De là il résulte que si l'on a la fraction génératrice
{(K—xf'{y>—xy{i—xY '
où p est un polynôme en x du degré m-\-r -\- s — 1 , le coefficient de x^ , ou le (/^-}- ly*™' terme de la série récurrente , sera, en désignant par ^ , û, SR le polynôme P dans lequel on a mis successivement a , b , c , au lieu de x , p*"-». [a-"-'.5p. (b — a)-''(c — «)"•'}» <t seul variant de — 1 , f- p^-i. jb-n-'.a. (a-~b)-'»(c — &)■■•},& seul variant de — 1 , H- p'-». (c-^-^St. (a — c)-'»(b — c)-''} , c seul variant de — 1; et cette formule peut servir pour toutes les valeurs de n , positives , négatives et fractionnaires.
Cette formule s'accorde avec celle que Lagrange a donnée le premier dans un mémoire sur l'utilité de la méthode de prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations , inséré dans le tome V des Mélanges de Turin (Voyez page 219), et que Laplace a aussi donnée dans son mémoire cité sur les Suites , page 284.
Si tous les facteurs sont inégaux , si l'on a , par exemple, la fraction
(a — x)(^b — x)(c — cc) '
alors
DES DERIVATIONS. I77
alors dans la formule précédente les signes de dérivation d , ayant chacun zéro pour indice , disparoissent tous , et le coefficient de a:" sera simplement
a-«-<çp(b — a;-'(c — a)-»
Si l'on avoit la fraction tt- -7 r la formule précédente
donneroit encore pour le coefficient de x"
a-«-»(b — a)-*(c — a)"*, « seul variant de — 1 ,
p*'^ ^ H- b-"-» (a — b)-*(c — b)"*, b seul variant de — 1 ,
\- c-'»-'(a — c)-*(b — c)-*, c seul variant de — • 1,
218. On peut même combiner ces formules avec celles du n.° 204 et suivans , et par- là on rendra ces dernières propres à servir pour des quantièmes fractionnaires. En effet , puisque le coefficient de x" , dans le développement de
a -]- hx -f- cx^ ce -h Cx -^ yx'^ -+- (^x^ ' est,n.°204, ^a = «p".a-» + ^ç«-». «■* -h cp'-^.a-» , où p«. «-», p"-». «-', p«-2. «-» désignent respectivement les coëfficiens de a:», a:""* , x"-^ dans le développement de
« -H ^x 4- yx^ 4- Sx^ ' soit cette fraction , après qu'on a décomposé le dénominateur en facteurs binômes, représentée par
"" (J(a — x)(b— x)(c — X) ' on aura pour le coefficient de x" de la fraction proposée ,
— |{a-«-»(b — a)->(c — a)->-hb-«->(a — b)-»(c— b)-»H-c-«->(a — c)-'(b — c)->}
— j {(i-«(b — a)->(c — a)-» + «-«Ca — b)-»(c— *b)->-+-c-«(a— 0"'(ï> — 0"*};.
formule où l'on peut faire n fractionnaire.
Je ne m'arrêterai pas plus long- temps à ces recherches : et j'observerai en général , qu'en appliquant le calcul des dérivations aux objets principaux traités dans le beau mémoire sur les suites de Laplace (Mém. de Patis, 1779) >
Yy
1^8 DUCALCUL
on pourra rendre plus faciles la plupart des développemens , même en suivant la marche de ce grand Géomètre.
219. Appliquons ces différentes méthodes à un exemple, afin de comparer le terme général que l'on obtient sans décomposer en facteurs , avec celui que l'on trouve en conséquence de cette décomposition.
Exemple.
On demande l'expression du sinus et du cosinus d'un angle multiple quelconque nt , en cosinus de l'angle simple t.
I.° On sait qu'on a généralement , quel que soit n , entier ou fractionnaire ,
sinnt = Qcos^. sin(/^ — 1)^ — sm.(n — q)^,
cosnt = Qcos^. cos(72 — 1)^ — cos(n — q)^ ; ^ ' ^ '
ce qui fait voir que les sinus et cosinus des angles en progression équidiffé-
rente ( arithmétique ) forment des séries récurrentes du second ordre , dont
l'équation de relation est j^
An 'iCOSt.An-i -4- An-2 = 0, ....(q)
et partant la fraction génératrice
a + bx .„- .. A -{• (B — ico^t A)x (4)
-z — : , . . . . ( 3 ; , ou bien ^ ^- — ; . ^ '
oc — hx+yx'^ i — acosù. X -\- x^
Cette fraction , à cause que pour les sinus on a. A ^ sinot =2 o , B = sin^,
et pour les cosinus , A = coso^t = 1 , j5 = cos^, donne les deux suivantes,
sm^. X 1 —^ cos^- 37
pour les sinus , — ■ '■ — ; .. (5 ), et pour les cosinus , '—■ ... (6)
* 1 — 2COS^.a: + x^ V /» 1 i^2Cost.x + x^
Le coefficient de a:" dans la fraction ( 3 ) est ^n = ^p". «"* -t- ^p''■^a"* ,
où il faudra faire , dans les dérivations , d. « = — C et ensuite d. C = — y ,
( * ) Comme les formules que nous allons trouver seront démontrées généralement par les méthodes même qui y conduisent, on peut désirer yjue nous démontrions aussi les équations (i ) dont nous partons; d'autant plus qu'il y a d'excellens ouvrages où l'on s'est contenté de traiter par induction une partie de la théorie des fonctions angulaires.
On démontre dans tous les traités de Trigonométrie que , le rayon étant = i , on a
sin ( A-J- f ) = sin r. cos t •+- cos r. sin t , cos ( /• -f- ' ) = cos r. cos t — sin r. sin t ;
je fais r successivement =:(«—«. i)f, et = (n — 2)t, et ces formules deviennent , sinnf =: sin («-— i)^cos£ + cos(» — i)t.sint, cosnt= cos (n — i } ^ cos/ — sin (n — i)f.8in£ ; 6in(/z — 1 )t= sinfn — %)t.cost+ cos (« — 2)t. sin/, cos {n — i)t=cos(n. — 3)/. cos t — sin(ra — 9 ) t. sin/; ces deux dernières formules étant substituées convenablement dans les deux avant- dernières donnent les formules ( 1 ) ci-dessus.
DES DIÉRIVATIONS. I79
à cause que Ç dans le dénominateur a le signe — . En mettant à présent au lieu de ^z et ^ leurs valeurs relatives aux sinus et aux cosinus, on a 8in«^ = sin^ ç^-^a"» . .. . (7) , cos aî^ = p". a - * — cos^.p"-'. «-».... (8)
Pour développer p«. a - » , j'ai par le numéro 20 , en écrivant la série à rebours , p«.a-»=a-"-*ê'"-4-«-"D.g"'-» +a-" + »p2.g'«-2|Qj-«4-2ç5.g»rt-3 4«etc. et en développant ultérieurement , y étant une dernière quantité ,
^-« + a 1^ ^«-6y3 4- etc (9)
Pour avoir p"- '. «- ' , il suffit de mettre dans cette série n — 1 , au lieu de n.
Ces séries se continuent jusqu'à ce que l'exposant de C devient négatif.
Il ne reste plus qu'à mettre au lieli de a, C, y leurs valeurs 1 , qcos^, 1 ,
et l'on aura, en vertu des équations (7) et (8),
sin w^ = ( 10)
smt.Uacosty-' (qcos^V-^h ? (q«os^V-5 — - (scos^V"? -f-etc. (
cosnù =
(2Cosn«— (72-i)(2CosA«-2H (2Cos^y-4 * „ (Qcosty-^ ■+• etc.
— C0S^.|(2C0S^)"-^~(77-2)(2C0S^)"-5H-^^~ ' ^"'^(2C0S^)"-^-^'^' ^" '"' (2COS^)"-7+etC.| ,
et en réduisanr ces deux*séries en une seule , ce qui s'exécute sans peine ,
cos nù =:= ( * 1 )
j|(2cos^)« — 72(2cos^)«-a -f- ^' ^" (2COS^)«-4 ^'^-4'^- (Qcos^)"-^-Hetc.|.
Les séries (10) et (i 1) résolvent la question ; elles se terminent toujours , puisque , conformément au développement (9) , il ne faut les continuer que jusqu'aux exposans négatifs des C; mais comme on n'a pas décomposé en facteurs simples le dénominateur des fractions génératrices , ces séries ne peuvent servir que pour n nombre entier positif.
1 1. Cherchons présentement les séries pour n entier négatif. On aura , par
le numéro 209 , pour les fractions génératrices
j . — sin^. œ'^ - . cost. x'^ — x'"^
du smus , ; du cosinus ,
2 cos^. or* -f- or 2 ' 1 — 2COS^. a;" ' -f"'^'^
Donc, les coëfficiens du dénominateur étant les mêmes que précédemment, on a ^., = sin (- 72^) = — sin^.p« -».«-», ^.„=cos(-72^) = cos^.p"-». a"' — p"-2.«" ^« Or p»-».»-» donne la même série que ci-dessus, et l'on a p''"^ oc' * en mettant
i^^« ift W*>^I) U vC A li C U L
dans celle de p".»" -, n — q au lieu de n. Si l'on écrit les développemens, et qu'ensuite on réduise en une les deux séries qu'on aura pour cos (—/?/;); on (trouvera pour sin(— /z/^) la même série (5 ) que l'on a eu pour sinrit^ à cela près que chaque terme aura un signe contraire ; et pour cos(— «/^) on trouvera absolument la même série (b) qu'on a eu pour co^nt\ elles se termineront de même l'une et l'autre, car les n y seront des nombres entiers positifs. Cela s'accorde avec ce qu'on sait d'ailleurs, savoir que sm{--nt) =^-sin/2^, et cos(— /7^) = cosin-t.
III. Si l'on veut des expressions finies qui servent pour toutes les valeurs de n, positives, négatives, fractionnaires, il faut décomposer le dénominateur 1 — ico&t.x-^- x^ en facteurs simples. Ce dénominateur égalé à zéro donne une équation du second degré , dont la solution fait voir que les facteurs sont
cost H- y/ J(cos^)2 — 1 } — X co&t — \/ ((cos^)^ — 1 } — x^ ou bien cost-\-\/ — i.sin^ — a?, cos^ — y/ — i.sin^ — x.
Je représente l'un par a — x^ et l'autre par b — x'y la fraction génératrice
( 5 ) donne , en vertu du n.° q 1 7 ,
s,inntz= rt-'^-'. sin^rt(b — a)" * -Hb'"- '. sin^.b(a — b)- ' ,
et en remettant à la place de a et de b leurs valeurs et réduisant, on trouve
(cos^H- i/— 1. sin^)-« — (cos^ — i/— i.sin^V» , ^
smnt = ^ 7^ — . . . . ( 1 Q )
La fraction ( 6 ) , en vertu du même numéro q 1 7 , donne
„ cos72^= a-"-»(i— cos^. a) (b — a)-» -H b-«-'( 1 — cosA b)(rt — b)-' ,
ce qui , en subsituant pour a et b leurs valeurs, se réduit à
(cos^ + v/— Lsin^)-" 4- (cos^ — i/— i.sin^)-» , „.
cosnt = ^ '—L 1 ^I^; Z. i. ...(i3)
On a cos^ -+- v/— i-sin^ == : — , ainsi qu'il est aisé de le
^ cost •— y — i.smt ^
vérifier en multipliant par le dénominateur ; d'où il s'ensuit qu'on pourra donner aux formules (i2)et(i3) des exposans positifs , et l'on aura ainsi
sinnt =z — {{cost -}- y/-~i»smty — (cos/^ — y/— 1. sin^)" j , ...(14)
cosnt = j { (cos^^ — \/ " i.sin^)" + (cos^ + \/ — i.sin/^)" }. ... (i5\
Ce sont les formules connues , lesquelles sont vraies pour n quelconque , positif, négatif, et fractionnaire (*).
(*) ËuLBR a donné les séries (lo) et (n) dans le chapitre 14.* de l'Introduction etc., sans les démontrer d'une manière générale ; il a remarqué ensuite dans un mémoire qui vient d'être publié dans le tome IX
DES DÉRIVATIONS. l8t
220. Lorsque le dénominateur d'une fraction génératrice a des facteurs imaginaires, comme ces facteurs vont toujours deux à deux , en prenant le produit de deux facteurs imaginaires correspondans, on évite les expressions imaginaires, et la fraction génératrice se décompose en fractions partielles de la forme suivante
R -f- Sx
1 — Q COS^. X -k- OC^ *
voyez le chapitre \3.^ àe Y Introduction etc. d'EuLER. Pour avoir sur-le-champ le coefficient de .x« dans le développement , je représente le dénominateur par oc — Qx -^ y «^^ j et j'ai
Or , en comparant avec l'équation ( 7 ) du numéro précédent , où p". « - » , p^i^oî-' désignent la même chose qu'ici, à cause que les dénominateurs sont
les mêmes dans les deux cas, l'équation (7) donne p""».»-* = — : ,
des nova jécta de Pétersbourg , que ces séries ne sont vraies que pour les cas où n est un nombre entier positif, pourvu qu'on ait soin de rejeter tous les termes où l'exposant de acosf devient négatif; que, pour avoir des expressions généralement vraies de %\nnt et cosnf , il faut à chacune de ces séries en joindre une autre où les exposans de 2cos£ soient négatifs, et il a trouvé pour ces expressions
( , . n-2 , , w-3. /ï-4 ^ ^ n-L.n-S.n-Çt , ,>, , , .
V (acosf)»-' (2cosf)'"-3 H (acosf)"-? ^ ^ — (2cos^;«-7 -|- etc.
sin«/ = sin/.< ' '• ^ 1, 2. 5 , ^ V,...(«6)
I — C2COS/)-'»-» ^^— (2cosO-"*3 ■ — ?(2cosO-''-î 2 (2cosO*""7 — etc.
((2C0S/)" — n(2cos£)''-2 4- 2l^l (2C0S ;)'«-4 — -^ — '' ■ (2cosf )"-6 -f- etc. /
co%nt T=s ~ l ' >. ..(17)
/-{-(zcost)-" 4- w(2cost)-'»-« ■ """^ ^(2cosfV"-4-f--^^ ^^-= ( acosf)-"-6-f-etc.\
Il a démontré généralement que pour n entier positif ces expressions se terminent toujours , parce que les ^
termes à exposans négatifs des premières séries sont tous détruits par les secondes. Dans les cas de n entier négatif, ce sont les premières séries qui détruisent les termes k exposans négatifs des secondes. Quand n est fractionnaire, ces séries vont à l'iu/ini.
Ces expressions ( i6) et (17) ne sont autre chose que les développemens suivant les puissances de 2cos£ des formules C*4) ^^ ( >5) ci -dessus ; comme on peut le voir dans le mémoire cité d'EoLER, et mieux encore dans un autre du professeur Fpss , inséré dans le même volume de l'Académie de Pétersbourg. Ainsi il ne faut pas s'étonner si elles s'étendent à toutes les valeurs de tz, -
La manière dont nous avons résolu la question proposée nous paroît avoir l'avantage, i.** de démontrer généralement les séries (lo) et (11) ; 2.° de faire voir comment il faut les employer dans le cas de n. négatif entier ; 5° de faire voir d'avance qu'elles ne sont plus vraies pour n fractionnaire , et d'indiquer la véritable cause de cette limitation; 4." enfin, de démontrer facilement les formules finies vraies pour tous les cas.
On en conclud encore que, puisque les séries pour sinric et cos nt, que donne Ecler au chapitre VIII, n.°i33, de Y Introduction, et Fuss, au §. la du mémoire cité, ne sont que le simple développement des formules (14) et (i5), ces séries sont aussi vraies quel que soit n.
i8a DucAiiCuii
,. , . sin(n 4- i)^ i» * i» et, en mettant » -f- i au heu de w, b'^.cc-^ = — ^-r~ ; dou Ion tire
sur-le-champ , pour le coefficient de a;« ,
^„ = iî 5iîiiii +J.I' + 5
smra^
sin^ s^n/:
comme le trouve Euler dans le chapitre cité.
S'il y a plusieurs facteurs imaginaires égaux , on aura une suite de fractions partielles de la forme R -i- Sjc
(l — 2COS Ù.X + X^)'^ *
or , au moyen de nos formules , on aura sur-le-champ pour le coefficient de x*
An = R^".oc-^ H- S^'^-^.ec'K Rien n'est si aisé que de développer p«. «" *, le polynôme étant a — ^x-\- yx^ , car il suffit d'employer nos formules en faisant d. « = — ^ , et p. C = — ^y i on a ainsi, par le n.° qo ,
ç«.a-^ =zz Aof^-'p'^-'.C -f- - — lt i^-A-2p«.9.g'2 4- etc.
J'écris la série à. rebours , je continue les développemens , et je mets en même temps au lieu de a , 5" , y leurs valeurs i , 2 cos/^ , i ; ensuite , pour avoir le développement de p«-^«■*, il suffira de changer dans la série trouvée n en n — 1. On aura ainsi à
■tin ^
L ^(2C0S^)« -^^ -^ r .^(2COS/.)«-2
— ^ -^ — r <- OxcosiY-h — — î^ ' ^ . ^(2Cos^)«-6 -f. etc.
k{k-\-\\Ak-^n-'x) , ^ ^(^-hi)... (A-|-az-3) , .
-î^ ^—^ ^ (2C0S^)«-» — - ^ ^ \ -r-: (2COSty-^
f i ^ ^^ ' ^ 1/ (2Cos^V- 5 ^ . — i f (2cos^)''-7 + etc.
séries qu'on continuera jusqu'à ce que les exposans de acos/^ deviennent négatifs. ' J'avertirai , en terminant ce paragraphe , dans lequel j'ai traité des séries récurrentes simples dont la théorie a été inventée pour résoudre plusieurs problèmes sur les probabilités , que les ouvrages de Moivre et de Montmort sur les hasards offrent différens cas où le calcul des dérivations s'emploie avec avantage, soit en conservant les analyses de ces auteurs, soit en s'en écartait.
DES DERIVATIONS. ' l83
