dégagée de la considération des infinis.
DES DÉRIVATIONS. l^S
Il est clair qu'il suffira de prendre le terme affecté de x* que donnera chacun
des termes de la formule précédente , - demeurant invariable ; et l'on aura
ainsi , pour le coëffi.crent cherché ,
|p-(a-) -f- n|.p''(a-'« + .) H- p^l-p^Ca-^+O -f- etc. -f- ç-'l. p^C^'O-
Mais on peut mettre cette série sous une forme plus simple et plus élégante, au moyen d'une transformation que nous allons exposer et qui mérite d'être remarquée.
2i5. Le coefficient de x" dans le développement de (a— a?)"'" est, par notre méthode, n.° 2 , = d" a- '' , oa étant = — 1 ; je dis que le même coëfficie^it est aussi égal à D'^-'(a-''-i), na étant toujours = — 1 ; où l'on voit que l'exposant de (a — x) passe à l'indice de d et l'indice de d à l'exposant de a, en changeant de signe l'un et l'autre et s'ad joignant — 1.
En effet on a , en développant à l'ordinaire , na étant = — 1 ,
r.r+i.r4-7....(r4-n — 1) pna-^= — r-i—î- ^a-^-«,
et p'-i(«-«-»)— — : ^ ^ — -Î-— ia-''-«:
r.r+i.r+Q..(r+Aï — 1) n -{• i.n + <2.. (n + r -^ 1)
or — — — - — — __^ — - '
comme il est aisé de le voir en multipliant en croix , ce qui donne
1. 2... (r— i).r.(rH-i)(r-{-.2).. (r-f-«— 1)= 1. 2.. n{n-{^ i){n -{- <2).. {n-i- r — l)
équation identique. Donc Da étant = — 1 , on a toujours
216. Si l'on applique cette remarque à la formule du n.° 214» elle devient
|p--i(a-«-«) + D|.p«-=»(a-«-»)-Hp=^|.p'»-5(û-«-i)-f.etc.4-p'«-^|.r''-S
Da étant toujours = — 1, Or on voit, par le n.<* 97, que cette formule peut se mettre sous cette forme fort simple
p*"-» ^<*'""M> Dft étant = — 1.
Donc, pour trouver tout d'un coup la partie du terme général d'une série récurrente qui vient de plusieurs facteurs égaux du dénominateur de la fraction
génératrice ^; soit (a — x)"» le produit de ces facteurs égaux et iV le quotient
176 DUCAIiCUIi
de Q divisé par (a — oc)*" ; mettez partout a au lieu de x dans -=r= , et désignez par — ce que devient cette fraction : la partie cherchée du terme général sera
P"' * I -^ a" "' * , Drt étant = — 1 et n-\- i étant l'indice du terme.
On voit que , comme il n'y a ici d'autre variable que a et que sa dérivée
est = — - 1 , on peut aussi exprimer cette formule par les différentielles , et , en
laissant subsister x dans — , dire que la partie cherchée du terme général sera
