etc + etc. + ^^'"•^(pip^Tr
+ etc
Maintenant, pour avoir le coefficient de œ'y^ , il suffit, comme n.°' i85 et 186 , de mettre dans la formule précédente , au lieu de /? , ^ , tt , txt, leurs valeurs en Xy n.® i85 , et de calculer pour chaque partie de la formule cidessus le coefficient de a;'», par le procédé du n.** 100; puis, d'ordonner par rapport aux sommes des indices des d sans points qui affecteront (p («,«).
DES DERIVATIONS.
igS. On voit, comme n.° 186, qu'en calculant ainsi le coefficient de a;*, chaque partie de terme de la formule précédente donnera non-seulement une partie dans le terme correspondant de la formule qu'on cherche , mais encore des parties dans les termes suivans. D'après cela , on pourra écrire surle-champ, et sans peine , les termes de la formule suivante où nous mettrons A au lieu de (p («, a) , pour simplifier :
pi,i^.p'n.p'«-2.(^'g>') |-pi,M.p'".p'«-3.(^'g"2) pM. p»». p'« - 2. ^'a
D'i^.p^.p'"-!. g*' Di'^..p"'. p'«-i. V
etc.
-f- D'iD'lJ.p^-i.CCp'^^^O -f-pl.M.p'»-'.(^p'«-».g")
etc
p2,pi,m.2p,n-i^, ^2gVn.2^'g>'a.4
etc
etc.
H- p2.p«,'n-2^. ^ag-m-a^'a + etc
H- p»'2^. p«- ». (6p'«-a. g"2) -+- D.' p'.'^. p»"-!. (ê'p'''-^. (3' g")) + D''p»'M. p"»-!. (Z'p'^-a. (^'C')) + pa^i^.p»»-!. (^p'«-2. ^'2) -}- D»' p2. -4. p«-». (^p'« -2. ^'2)
-f- D''p»'ï^. p'»-^ ( ^^p'«- ». g"-) -}- p2.M. pw-a. (^2p'«- 1. g" )
-4-pl.2^.p'»-2.(g'2p'«-l.^')
-f-D»'p».»^.p'»-2.(^^p'"-*.^') -H p2»Dï'^. p'»-2. (^2 p'n-». ^')
etc.
l56 DU CALCUL
Nous aurions présenté un plus grand nombre de termes de cette fonnule , si l'espace l'avoît permis; mais ceux que nous donnons paroissent suffisans pour en faire saisir la loi , laquelle , au reste , est analogue à celle de la formule du n.° 186. >^
Remarquons seulement , à l'égard des virgules qui se trouvent parmi les indices des d sans point qui affectent^ ou (p (a, ce) ^ que ces virgules ont encore ici la même signification que n.*' 1 1 1 , et que p'"''*<p(<2, a) est la même chose que .p'«'P'«(p(^, (x). 11 ne faut pas confondre ces virgules avec celles placées entre les accens ; nous avons distingué ces dernières des autres en les plaçant plus haut.
196. Pour faire voir la manière de se servir de la formule précédente dans des cas particuliers, nous allons l'appliquer à un exemple facile à vérifier.
. Exemple.
On demande le résuïtat que l'on doit obtenir en substituant dans l'équation générale du second degré ,
ax- -4- hxy -+- cj^ -i- hx -^ tjy ~{- ^ z= o ^
au lieu de x et de j^' , les quantités
X = a -]- l^t -i- ct^ y y =z ce -^ Ct -+- yt^
-+- bW -f- dtv -\- S'v 4- y'i^f ( 1 )
Il est évident que l'équation résultante sera de la forme , ^ -f- ^^ ^- a^ + Dt^ H- Eù^
•4- ^V -}- C'tv -H D^t^i^ -+- Eh^v
O'v^ H- D"iv^ -h E'U^v^ (q)
et qu'on aura
1 A = (p{a^oc) = «<22 -f. hacc + ca^ -f- î»^ -f- ea H- f ,
où les lettres allemandes a, b , c , b , e , f indiquent des quantités constaVites ; la formule précédente du n.'' 195 donne tous les coëfficiens de (q), si l'on* met successivement pour 7?i et n les nombres convenables. Veut-on , par exemple ,
le
le coefficient £)'' de tv^ ? on fera tti = i , « = q , et la formule donnera , en rejetant les termes où les indices de d deviennent négatifs ,
D.p'2.^(^j^) ,^ D'i^.D.D'.g*' -H p.2^.D.C'2 H- D'»p.2^. Cg"2
+ dI'^.d.d'.^' 4-p''*^.D.(W) -4- p''2^.^ê*'2
H- d.'d.'v^.Ê'd'.C' -f-D''p'.'v^.^W . . . . r3) + P».'^.^d'.^' -hp^''^.g'/^'^
H-pM^.g>0'.^' -+-D^p=^,^.^^^ ,
Or, dans notre cas particulier, les polynômes doubles (i) ne sont que des trinômes doubles, ce qui fait que D.D'.ê*' =o, d.d'.^' = o; ensuite on a
Tt'^A = b« 4- 2Ca -h e , T>^'A = QCia + ba -H b ; partant
P'M = c, p''M = b, pM = a, D'»D'M = Qc, d^'D^'-^ = Qa ;
les autres quantités D'»p'2^ , p»>M , etc. devenant toutes == o : ainsi des trois
colonnes de la formule (3) il ne reste dans notre cas que la seconde; et, en
développant les quantités polynomiales , on trouve pour le coefficient de tv^ ,
D' = c.2^V -h b(Z^y + c'^') -^ <t.<2b'c' + QcCy -f- h.ly"-¥-hCc" -+- 2a.bc".
Ces sortes d'applications sont utiles dans la permutation des coordonnées, et par conséquent dans la recherche des propriétés des lignes et des surfaces courbes , car on sait que les équations transformées par la permutation des coordonnées présentent comme des tableaux sur lesquels on peut lire les affections des Lignes et des surfaces. Il suffit d'indiquer cet usage.
197. La seconde méthode du n.° i5i et suivans s'applique aussi au problème précédent : elle donne avec facilité les coëfficiens réduits des différens termes du développement , en descendant par colonnes.
198. Quant aux fonctions de trois polynômes doubles indépendans , le coefficient du terme général de leur développement est représenté par p'».p''».Ç)(a,^,a). Pour en avoir le développement en b , b', ^, b\ Cy C\ on formera d'abord celui de p'". (a-, ^, ce) par ce qui a été dit au n.** 119 : puis on déduira de ce dernier le développement de l'expression précédente par un procédé analogue à celui dont nous nous sommes servis pour déduire le développement de p'». p'". <p(<z,«) de celui de p'". (p (^,«).
l58 DU CALCUL
On, peut suivre la même marche pour les fonctions de quatre polynômes doubles , et ainsi de suite. '
D'un autre c6té, si l'on a une fonction quelconque de deux polynômes triples , le coefficient du terme général affecté de .x'y^z'' s'exprime par d"*. d'". p''^(p(âc,a) : pour avoir le développement en ^, b'^ V\ C, 5*, ^'' de cette expression, on remarquera que la formule du n. 0195 donne celui dep'".p'"'.(p(^,a), et de là on déduira ensuite celui de p*". p'". p''^ (^ {a^ct) d'une manière semblable à celle dont on a déduit p"". p'".(p(«,a) de p'". (p(^j«) aux n.°^ 194 et 195. On voit ce qu'il y auroit à faire pour les fonctions de polynômes quadruples , etc.
T99. Ce seroit ici le lieu où il conviendroit d'étendre nos méthodes relatives aux polynômes doubles et triples à des cas analogues à quelques-uns de ceux concernant les polynômes simples que nous avons traités dans le §. IV de l'article premier ; mais la nécessité de ne pas passer les bornes convenables nous interdit ces détails.
Pour ne citer qu'un seul exemple , nous ferons remarquer la question suivante , qui est à l'égard des polynômes doubles ce que l'exemple du n.° 62 est pour les polynômes simples ; savoir : Etant donnée une fonction quelconque de polynôme double, ou une série double quelconque en x etj', trouver le développement , ordonné suivant les puissances et les produits de ^ et ^ , qui résulte de la substituLion à la place de x et de j^ des valeurs suivantes j^ ^ yt -^ W^ -h etc. y r b -h c^ -i- î?^2 4» etc.
-H 7V 4- ^^tv -f- etc. / 1 -H cV -h \>^bv H- etc.
-h (î'V2 -+- etc. { ' ) -H t>'V2 H- etc.
H- etc. 3 ( + etc.
Observons qu'en généralisant la remarque du n." 63 , on en tirera un moyen qui peut aider à simplifier la solution de ce problème.
200. Nous terminons ici les trois premiers articles , qu'on peut regarder comme la première partie de cet écrit. L'objet principal que nous avons eu en vue se réduit à ce problème général :
ce Une fonction quelconque d'un ou de plusieurs polynômes simples, douw blés , triples , etc. étant donnée , écrire sur-le-champ la série du dévelop- 5) pement de cette fonction , et même écrire sur-le-champ le développement « d'un terme quelconque de cette série indépendamment des autres termes. »
^ . DES DÉRIVATIONS, iSg
Quand nous disons écrire sur-le-champ, nous sous - entendons que l'on connoisse d'avance les dérivées successives nCpa^ p^^p^^ p^^^z, etc. où a varie de i : autrement il faudroit commencer par les calculer. ,
Nous osons croire que les Géomètres trouveront nos méthodes nouvelles , faciles et analytiques.
Il ne nous paroit point que l'on se soit occupé avant nous de la solution des cas compliqués concernant les fonctions quelconques de plusieurs polynômes simples et les fonctions des polynômes doubles , triples , etc»
Les applications se présentent en foule : elles embrassent les principales branches de la théorie des suites , et apportent des simplifications dans beaucoup de recherches, dans la pratique du calcul différentiel, par exemple.
Offrons quelques-unes de ces applications , car il est temps , pour tempérer l'aridité de nos régies , d'en donner quelques usages remarquables dans des matières intéressantes.
