Sin (<y — VT) f. Cos — 'ST

En égalant à zéro cette expression, on obtient la formule

ah Cos qs

lang (a — nr) =■ -r~êv~ 1

n \ ' akomqff — /a

qui donne les directions dans lesquelles la vitesse est la plus grande ou la plus petite possible; elle montre qu’il y a une direction pour laquelle la vitesse est un maximum, et une autre, directement opposée, pour laquelle la vitesse est un minimum :

ah Cos qff

i.° Quand on a Sin (a» — -zzr) = —

Cos (fi

-sr — H

\/ [a 2 — 2 ju a h Sin qp -+- a7 h’

— ah Sin u . ,

= , il vient

l /id.

et

f» » , Z*' v — ci H

-ah Sin qp — t— ^ 2 — ‘la h Sm q& -4- a’’ h7

qui est la vitesse maximum; le rayon vecteur correspondant est

/a — ah Sin q& •

14 îd.

2.° Quand l’angle (® — *r) est égal au précédent augmenté ou diminué de deux angles droits, la vitesse est un minimum, sa valeur est donnée par IA — ah Sin q& — \/ /a2 — 2 ah Sin q& H- d1 h7

Au périhélie, c’est-à-dire quand & = le carré de la vitesse est égal

» 2 (ia — — (lh Sin -, . I a II a

a a -\ — ^ -, valeur comprise entre v et v .

Quand l’angle &> tend vers une de ses limites, -zü -f- 71, ou -ar — 7 r, la valeur de v se rapproche de a.

Ainsi, en regardant les différentes vitesses comme ordonnées d’une courbe dont les abscisses croîtraient proportionnellement au temps, cette courbe aurait une asymptote parallèle à l’axe des abscisses séparée par une ordonnée égale a a; elle s’étendrait au-dessus et au-dessous de cette ligne des distances v1 etv".

La vitesse ne peut être nulle que quand on a u — oc , ou r = ce , ce qui a lieu dans la parabole, ou quand on a

D«a(i -f-Ma) H- 2{fjL — ak Sinrsr) — 2 u. ak Costs — o, d'où l’on tire pour u une valeur réelle dans le seul cas de 2[xSin'zx — uk — o, c’est-à-dire b, — o; or dans ce cas les circonstances du maximum sont

Sin (1» — - 7z) — — Sin 2 “sr ) ,

> d ou où — — "ar Co s ( ûù — 'ZS )— Co s 2 ■ST )

v'* = aa- h- £ Cosavr = a"

-JT Sin '&> H — r— , d ou v —

k kr k oui '

1 —f— CoS 2 <7tT CoS 3 rÇu ^

et les circonstances du minimum sont

Sin (où — ’zs) — Sin 2 1 s Cos ( où — us) — — Cos 2 72

ensuite v — 0 ,—a — Sin 2-07 — 0 ■ r— t- — o,-

k 7 oin 2 <w

Dans ce cas particulier, la vitesse, nulle au point de rebroussement, augmente donc continuellement et se rapproche de , valeur qu’elle n’atteint qu’à l’infini.

Où

Trajectoires dérivant de l'ellipse.

50. Dans le cas de h <^o, c’est l’équation (56) qui nous donne la valeur de t. Pour déterminer la constante r , faisons-y t — o, r — |/— h* 1 r*-\- 2 fxr — k* = g, , ce qui donne g.

fx s. fX — ti S',

r — — ^7= arc Cos ,

r h' k'y/h' Vix-’ — k-K

et la valeur de t sera

j v/ ^ r ^ tare Cos -^7

■ h' r „ ix — A J',

— — arc Los — .

y/ fx'—k’h' y fx’—k'h

Appelons /3 et a les deux arcs qui entrent dans celte formule, on aura ^ / r\ n (/*-W.)(/*“A'r)-% l/-Ar- + 2/*r-i*

Cos (3— g) -fTITTT •

Faisons maintenant

^ 7 — — — — ySinQ, ( [X ’■ — A3 A') — (A3 — fxr) Sinüt ( [X — A (T,)

l/— hr'-\-ï[xr — k = '*

ainsi que les autres substitutions nécessaires, il vient successivement

jx (/x — A'C )(/x — AV)h- A'[j(/x’— A*A') — (A’— /xr) (jx—A'Oj

Cos (3 s) = yU,(/x’ — A7 A')

Cos (3 — g) = — ou 3 — g = arc Cos .

Ensuite

y^-^h^-^-^ifx-h^-^a—KYCos^, fx ^ ^ /x— A'(J,-j)

Mettons pour /P — /xr sa valeur calculée précédemment, il vient pour le premier terme de t : j

h' y ( — A'Jp-t-S — A’)— A'cT, \a—b,y Cos’S, ± S, ( a—b,)Cos 6,{fx— A'J;) (tf,— A,pj

A'cf, /x (« — A,) GW 0,

En effectuant toutes les réductions, on aura finalement

-h'I {a-b,)CosUS',-y)±{lx-hi\)\/ Y+h’y\ /X arc c. :ix-hy,-y) ^

1 — h!» 4 Al/*' IX K

Substituons cette valeur de / dans l’équation (Jt6), nous aurons P équation de la trajectoire

X—-^-^-^rcCos=^~-~~-^ — } b' (a~b- w r)jA^(4fJ^j(83)

51. Le premier terme de cette équation nous fait voir : i.° que

fx — h! (tT, — y) . A . , , , . r,

— doit etre compris entre -f- 1 et — 1 , de la y <( d, , et

yj> S, — Ouj^> — ^ h' ^ ’ ce clue montre ^u reste aussi le radical

du dernier terme; 2 .° que x croît indéfiniment et que les mêmes valeurs de y reviennent périodiquement , et enfin que l’abscisse d’une période

2u7TO , 1 . . 1 • m 2fX7T , .

est x — jTÿ-, > et le temps employé a la parcourir 1 — ; cest la

durée d’une révolution du mobile dans l’ellipse, le centre d’attraction étant fixe. La trajectoire dans le cas de h' <^o est donc une courbe indéfinie dans le sens des x, limitée dans celui des y , composée d’arcs superposables et décrits tous dans des temps égaux.

Un arc donné par son cosinus ayant deux valeurs dans une période d’une circonférence, il faut voir laquelle de ces deux valeurs il faut prendre pour le premier terme de l’équation (83) avec le signe 4- du

• • dx

radical, et laquelle avec le signe — . Pour cela nous chercherons — , directement avec et puis au moyen de l’équation (83), et nous

comparerons les deux résultats ; pour plus de simplicité nous supposerons b , = «, ce qui donne le = o, h1 = ^ , Sin ts — — Sin 9, ,

CoS “ST = CoS 9 .

Or l’équation (74) donne pour ces hypothèses

. , dy dr \/ — AV1 +2ur \/ — h' r1 -+- 2 uy

= r, d ou -y- — — = — = —

dt dt r y

dx

et l’équation (76) donne x~at, d’où -7- — a ; il vient donc pour ce cas :

dx

dy

ay

dt

a\/ cT,

L’équation (83), pour les mêmes hypothèses, donne

aVJ.

^ 2j — <T, — arc Los — r — hVh'

Différentions, il vient

dx 2 a fx a \S <T, — 2 \y

dy~^ h! \/H v/cT2 — (2j Jxi)2 l/ V 2V/>(JN.— J) ’

Ici le signe supérieur — du premier terme provient de la plus petite valeur de Y arc Cos, le signe inférieur -f- de l’autre valeur; pour le second terme, on a maintenu l’ordre des signes; en réduisant, il vient :

dx cT. aVC (T, — 2y 2t/2^|zp(<r, — 2j):+:jy|

dy ~ 2t/v ' Vy(tt -y) 2 VTp Vycs.—y) ~~ a vT, ( V y — jr) r

Cette expression devant être égale à a [/Jj ^ , ^ ^aut tîue s en

aille au numérateur, il faut donc prendre le signe supérieur de l’un des termes avec le signe inférieur de l’autre. Ainsi c’est le signe — du radical qui devra être pris avec la première valeur de arc Cos, dans la valeur de x, et le signe -4- avec la seconde.

52. Cherchons maintenant en général les coefficients différentiels

cL oc d ^ oc

— , -i — , au moyen de l’équation (83), en nous rappelant qu’avec

dy dy 2

., il faudra mettre

d.arc Cos

dy ' dy

Pour abréger, posons bt ( a — b,)2 H- /u (a — 2 b,) = M; la différentielle du premier terme de x est

« 1 ± a fj.

b'l^^.-y)[b'y-h^-by]

et celle du dernier terme :

2 K y l / (c), — y) \h' /x- 1- «T, (ffl — ) ’] h' fx \/ id.

les deux doubles signes s’accordant, on peut réunir ces deux termes, et l’on a

dx b, S\ {a — b,) Cos Ôi ^ M [/x — tT, (a — b ,)* — h'y] -4- afx*

dy ~ + fx h',x \/ (S, —y) [h'y-+-é\ ( a—b,ÿ ]'

Le numérateur du dernier terme devient successivement :

(a y— h'^b') — <T,(a — £,)’ } -Jt-ay'‘ — Wi'jr = (a y. — h' S, b,) (h' S, — y^ay1 — Nh'y=

h' { 4 y (a + b, ) — A'<r, = [j; (a — 6, ) + p] — My j .

Il vient donc enfin

(a — bt) Cos 8, (T, (a — — &,)-(- /a} — («/* — KW,)?

dy

cL X

Cette équation fait voir que ; oo pour y = S, et pour y— h, }

dx <T,(a — £,)

rr= h~

excepté dans certains cas particuliers que nous allons examiner.

Pour que ^ se présente sous la forme ^ avec y = ^, il faut que

l’on ait ^I(a—bl)^,b,{a—bl)-\-fj^ — {ap — h'<$,b,)h — o ou = o , ou bien b, = o.

Or si b , = o, on a

dx

dy

a\ / S', — y \Zh!y-yS'xa^

et si on fait ici y — on trouve ~ O, car 4'^ -h $ a* = 2 p. Donc: i.° Lorsque b, = o, la courbe a, aux points y =. <£, ses tangentes

parallèles à l’axe des y : elle y présente un point de rebroussement.

Pour que ^ = -jj- au point y — — ^ , il faut la condition

h! ( a — b,) bt (a — b,) -+- p~] H- (a p — h' J, b,) (a — b ,)2 = o, qui peut s’écrire S, p (« — b, ) j h! -+- a {a — b, ) j = o.

Elle peut être satisfaite de deux manières : en posant b, — a-, dans ce

* = T ]/^aTC Cos ^ïr ±a^èï

Cette courbe a la forme d’une cycloïde rapportée à sa base; l’ordonnée minimum est nulle, c’est un point de rebroussement.

cas on a

et

On peut encore poser h' -\-a(a — bt) = o ou 2ju-f- £,)=oj

alors le numérateur du second terme de devient

dy

7<?« {a—bt)\l (a — A,) — »/) , et le second facteur du radical

En supprimant les facteurs communs aux deux termes des fractions’ qui composent la valeur de ^ , il vient

P=-aco,t.±y£i—K)-*-

Ainsi, dans le cas de h) -+-«(« — b^) — o ou 2^ — — (a — Æ,)^, la tangente aux points y — — d - est encore paral-

lèle à l’axe des y. Comme cette valeur de y est négative, on a bx a pour ce genre de courbes.

Nous pouvons séparer dès à présent trois cas particuliers : i.° bx — o; la courbe présente un point de rebroussement aux ordonnées maxima y — ■

2.0 b, = a-, il y a des points de rebroussement sur l’axe des x.

5.° h! -h a {a — b,) = o ou 2 p = b, St (1 b , — la courbe a un

point de rebroussement aux points minima y — — .

Ces trois cas sont les seuls où la tangente aux points maxima ou minima n’est pas parallèle à l’axe des x.

cL ^ oc