Il y aura des points d'inflexion pour y = — ^ sj a x
c’est-à-dire si b, <^o.
2.0 Il y aura un point de rebroussement pour y — S,, si b, =. o .
3. ° Il y aura deux tangentes parallèles à l'axe des y aux points
dont l’ordonnée est y = si l’on a — ^ > 1 : cette condition
donne dans la supposition de a bt ! btf>o, et dans la supposition de a<^biy £,<0, par suite a<^ o; et comme nous supposons toujours a positif, on aura ce genre de courbes à nœud , sans points d’inflexion ni de rebroussement, lorsque b , sera compris entre o et a.
4. Si bt a, la courbe aura deux branches infinies , sans points d’inflexion, ni de rebroussement, ni point multiple.
b • • y2 U/OC 2
Enfin si-^ = oo, 1 équation de la trajectoire sera jq; — = 1; c’est
une hyperbole rapportée à son centre et ses diamètres conjugués.
Si l’on cherche les asymptotes de ces différentes courbes, on trouve
d’abord lim. — = zt V f :
ensuite y — - — x= <),
qui devient infini pour t— — oo , et j-
— ty/y
a — bt a t\/ÿ
qui devient également infini pour t = -t- oo . Ce n’est que dans le cas
où— = oo que l’on trouve des asymptotes ; leur équation esty dz^-^
33. La valeur de x étant développée en série, donne a — b, ((^v/^)3 , {fy/jCf , (#^7
cette valeur finira toujours par être négative, si t est assez grand, tant que bt <^a\ elle sera même entièrement négative, quelle que soit la valeur positive de /, si bt < o; le second mobile, à partir du moment que l’on considère, t = o, ne se mouvra donc que sur la branche de courbe située toute entière du côté des x négatifs, si bt < o; son mouvement se fera d’abord du côté des x positifs, si b, < °a\ ensuite il passera du côté des x négatifs après un temps donné par l’équation
/ ty y — t y y\
OU
La valeur de t qu’on tire de là sera d’autant plus grande que a — b, sera plus petit; par suite, la valeur de y qui correspond à cette position sera d’autant plus grande que b , sera plus près de a. Quand bI = a, le second mobile ne passera plus du côté des x négatifs, il restera tout entier du côté où se meut le premier; quand t sera très-grand, il tend à se mouvoir parallèlement à l’axe des y. Dans ce cas, l’équation de la
trajectoire est : y
y x y y — xy y>.
est une chamelle si
Enfin quand b,y> a, la valeur de x ne sera plus négative pour une valeur positive de i.
La figure 1 2 montre les différentes formes de la trajectoire d’après les différentes valeurs que l’on suppose au rapport \ Figure 12, (0) représente la trajectoire pour le cas de b , <1 o; ( b ) pour le cas de b,= o; (V) et ( d ) pour le cas de b, > o et <1 0; ( e ) pour b, — 0; enfin ( f ) pour
le cas de — — ce .
Pour la vitesse, nous ne la discuterons que dans l’hypothèse de
l’angle $= on a alors
/ y y lVy\ /
2ty/y -2 V
2k du / y — y\ f W y t'J y\ / 2lv/„ — 2 1\/ /y.\
Pour trouver le maximum ou le minimum de la vitesse, on a l’équation
1 2tx-h(b, —a)- J Q + «(£ — aXè^—e-^^) = °
Elle est d’abord satisfaite par e — e = o ou / = o.
Dans ce cas on a un maximum ou un minimum, v = b,.
Il reste l’équation
! <î 2/* —h {b, — a)2\ G ^ ^ -h e ^) + 2a(è, — 0)1=0; d’où P
on tire
/>t\ / [X a (a — b,) | a\a — bt )2
” «r, >+(*,—«)* y ÿYtJ.Ma-t>,yy *'
Cette valeur n’est réelle que si
a (a — b,) > S, 2 p -+- (0 — b,)2 ou b, ( a — b,) > 2 /x,
condition qui donne les deux suivantes :
rt— l/«a— Icf;2 /x A ^a~+-\/a? — £6\*/x et o,
Ce cas rentre dans les courbes de la troisième classe fi>0-
