b, — a) Cos t y/ /x J\ l/ /x- Sin t\/ fx

ou comme Cos t y/ /x — — > Sin t \/ ^ —

d 7 v [x = ± — — , le signe supé-

rieur du radical appartenant encore à la première valeur de t dans chaque période, et le signe inférieur à la seconde, on a

dx S', a - f- (b, — a) y

dy ~

îVhVk— r

En différentiant cette équation, on obtient

d'x ( b , — a) S'l ay

ïr H r)\

16. Les équations (22 et 23) nous permettront enfin de diviser nos courbes en trois classes distinctes:

i.° Les courbes auront des points d’inflexion , si — o, ou

si y = —

Or y n’est jamais plus grand que $ en valeur absolue; donc, pour que les courbes représentées par l’équation (21) puissent avoir des points d inflexion, il faut

°U 0U ^en °U

O c- , àx « , / <f — 1—

. Si bt = 2a, on a -p — i - = ZJZ ■ - - 8/ - —

1 » dy S'y nVfp-y' k

Pour ce genre de courbes on a -j- = co pour y = J, , c’est-à-dire la tangente aux points où l’ordonnée est maximum et parallèle à l’axe des x; et pour y = S, ,ona^=o, donc aux points minima la tangente

est parallèle à l’axe des y, il y a donc en ces points des points de rebroussement.

Si ù, = o, les points de rebroussement se trouvent aux points maxima,

v dx a i/cT, — y

pour y = l. car

3.° Enfin, si b^ 2a ou b, <^0, il n’y aura ni points d’inflexion , ni points de rebroussement; les courbes, pour être périodiques, auront des noeuds.

D’après cela nous distinguerons dans la discussion trois cas principaux: nous examinerons successivement le cas de bi<f‘2a, de b, — 2 a et de b,f>2a; nous ne donnerons à b, aucune valeur inférieure à a, vu que les mêmes courbes se représenteraient renversées suivant que l’on aurait b, <|a, b, = o, b,<^o.

Cas du rayon vecteur constant. Cycloïdes.

17. Avant d’aller plus loin, occupons-nous d’abord d’un cas particulier commun aux trois classes de courbes, celui où la distance des deux mobiles est constamment la même.

Pour trouver les conditions nécessaires entre les données du problème pour que cela ait lieu, servons-nous de l’équation (i3) mise sous la forme :

r\ aa— ’m<2abCosy-\“b* — «T3//

r H 77 • Sm'ty /x-+- (i Cos et — a Cos 8) SintVü Cost V~ü. ;

le second membre devant se réduire à S2, quel que soit t, on devra évidemment avoir :

i -° a2 — 2 abCosy-\- b2 = $2fx, (24)î