Premier cas. Si yu — ka~o, on a r— — -j=r —t

dûo —

k .h dt

d’oùo; — 9 —

kht

kt

kl

(ht- \-g)' g(it-hg) gt-t-J" J (tVh^-é )

ad“=— £=dz,A'oùu— *) ou7 = >-' © (45)-

Les constantes introduites par l’intégration ont été déterminées de manière que pour / = o on ait r — §, u> — 9.

Ces équations nous font voir que si t croît depuis zéro jusqu’à l’infini, r croit depuis S jusqu’à l’infini, et co depuis 9 jusqu’à la valeur k k

•vl /—9-i — —9 -h 7T7=- Le mobile s’éloigne donc indéfiniment en ten-

dant vers une direction déterminée. La distance de l’asymptote, s’il y en

a une, au centre d’attraction sera donnée par la valeur de l’expression r (SJ, — a,) quand t devient infini; or on a

r(Aj — œ) = jy=[k — S\/h(a — Q)\ - J ~~ \7T‘

La trajectoire a donc une asymptote inclinée sur l’axe des x de l’angle

Je • • i i Je

•v|> == 0-h tt=, et distante de l’origine de la quantité — = •

Si on considère les valeurs négatives de t , r et w diminuent à mesure que t augmente en valeur absolue. Bientôt 1 angle ce devient négatit et s'approche de — oo; r diminue jusqu’à zéro, valeur qu’il atteint lorsque

/ — — — =Z — Si donc on compte les t négatifs dans l’avenir, le

mobile se rapproche rapidement du point d attraction, et fait autour de lui dans un temps limité un nombre infini de tours de spire, jusqu a ce qu’il l’atteigne; la trajectoire est une espèce de spirale hyperbolique. 36. Second cas. Soit p — T> o. Dans l’équation (43) nous poserons

Jü -t- g

Vp

doo —

u; elle devient par là

h du

\/ Je"— p O*’—1)

, d’où

ce

En déterminant la constante c de manière que l’on ait ce — 9 pour / — o, il vient

\{}it-pg—\/ p—Jc a) (g-h\/ p — Je*) \

[ [ht-+-g-+v p—k *) (g—V p—Je') i

\t(g — y/ p — Æ’) — t— eT’)

Cherchons encore l’équation entre r et pour cela, dans 1 équation

(8 bis), nous poserons | /{p — k^z^-^- h — \/ p — k .z u, ce qui la

transforme en dce = *=-; on en tire par intégration

Y p — Je'1 u

k \z k ^y\p-Je')zr+Ji-£zV-^jê

c ) \Zp-Je' { g-y/p-Je*

En passant aux nombres et désignant par e la base des logarithmes népériens, cette équation peut se transformer comme il suit :

V fx— h’

+ 4 1 / \jl — ka.z — — ka) z* -{- /t '■>

élevant au carré et mettant simplement nw au lieu de (&> — 9)

’inu nu

g— {/p-k^Ye -H 2hl/ ju — ka(g — \Zfx — ka)e — ^ h — ga—{fx — ka).

nu

Divisant par (g — [/ p — ka) e , il vient

nu nu

(g—\Zp — ka)e — (g-+- [/ fj. — ka) e +2^z\Zfj. — ka — o.

On tire enfin de là

Jz = -= — -1

— nu

nu

(#H- |/> — ka)e —(g—i/p—k^e ou bien

nu — nu /nu — n u\

~r " 2 ÆP\ 2 J

Cela posé, si h'^> o, la plus petite valeur que l’on puisse attribuer à t pour que r soit réel, est t = — — — ; pour celte valeur,

r = o,&j = — co. Si t augmente, r augmente également ainsi que u> ; quand / = o on a encore r = S, & — 9', si t croît jusqu’à l’infini, r croît de même jusqu’à l’infini , tandis que o> ne croît que jusqu’à

2//X-A' \g — Vp—k'J \/ fx — Æ3 \ à vh /

Pour avoir la position de l’asymptote, on cherchera encore lim. — et on trouve, comme précédemment, ^4 pour sa distance au centre d’attraction. La trajectoire, dans le cas de h 7> o est donc encore une spirale à asymptote, comme dans le premier cas.

Si h — o, on a g2 zzz p — Pet ra= 2 g l -h S 3 ■, cette expression est <T3

nulle pour l = — — et infinie pour t = co; le rayon vecteur passe donc

encore par tous les états de grandeur depuis zéro jusqu'il l’infini. L’équa-

— nu

lion (47) devient - = e ou r — < je.

C’est l’équation d’une spirale logarithmique ; elle n’a pas d asymptotes. Dans le cas de h < o , nous avons déjà vu que r n’était réel que si t

est compris entre — (ITh)

qu’il était nul aux .

deux limites et que son maximum avait lieu pour t — pour cette

aux

deux

valeur le(ona»=S + 7=T- ' C Ùrfe ") ’ " “ limites a = ± 00. Ainsi, à partir de / = o, le mobile s’éloigne du centre

d’attraction jusqu’à ce qu’il ait atteint la distance maxima r = / ^ __h ’

à l’instant t = à partir de ce moment il se rapproche de nouveau

du centre d’attraction, en décrivant autour de lui une infinité de révolutions dans un intervalle de temps égal , au bout duquel il

s’arrête. En considérant les valeurs négatives de /, on voit que le mobile s’est éloigné du point d’attraction dans une spirale tout a fait semblable.

37. Troisième cas. Supposons enfin p — k2 < o. Dans l’equation (45)

fl t | rr ^ *

nous poserons = u> et e^e ^ev^ent ~~ y/k”— p 1

En l’intégrant et déterminant convenablement les constantes, elle donne

m 6 = 7^37 ian8 -iTTTF-

ltdz

Ensuite l’équation (loi — — ■■ a donne par intégiation

03 — ô — — " - I arc Cos

\/ te 3 jU

z \/ tc“ — p

Cos

\/km—p

SV h

d’où l’on tire

(49) - = Cosnœ —Jl Sin n «,

en écrivant encore n0 au lieu de (a — 0)

On a du reste encore l’équation (42)

r* 0l * -+- gY — p) m h

Cette dernière montre que l’on peut donner «à / des valeurs réelles quelconques comprises entre H- co et — 00, et /• ne sera jamais imaginaire; la distance r sera infinie pour / = ± co; elle sera la plus petite

possible quand / = — |, alors r3 = Ç = ~ * et M = ô -f-

fi h

y/k> p arc yanS — ~ ^7====^)L équation (48) fait voir ensuite que

si / augmente depuis o jusqu’à -f- co, la tangente k . croît depuis o B*-*- S" *

jusqu’à - et l’arc augmente depuis o jusqu’à une certaine valeur

que j’appellerai <r et qui est sa valeur extrême. Si t varie négativement depuis o jusqu’à — —, la tangente est négative, augmente en valeur

absolue jusqu’à 1 infini, et l’arc correspondant depuis o jusqu’à

A partir de la l’expression — ^ redevient positive , diminue en

valeur absolue; elle atteint de nouveau la valeur \/k‘~ ^ quand / - — ce, lare est alors a — 7 r. Les valeurs limites de sont donc

Il y a donc deux directions dans lesquelles le rayon vecteur devient infini; pour voir s’il y a des asymptotes, calculons lirn. r (\f/ a,)-

, , N /. k Vv— /A k r f

r{\-»)=T^-u--ç^^arctang— — J-pr=^

-arct -y

Cette expression devient oo X o quand on y fait i = co ; pour avoir limite cherchons //m. j/ ^-+- 1 . «rc tang - quand a; = co 5 nous prendrons le rapport des dérivées des deux termes de l’expression fraction-

arc tang—

naire , ce qui donne 1/ — h- 1 = 1 à la limite; donc on a

1/ a - hx3

liw. r (4> - a>) = jt=*

V k* — fj. tv'k’—p

arc tang arc tang

YJ k* — fJ-

sa

Pour l’autre direction \J/, on aurait

. kr

lim. r ( — oc) —

/ x/k'—IX \

:\arc tanS g^-TT ~7t)

expression qui a la même limite p7=*

Donc la courbe en question a deux asymptotes éloignées chacune de

k . t . . , | / k1 — ix

la distance çgj du point d’attraction; la distance mimma étant y ^

quantité plus petite que pyp, on voit que la courbe est comprise entre les asymptotes et le point d’attraction. L’angle des asymptotes est

7 km

■vjy — \jy = — , ? 71 ■ — - ; il dépend essentiellement du rapport ~ 7

il sera d’autant plus grand que k2 — fx sera petit. Les asymptotes seront

parallèles quand p== = *'• si ceule MPression esl > 2’ le3 deUX

branches infinies se couperont une ou plusieurs fois, et en partant de t — 00, le mobile se rapprochera constamment du centre d’attraction, fera autour de lui quelques révolutions, dont le nombre dépend

de — — , puis arrivé à la distance minima il s’en éloignera îndéfmi-

y/ k 2 — fx 1

ment après avoir fait un même nombre de révolutions. Si enfin ka— p est infiniment petit ou nul, la distance minima sera nulle, et la trajectoire sera une spirale hyperbolique, comme nous l’avons vu dans le premier cas.

L’équation (4g) aurait pu nous conduire aux mêmes conclusions que l’equation (48); on peut la mettre sous une forme plus simple en chas-

sant le dénominateur et posant Ÿ^=£ = tangente <run ang,e auji.

liaire <y; ce qui donne

= S in

)jl/

k a — fx

|; or(i/ï^T7;tr+0='t/'

Celte dernière équation montre encore clairement que a ne peut va l ier qu’entre \l/ et ib — — .

La figure i5 représente la trajectoire du mobile dans ces différents cas; fig. 1 3 (a) convient au cas de /u — ka^ o, h> o;(£)au cas de b — o,

( c ) pour h <( o; (d, e , f) pour p — k1 <( o, selon que —y== est plus ou moins grand.

38. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que le rayon vecteur augmentait avec t, c’est-à-dire nous avons pris le signe -f- du radical de l’équation (6); si on avait supposé que r diminuait à mesure que t augmente, il aurait fallu prendre le signe — ; on aurait eu dans ce cas 4/ g = — l/hr 2-r-^c — k\ g étant ici une quantité négative, égale à J {a Cos Q — b Cos ce), telle que l’on ait^V^) = 4- g. En

supposant alors bSincc <0, k serait négatif et diminuerait aussi

avec t; et le mobile, au lieu de s’éloigner du point d’attraction, s’en serait au contraire rapproché, et il aurait parcouru en sens inverse la même trajectoire. Pour ramener ce cas au précédent, il suffit de porter

dans le passé les t positifs et dans l’avenir les t négatifs. Si k est positif, on ramène le cas au premier, en comptant les en sens inverse de celui où on les a comptés dans le premier cas.

Quant à la vitesse du mobile, on a éq. (4)

vr-=h+ 4

Ainsi quand le point d’attraction est fixe, la vitesse est d autant plus grande que le rayon vecteur est plus petit; dans la cas de h = o, elle est en raison inverse du rayon. Elle est infiniment grande au point asymptote dans le cas de p — k2 >T o, et elle diminue, à mesuie

que le rayon vecteur augmente, jusqu’à 1 Z~h, valeur qu’elle atteint lorsque r — co; elle devient nulle dans le cas de h=o; et si h <(o, la vitesse

diminue depuis co jusqu’à valeur qu’elle atteint lorsque le rayon

vecteur est maximum r= ^ y' — = ; à partir de là elle augmente de nou-

veau jusqu’à l’infini. Enfin, dans le cas de /u — k2 <o, elle est la plus grande possible lorsque r2=y — ^r, sa valeur maxima estp;===; elle diminue ensuite jusqu’à 1 /h, valeur quelle atteint encore pour r — co.

39. Quand on cherche le coefficient différentiel ^ , on trouve que

les ordonnées maxima et rninima sont données par dr y-, du

■j- oin no -H r Los où — O,

ou en vertu des équations (6 bis) et (7): {ht -+- g) Sin ai -h k Cos a> o, équation qui donne

tang œ = — ou « = — arc Qang = ht^g)-

Ainsi, pour avoir le temps t, pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des x, il faut substituer cette valeur de o> dans les équations (44), (46), (48), ce qui conduit aux trois suivantes :