Quant à la vitesse, on a

v 2= V- u ~a $ l /~ix.aCos 9, . u H- a 2j , en désignant /g- 7 1 |/'jü par m,

et les maxima et minima sont donnés par

2(eTI> — 2a’)

Co-fô,

(T, Coj Ô ,

On a une première racine m 00 , qui donne t \Z~Jn — tc , v — o , y — — . On a donc un minimum v — o aux points de rebroussement. L’équation qui donne les trois autres racines est :

m3 — 3 s Cos 9,. m2-(- (2 s2 — 1) M-h 5 Cos0, = o (38)

en posant, pour abréger,

Vï ~ s'

Cette équation du troisième degré à dernier terme positif, si l’angle

9, est a une racine négative ; de plus elle n’en a qu’une seule : ses

deux autres racines sont donc positives ou imaginaires. La racine négative est comprise entre o et — i ; car si l’on fait u = o, on trouve un résultat positif H- s Cos 9, , et u — — i donne — 2 s (s-\- Cos 9,), résultat négatif. La vitesse passe donc par un maximum compris entre les points Q et R ; elle est nulle au point de rebroussement Q; et si les trois racines de l’équation (38) sont réelles, la vitesse devient encore maxima et minima entre les points C et Q, c’est-à-dire dans la première moitié de la période. O11 peut facilement trouver la condition de réalité des trois racines de l’équation (38); pour cela on transforme cette équation en une autre privée de second terme, en posant u = z H- Cos 9n et on obtient l’équation

:3+f2is — 3 s2 Cos 2 9, — 1) z — 2 s 3 Cos9x Sin 2 9 , = O; et pour que les racines de cette équation, et par suite les valeurs de u ou tang { ty/Jn soient réelles, il faut :

27 5 6 Cos39x Sin49t -h (2 s2— 3 s3Cos39x — i)3=<o

- = ^2 + 3 Cos3 9, \iang 9, — 1

ou

Quand cette condition est remplie, la courbe de la vitesse dans le cas de 0, a la forme représentée fig. 8 ( b ).

Si l’angle 0, = l’équation (38) devient

et ses racines sont u~ o, d’où — ^ , x — O , v,—i a;

et « = ±1/1 -2ia ou — ± ^ ^ — 7

réelles quand 2 5* — î < o ou S, 2/w> 2 a 2;

cT 2 iM»

ces deux dernières valeurs de u donnent v. — — ' ■ = avec r— 1 —

La valeur v, — —y===

est plus grande que 2«; car, si l’on re-

tranche l’un de l’autre leurs carrés, il vient

QT.y — 2q-)

, quantité positive.

Si donc on a j) 2/w^> 2 a 2 la vitesse du second mobile, d’abord minima au sommet C de la trajectoire, augmente jusqu’en un point M, entre C

et D , où l’on a tang \ t \/Jl — , — , et elle devient le maxi

mura

JY y

; puis elle diminue jusqu’à zéro, valeur quelle

atteint en A, point de rebroussement; à partir de là, elle augmente, et atteint son second maximum, égal au premier, en un point N, situé entre E et B, et tel que les ordonnées de ces deux points M et N soient \ ci a<T

égales à j, » j la vitesse diminue ensuite de nouveau jusqu’en B ,

où elle est à son second minimum = 2 a. La forme de la courbe de la vitesse, dans ce cas, est représentée fig. 9 ( b ). Cette courbe a un point anguleux à l’endroit où l’ordonnée est nulle; car on a

dv U {(P, y (1 — u J) — 2a’} Sin ~ t y/ ^ — 2a’

dt\/ {X (l-4»9|/«*-h«’.<r;y i/a'Cos'\t\/Jii,-+-é'l,pSin'^t\/jL

expression qui donne ^ =±<5'[ l/'jùpour u = 00 ou|^|Jy- *

Quand = 2 a2, l’équation en m a ses 3 racines égales à zéro, et quand 2|u <[2 a % elle a une racine nulle et deux imaginaires; dans ces deux cas la vitesse n’a plus qu’une valeur maxima v — 2 a pour y =.$, , et une valeur minima pour/ = — J,. La figure 9 ( c ) indique la forme de la courbe pour ce cas.

Enfin, si Qt ^ , l’équation (38) a son dernier terme négatif; elle a

donc au moins une racine positive, et elle n’en a qu’une, puisque l’équation n’a qu’une variation: elle peut ensuite avoir ses deux autres racines réelles ou imaginaires.

Troisième classe de courbes . b1f>2a.

28. Nous avons vu, n.° 16, que si bl'^>2a, les courbes représentées par les équations

c°sty» * ,,n,

* = a t -H — — Sin t \/ fj, ^ /j.V' J,1 — y1

n’avaient ni point d’inflexion, ni point de rebroussement; qu’aux points où l’ordonnée est maximum, pour / = , la tangente était parallèle

à l’axe des x; elle sera parallèle à l’axe des / toutes les fois qu’on aura

y = — ^ , ce qui arrive deux fois dans chaque période.

Ces courbes auront dans chaque période un point multiple , c’est-àdire que dans un intervalle de temps égal à g= compté à partir du moment où y — , le mobile passera deux fois en un même point; on

aura une branche à nœud ou à folium. Pour trouver les points multiples, il faudra voir quelle valeur de / donne dans la même période deux valeurs égales pour x. Or en général , si l’on désigne par vjy le plus petit

arc dont le cosinus estÇ, dans chaque période il y a deux abscisses qui

correspondent à la valeur/, et ce sont

ou x2 = -— — xl •

Au point multiple on doit avoir x\ = x, ; on a donc, pour trouver l’ordonnée de ce point, l’éqiiation

2 7ro 2 a-v L 2(i — «) /y 2 ~ , •

T7 = \ TÎ^-JJPT^1 ~r ’ ou b,en

Ce point a évidemment pour abscisse x — —=. , et est situé avec le

point y = — sur une même parallèle à l’axe des y.

Le point multiple se trouvera sur l’axe des x toutes les fois qu’on aura dans l’équation précédente y — o, ou S in \j> = î , c’est-à-dire

Ils seront au-dessous, quand poury = o la différence x, — x2 est plus petite que zéro, c’est-à-dire quand ^ ^ -4- 1, et au-dessus quand

^ -h 1 ; ils s’éloignent d’autant plus de l’axe des x que b, devient plus grand par rapport à a.

29. L’ordonnée des points où la tangente à la trajectoire est parallèle à l’axe des y, y = — est toujours négative, mais d’autant plus près

de zéro que le rapport ^ est plus grand : les abscisses de ces points sont

a t a #v/jf (b, — 2 a) . 2 «57-

‘r‘ “ « et ” 1 x>-

désigne ici le plus petit arc dont le cosinus est — ^ . La diffé-

rence entre ces deux valeurs est

Or,ona Cos\J> = — , iSïn = H- ^

donc yj/ = plus petit arc j tang ~ — \—L — , et

tc — \p — plus petit arc | tang — H- | . Posons

tc — \p = z, on a - — LU L — tang z

et l’équation précédente devient

= — j langz — z j-

Tang- z peut varier depuis o jusqu’à oo, tandis que z ne varie que depuis zéro jusqu’à la diffe'rence x, — xa, toujours positive, augmente

donc sans limites avec le rapport ^ •

Deux folium consécutifs se toucheront quand cette différence Xi — X*

sera égale à ~y™ • on aura donc alors • y y-

tang z — z H- -n.

Cette équation donne pour z une valeur correspondante à peu près à l’angle 770 27' 12 ", 2; en prenant z égal à cette valeur, on trouve tang z = 4,4934°5, etz = i,35i8i66

TC — 3,l4l5926

On a donc J /« (« ~ 2) = 449^4° • • •

ou « (a ~ 2) ~ 20,1907...,^= 1 •+• 1/21,1907 = 5,6o5. Si ^ est plus grand que cette valeur, les branches de deux périodes consécutives s’entrecouperont, et on a deux points multiples de plus suites droites, dont les ordonnées sont représentées par x = . A me-

sure que le rapport ^ augmente, la trajectoire se rapproche d’une courbe fermée que le second mobile parcourrait autour du premier. Si ^ = 00 , ou^ = o, les équations de la trajectoire deviennent

y — Si Cos t\Z/j.

En éliminant l\Z/x, on a l’équation

qui est celle d’une ellipse rapportée à deux diamètres conjugués. Ainsi , quand un mobile est attiré vers un point fixe en raison directe de la distance , la trajectoire de ce mobile est une ellipse dont le point fixe occupe le centre.

Pour connaître la longueur des axes de cette ellipse, on n’a qu’à faire a — o dans l’équation (34) > qui donne les valeurs maxima et minima du rayon vecteur; l’on trouve ainsi :

/ b , t- S'j * [/. —H 2 bt J'j V fx Sin 0, t \/ A, 3 -H <T, * /a — 2 bt S' t \ ' fj. Sin 0, ^

r Tvl — 247 ^ *

30. Si l’on a b, — a — J, y/jù, et 9, la distance des deux mo-

biles est constante, et la trajectoire est une cycloïde rallongée (§. 2). Le mouvement du second mobile peut donc être comparé à celui d’un point pris hors de la circonférence d’un cercle qui roulerait uniformément sur une droite fixe; le rayon du cercle est ~ et la distance du point décrivant au centre est ^> — . Le rayon du cercle devient de

plus en plus petit par rapport à la distance à mesure que le rapport -augmente, et à la limite on peut considérer le rayon comme nul; la

trajectoire se réduit à un cercle.

La vitesse du mobile dans sa trajectoire est la plus grande quand y=St , c’est-à-dire au sommet de la courbe; elle est alors égale + ^ = bt .

Elle diminue depuis ce point jusqu’au point le plus bas, où y = — J1,, et là elle n’est plus que <î, y/ fx — a = b, — 2 a, h partir de là elle augmente de nouveau.

Quand le rapport = co , la vitesse dans le cercle est constante et égale à b, = S, y/jü-

Quand on n’a plus bi — a — S, \/ p, mais encore 9, — il y a encore, comme §. 3, une racine u = oopour y — — , une racine u—o

pour y — H- è, ; les deux autres u — zb |/ ^ —

ne

sont réelles que quand d, a fx ]> b, ( bt — 2 a),

ou quand J,1 2 fx <^(bt — a) ( b , — 2 a).

Enfin, si l’angle 9( est différent d’un angle droit, l’équation (35) ayant

son dernier terme de même signe que le premier, on ne peut plus affir-

mer en général qu’il y a une racine positive et une racine négative; mais si Cos9l >o, il y a deux racines négatives l’une comprise entre o et — î, l’autre entre — 1 et — oo; car la substitution de — 1 pour u donne pour

résultat \ (b, — a ) ^ i

y/ /u Cos ô

-j, quantité positive, tandis que u — o

et u = — co donnent un résultat négatif. Il y aura au contraire deux racines positives quand Cos 9, <C o . Les deux autres racines peuvent être réelles ou imaginaires.

Si — — co , ou a — o , l’équation est

2 >-&,») bt (T, \/ [j. Cas Ô,

u 3 — Gu2 —

b, S', Vf* Cos 0,

elle a ses quatre racines réelles , comprises entre o et î , î et oo , o et — î, — î et — oo.

Ces racines sont deux à deux inverses et de signes contraires, car

l’équation ne change pas, si l’on remplace u par — — ; de sorte que

//, et — sont les 2 racines positives, l’une plus grande que l’unité, l’autre

1 1 plus petite, — — et — «a sont les deux autres, et les arcs, dont et — —

sont les tangentes, sont complémentaires, et les rayons vecteurs correspondants à ces valeurs sont perpendiculaires l’un à l’autre; de même

pour — et — u2. On pourrait résoudre l’équation précédente en la di-

visant par u2, et posant ensuite u — - = o, ce qui donnerait

2 ^ ^ j/~Coïfl'/ z — 4 = °> mais Sl * on compare cette équation

avec la formule qui donne lang 2 i y/ p en fonction de tang\t\ / ^ — u, formule qui est

lang 2 l y/V = j 6|t, „ ou bien

tang 2t y y.

tang 2 £ l/«

on voit que l’on a lang 2t \/ ^ ; t Cette valeur de lang 2 t\/ ^

est la même, au signe près, que celle pour laquelle le rayon vecteur est maximum ou minimum; on conclut delà que la vitesse dans l’ellipse est la plus grande possible aux extrémités de l’un des axes, et la plus

petite aux extrémités de l’autre. On a

le maximum

1/ b , 2-t- S, 2 -H 2 bx j1, \/ fx Stn 9,

1/ b , a-f- S, 2 jU — 2 b, $ \/ /xSin 9,

V^b, a-+- A -+- 2 b, \/ fx Stn 9,

V' b , 2-j- j1, 2fj. — 2 b, J, \Z~fxSin 9 , ?

quanar . 2^

et le minimum

l/ bx a~h aj u —H 2 b. S, V [xSm 9,

1 /bt 2 î è, — 2 b, S, \Z~fxSin 9,

quand r est maximum.

Quand l’angle des axes 0, est droit, le demi-grand axe de l’ellipse est ~ et le demi-petit axe est £ ; la vitesse aux sommets du grand axe est $ et aux sommets du petit axe elle est bt.

Si on se rappelle maintenant ce qui a été dit n.° 14, on voit comment la trajectoire se modifie pendant que le rapport ^ varie depuis — oc jusqu’à -h 00. La figure 1 1 représente toutes ces différentes

formes; on y a supposé 9, = il est facile de voir alors la forme pour les cas où 9. serait différent d’un angle droit.

Cas de la force répulsive.

31. Le second mobile, animé de la vitesse b , à une distance $ du premier, est repoussé par celui-ci en raison directe de la distance.

La force, au lieu d’être pr, est — pr; donc, pour passer des formules précédentes à celles qui conviennent pour ce cas, il faut changer p en — p, ce qui donne lieu à des expressions imaginaires, qu’on transforme en exponentielles au moyen des formules

tV [A — tVy- t V y. — tV'/j.

e -he Sin t \/ — p e — e

Cos l V — p = 2 ’ i/ZTl 2

D’après cela les équations (12) de la trajectoire deviennent

t \/ (X t\/fx \ f t (/ [J t\/ y.

y — Sin ô

x =at-\-$ Cos ô

b Sin -

~Vf

1 b Cos y— a

tVn -<l/v'

La courbe n’est plus périodique, car y croît sans limites avec t.

La valeur de

t V P — tV' r tV [j —

yj — WpSinô

montre que la courbe a une seule tangente parallèle à l’axe des x donnée par

in 6 2

tV /j’. — t \/ f*

<T| /[j. SinQ

b Sin y

Wÿ Sin Q — b Sin y S' V y. Sin 9 — t— b Sin y

oue =

d’où