Cos (a — ht) V/2jUr — k*ê

Si on remplace r par sa valeur dans l’expression \/ 1 fj.r — Æ2, il vient

r dr

fit —

k tang \ (u — ht)

; posons tang - {u — ts) — u, on aura

df.

r dr Æ’fl-t-M*) , k'1 u , . , k3 , » ,

t— —— , r = r , dr— — du , et par suite dt — ~ — f î — |— u2)du,

ku 'Z /JL fJL 1 Z/jl* '

d’où l’on tire par intégration t — T — J,

La plus petite % périhélie, il vient

La plus petite valeur de r est ^ ; désignons par D cette distance

et<— T=-^r(u-hs)-

Vy

De l’équation tang ^ — z ?) — u, on tire encore Cos &> et Sin &> , et

on obtient finalement

I'y — D Sin -ar(i — u2)- h 2 D Cos <sr. u j

x — «T " -+- + ^ H-D Cos ■ar ( 1 — «*) — 2D&Vï'z<j-j ^ ^

Sans entrer dans la discussion de ces formules, revenons à la méthode que nous avons commencé à suivre dans les numéros précédents.

45. Simplification des équations par un changement de coordonnées. Nous pourrions prendre pour origine des temps l’instant du passage au périhélie, mais les équations de la trajectoire se simplifient davantage si nous suivons le même mode de changement de coordonnées que dans

dv

le chapitre IL Résolvons d’abord l’équation ~ — o, pour reconnaître

si, dans tous les cas, ce changement est possible.

L’équation ^ = ~yfSin 00 -h r-^ Cos &>, devient en y substituant pour

■T-» r Sin a>, Cos œ leurs valeurs :

atat 1

dy te Cos ira (hr y) — y Sin hC -f-2 yr — h 1

dt r \/ k*h -4- y'

En égalant à zéro le numérateur du second membre, il vient

(, hr 2

d’où l’on tire

- 2 yr ) (k* h Cos^'&r — y* Sin2- ar) -+- k2 y2 — o ; ySinrs l / k%h-\-y 2

h h r y* — (fc’k-y-y*) Cos*<zr

Cette expression n’est réelle que lorsque

Cos2tz^> o, ce

qui arrive toujours quand h <0, et quand h — o, c’est-à-dire dans le cas de l’ellipse et de la parabole; dans le cas de l’hyperbole cela n’a lieu que

lorsque h est inférieur à ^ — — •

Supposons cette condition remplie, et cherchons les valeurs de la vitesse initiale bx et de l’angle 0, correspondantes aux données initiales pour ce nouveau système de coordonnées. D’abord nous avons trouvé pour la

distance initiale èx deux valeurs ; mais c’est le signe supérieur du radical t^u’il faudra évidemment prendre.

On a donc

^ P; j \/ k2 h -)- y? . Sin <rg y , E Sin <m ^ ^

h ( \/ y2 (Æa h -4- y2) Cos1 l/ 1 E2 Cos2 ^

expression qui pourra se mettre sous la forme j __ — y{\ — E1) k2

h\/ 1 — E2Cos2 (E Sin 'ST + l/l — E 2Cos2 'Sr) E2 Cos2 (E Sin >m 4- / 1 — E2 Cos2 nsy)

Dans le cas de h — o, on a E“ i,t- = D, et il vient

Sin2

Pour avoir (5,, on se servira des équations (5g) et (6o), dans lesquelles on mettra A à la place de r, et - — ^os.™ à la place du radical

1 fJL OUI <7tT 1

1/ h r2-\- 2 y r — Æ2; il viendra

Cos 6, = — Cos *zz — — E Cos

^ — $'l(y2Sirilnsr — \2hCos2'tz-) «f, y 0 ^ ^os '3r) i / — —

0 1 O I TX \j , — , - ■ — t~i p » — [/ 1 ~

<f, ySm^r \Zk'h-\-y2 E6i«^

EaCosa,Zër.

Dans le cas de la parabole, E = î , les deux angles 0, et 37 sont supplémentaires.

T • 7 • , dy

La vitesse o,, au point ou -jj = o, est

bt — — ( Cos do V ' h- r3-f- 2 r — A:3 — kSinoî ).

En éliminant le l/ entre cette équation et celle qui donne

dy

-jj — o, il vient = a — rsinû'> ^ans ^aclue^e on remplacera r par ^

et Sinon par Sin 0, — \/ i — E 3 Cos 2 -37, ce qui donne pour la vitesse

à l’origine

b , = a — ^(ESin^z-hy/ 1 — E 2Cos33r). (73)

j 2 ySinmr kSinmr

Dans le cas de E = 1, on a b, = a — —a 7- — .

Les autres constantes que nous employons sont h — a 2 — 2 ab Cos y -+- b 2 j

k — $ (r/ Sin 9 — b Cos oc ) g — [b Cos ce — a Cos 9)

liées entre elles par la relation : g ■=. \/ hè2- 1- 2 // $ — k2 ou h$2-+- 2 fx§=g2-\-k2. Elles deviendront par les changements indiqués :

k, = S, Sin 9, (a — b,) g, = — $ Cos 9, (« — bt ). Ensuite on a k, (k, Sin 9, — g, Cos 9,) — (T, fX Sin 9, fcT, (« — &,)1 — Sin 9, (h, S\ -+- fx) Stn 9,

Sin 72 =

<T, l /kS^-h/j?

| /kSh'-hfx'

kt (fct Cos 9, -+- g, Sin 9.) — cT, ^ Co-fâ, fx Cos 9,

605 ^ = j“jÆ “ “ ü7f^7’

46. Cela posé, nous remplacerons dans nos formules $ par $lf b par bn 9 et ce par 9,, y par o, y par y Sin 9t et x par x -t- y Co s 9 et le tout sera rapporté à un système d’axes obliques faisant l’angle 9,- L’équation (5g) donne ensuite

ySinôt \/kt 2hl-k-fx2 — ( k ,a — /. /.r)Simx = k^Cos 72 \/ hxr2-\r‘i [xr—ky. (74) Élevant au carré, il vient, en ordonnant par rapport à r et en supprimant les accents superflus :

r Xy.’Sin ’vr-k ’hCos V) +2/*r (fSinwSinS, V'k^h+^-k ’) -hr ’ (f* M-fr ^Sin % -2fr ySinsrSin S, v'J^kÏÏi-^k 0

En mettant ici pour 72, k, h leurs valeurs, réduisant et divisant par Sin2 9,, il vient H 3 r H- 2 y. r [y [«T, (a~b, )=-//] - <f, \a~l, ) aj 4- (/« *4-fc %) - 2/, =(«-4, ) ySin ’S, [J1, («-&, ) ’-/<] k ‘ (a-b, ) 1 Jïn’fl, =0.

Cette équation peut se mettre sous la forme \^r-+-y[S',{a — b,y—tx}-C'(a — b,YŸ = «T,* G» *9, (a — £,)’(./ — (« — *,)’]

D’où l’on tire

/xr = (Tia(a iI)2-j[J'J («—*,) = — ± CCosQ, (a -b,) — £ (« — *,)a] (y5)

Celte valeur de r nous fait voir que dans le cas de h<yo, y sera

l — jyi si h = o,

toujours compris entre d, et — ou

y pourra recevoir des valeurs depuis jusqua — co , et enfin si

h )> o, y peut recevoir toute espèce de valeurs excepté celles qui sont

comprises entre S, et <J, +

Pour trouver la valeur de x en fonction de y, cherchons d’abord

r Cos œ ; pour cela 3ans l’équation (60) nous ferons successivement

, . — ; : r, ySin&J[/'k'h-4-fx* — (Je* — fxr)Sinvr

h\/hr -f- 2 jxr h = ^

Sin vr X/fjf-i-teh = [«P, (a — b y — fx] Sin 9, , Cosvr \/ [x*-4-k*h = — /xCosQ, , et il viendra

^ ySin'Q, [<f, (a — by — /x] — (£,2 — fxr)

r Cos « =

Or k^—lxr=y[S',{a—by-y\ — y(a—by Cos’Q, zp <T,CW9, («-&,) !/(<?,— y) [J', (a—, by—, hy\

En substituant et réduisant, il vient

r Cos CO = C^2- k2 (a - b, y-y [«T, (a— dz S'[a~b' y/ (S', -y) [£,{<*- by - hy\

Il ne reste plus maintenant, pour avoir l’équation de la trajectoire, qu a substituer la valeur de r dans les équations qui donnent /, et puis substituer la valeur de t dans l’équation

x — ai H- rCosco — y Cos 9,, ou

X - at-\- ^ Cos 9, («T, —y){a—b,) ± \Z\S~, — y) f<r, (a — by — hy~\ (76)

ix ( )

Trajectoires dérivant de la parabole.

47. Supposons h— o, ce qui donne 2// = (j) ( a — Æ,)a. L’équation (7 6) devient

x = at- h 2 (l —y) CosQ , ± 2 \/\ (<£ — y). (77)

Ensuite l’équation (58) donne

11 (y pt

(Æ, 5-j-/jlr)v/2 fxr—k^—g, [k, ’H-juJ) ) (*, ’+^r) 9, -(*, g, k, Cos vr{k, ’-h/xf, )

3 y 3 y k , Cos vr

. cT, (a — b,)3

Mais pr — -1^— - — —

ai, —y±iCos6, |/i, (S, — y)|

kr=i^=±r.3l Sin26t

SiriTiu — SinOl , Costa? — — Cosô En substituant et réduisant, il vient :

-2} 4 S, Sin ’ 9- j+2^9, [>, Cos B,± \/j) («T; -j) j J («T; Cos 6, d= v/«T, («T, -y)) +2^, 6, (1 -+-2 ^ ’ 6, ^

3cr,(a-è,)

expression qui se réduit à

„ (A— -4-2(j — 4‘fN.) , /TTf Â

/-“2 —mr~ -ÏÏM=K) VI W-r>

En mettant cette valeur de i dans l’équation (77), on a l’équation de la trajectoire

La trajectoire est donc une courbe du troisième degré, qui a pour diamètre des cordes parallèles à l’axe des x, la droite

2i, Cos B, (J", —y)

Ce diamètre sera l’axe des y toutes les fois que l’angle 0, est droit, c’est-à-dire que le rayon vecteur du périhélie est perpendiculaire sur la droite OX; ce sera encore l’axe des y quand la vitesse b , du mobile à l’origine est nulle.

La courbe coupe son diamètre au point y — sur l’axe des y; en-

suite au point y — — . Ce point n appartient a la trajectoire

qu’autant que l’on a ( i4- ^ ^ ^ ^ 0u bt <[ o. Dans ce cas la

courbe aura en ce point un point multiple ou un nœud. Ce sera un point isolé si bt o.

En différentiant l’équation (78), on obtient

ff J 2 b , Cos 6, , U,+a (C —y) dy ~

dy'

a — bt [a — bé)V S,{S,—y)'

2(« — bt)Vt> (<T,— y)*‘

Getie dernière équation montre que si bx > o, il y a des points d inflexion pour y = ^ ; si &, = o, les points d’inflexion se changent

en un point de rebroussement situé sur le diamètre au point y — J, , car alors | =±(/^.

48. Ainsi nous avons ici trois genres de courbes selon les differentes valeurs que l’on attribue à bx. Si bx est très-grand, la trajectoire a deux points d’inflexion pour la même ordonnée; ces points d’abord situés a une très-grande distance au-dessous de l’axe des x, s’en rapprochent peu à peu, à mesure que bx se rapproche de a. Si bx — a, la trajectoire se réduit à une parallèle à l’axe des x; mais dans ce cas la force d’attraction est nulle; le mobile ne doit donc pas quitter la droite sur laquelle il se meut. Si bx < a, la trajectoire s’infléchit de nouveau des deux

côtés du diamètre, et les deux branches se rapprochent d’autant plus

. 2 b, Cos 0, , .

que bx dimiminue et tend vers zéro. Le point x — b .a~ ou le diamètre coupe l’axe des a’, est du côté des x négatifs tant que bx Or si l’angle 9 , est aigu, et du côté des x positifs si cet angle est obtus; le

contraire a lieu si bt a.

Si bx = o, l’équation de la trajectoire est

x 3 VJt

Cette courbe se compose de deux branches convexes vers l’axe des -y, et qui vont se rencontrer sur cette ligne au point y - où elles forment

un rebroussement du premier genre.

Enfin si bx < o, la courbe a un nœud , sans point d inflexion ni de

rebroussement; le point multiple a pour coordonnées

6&,’<r, Cos B,

y = fl 5 * - a [a -K) ;

il est sur l'axe des x, si b, = — f ; il se trouve au-dessus si b, > et au-dessous si b, <- f; U s'eu éloigne d’autant plus que b, s'ap-

proche de — co. Le diamèire coupe l’axe des x toujours du côté des x positifs, si Cos 0, O; se confondant d’abord avec l’axe des y, celte ligne s’incline de plus en plus à mesure que bt augmente en valeur absolue; à la limite, bt= — co, l’équation du diamètre est

x — 2 Cos 0 , (^, — y).

Supposons ô, = it: oo, la trajectoire est, comme nous avons vu, une parabole ; son équation est

•r — 2 Cos 0, (l —y) ± 2 [/^ (l —y) .

Son foyer est l’origine même, et son axe est la droite x= — zCosQ, y. Son sommet a pour coordonnées: y — J, Sin * Qnx = — 2$lCosQl Sin 30,. L’angle 0, est du reste, comme on a déjà vu, le supplément de l’angle que fait l’axe de la parabole avec l’axe des x. Le paramètre de la parabole est 4 Sin 20,. Nous retrouvons donc ici les conclusions que nous avons tirées dans les numéros précédents.

Pour construire la parabole, on n’a qu’à mener, fig. i5 («), l’axe OY' faisant avec OX un angle égal au supplément de 0,; puis on mènera OZ perpendiculaire à OX jusqu’à la rencontre de la tangente en F, OZ sera J, iSm0,.DeZ on abaisse une perpendiculaire sur OY', et on a OA = S, Sin* 9,.

Pour les formes des différentes courbes discutées ci-dessus, voyez la figure (î 5).

49. Quant à la vitesse, nous pouvons la déterminer au moyen des équations (70); on en tire dy

~r — 2 D (Cos 7zr — u Sin 73)

du

dx

dt

du — a du — 2 ® (M Cos 73 -h Sin ,2«r) > d’où

dt Ü1/2D.

Tu = — ('+“)

dy V'lp ( Co s rre — u Sin rts)

dt ~ K D (1

dx ^ K2 /x(uCos rsr-^-Sin ^nr)

dt

OU

v — d (i -t- «’) i/o (i h- «q (u C°s ■+■ &n w) «3; u étant égal à iang'- (<y — 73), ou tel que D (1 -f- u2) — r; V 2 — a 2 — j- " (jA—-aJcSin ur) ‘lu. ah Cos

mais — Sin(u> — w),

par suite

„•= a‘+ ai<)S12' [, + to(,-,)]

— 2 Cosa^(co — 7ü-) — i 4- Cos ((w “ar),

« Æ Co^ /jër

5ïn (û> — ot). (8 1 )

, , 2^ 2 ^ Dans le cas de la parabole, a = o, et on a î? — jwj— — j — — .

la vitesse dans la parabole est donc en raison inverse de la racine carrée

de la distance; elle est maximum au périhélie, et elle décroît jusqu’à zéro.

Pour connaître le maximum ou le minimum de la vitesse dans les

autres trajectoires, différentions l’équation (8i), il vient

vdv a h Sin <sr — /a 0. , a k Cos qs -, . \