y -h «rc tang
ù'te-nty— *a)-t-<n __ 2^ T* (/ (g— 1/^TZ.T3) + <T’| ~ °’
arc te"^ Ï7^ -+■ pp=x (W= T^jf) = o.
Il serait à présumer, d’après ce que nous savons de la forme de nos courbes, que ces équations admettent une infinité de solutions; mais si l’on applique le théorème de Molle , en cherchant combien les dérivées ont de racines, on trouve pour toutes les trois
te kh 1 h
ou -
2g,<-t-<f2 k? -+- (ht -H g) 2 ''' 'J<'1 r"1 ht* -y /a
équation impossible. La dérivée n’ayant donc pas de racine, on en conclut que l’intégrale n’en a pas plus d’une, dans chacune des trois hypothèses; qu’il n’y a donc qu’un seul instant, durant tout le mouvement, où la tangente à la trajectoire est parallèle à la droite OX.
Cette remarque nous porte à conclure que les révolutions ou tours de spire que le mobile fait autour de son centre d’attraction, sont à rayons vecteurs infiniment petits, et que dans un instant inappréciable le mobile parcourt un ou plusieurs tours de spire avec une vitesse infiniment grande.
Cherchons encore le coefficient différentiel du second ordre. Pour cela nous avons la formule
d2x dy d'y dy
d'x dt 2 ~dt JT2’ ~dt
dy â sdr\3 5
\dt)
qui devient, en vertu des équations (i) et (2) du n.° 5 :
dy
En égalant à zéro le numérateur de cette expression, on a l’équation y — ~ ’ qui détermine la position des points d’inflexion.
11 serait maintenant facile de s’étendre au cas où le point d’attraction s’avancerait uniformément sur l’axe des x; la trajectoire aura dans le cas des spirales («, b , fig. i3) la forme de fig. 14 (#)» et dans le cas de fig. 1 3 , (c) la forme de fig. i4> (b, c ou d).
La force d’attraction est de la forme R = p r-+- *40. Dans ce cas on a J R dr = 4 et l’équation (6) devient
dt —
rdr
OU dt =
dz
2 1/ — fj.z'-+-hz — k
en posant ru=z.
[/ — jxr^-^hr* — Æ’h-A
En l’intégrant, on obtient ^ ^
D'où r- = + Æn (2 , ,/- + C). (5o)
Cette égalité montre que le rayon vecteur ne devient jamais infini, qu’il reprend les mêmes valeurs lorsque t croît de ^7=; qu’il atteint
sa plus grande valeur r=|/^V>H lorsque 2 t\/p-b C= \
et sa plus petite r=| /h-\/h'+A iorsque 2 1 \T^ 4- C = ^
— . Si l’on a Æ2 — À = o,
l’intervalle qui sépare ces deux instants est ^ ■
la valeur minima du rayon vecteur est nulle; si k 2— A = le rayon
( Sîn — h r est nul à ces deux limites.
Vôm ” 1/4»-+-4/x(a-AV’
et
vecteur est constant. Enfin si k a — À <C o, r nest réel que lorsque
2 t y/jù -+- C est compris entre — arc Sm — ^
7T -h «rc
La constante C, qui a été introduite dans la dernière intégration, se détermine en faisant r = 3 dans l’équation (5o), ce qui donne 2 — h — -t- 4 y. (a — h ») Sin C , et par suite
Cos c— en fajsant ^A + A — Æa — u <J4 = JV2
g sera égal à (b Cos ce — a Cos 9).
En développant le second membre de l’équation (5o), on aura
r* =■ — Cos 2 t 4 -S*Cos 2 ty/ p-j- £77= Sin 2 t {/Je ou
r'=ŸCosHl/fi^^SiniVï*Cost\/p-± h-~^ Sin*i]/~{x. (5i)
Si maintenant on veut avoir l’équation entre ce et /, on posera lang t\Z/* = u, d’où dt — — ^ ys—î en substituant ces expressions
dans l’équation (5i) et dans l’équation (7), il vient
a (A — J'1 (À) m* — f- 2 g u— H J'2 /J. ^ h du
r= Ct d<U= 1/^(1 -+-«»)> desquelles on tire la suivante :
[h S"1 tA)u-1-\-Clgf\/ pu-Jt-P’ p
Cette équation s’intégre par arc tang si h — J2^ >g* ou si /c3 — A> o; l’intégrale sera algébrique si h — Sa/Ji = g!‘ ou /c2 — A = 0, et enfin logarithmique si k 2 — A o.
Si l’on cherche oo en fonction de r, on se servira de l’équation (8)
Jcdr
^ œ r\/ — fXj4-+-hr'~hX — k''
On pourra l’intégrer en posant r2 = —, et on arrivera encore à une
expression algébrique dans le cas de k 2 — A — o, à une fonction angulaire si k 2 — À<o, et logarithmique si k 2 — A o.
Nous nous bornerons ici à l’examen de ce cas.
