Passons au y—i . Nous poserons encore
M = a/x — h' iï, b, — J, b, (o — bt )2 -h p (a — 2 bx) et N = J, ( a — b,) {£ b, (a — b()-\- /x\, et nous aurons à différentiel-
Il vient :
— M kV, — 7) j H-J1, (« — &,)’} — (N — Mj)
h'S\ — cT, (a— i,)*2A> 2 |/ id. ~
dy * A* Pi—, y) l Â>-t- <T, (a — ) * j
= - M (<T, -j) [A>-kT, (« - *,)’ 1 - (N - M J) { y, — (T, (a - *,) ’ A>}
p i^—yV { A>-+-«r, (a— M’iT*
Au numérateur, le coefficient de y2 est nul; celui de y est :
4- M $ [(a-^)a-A']-+-M {p-SXa-b.y} H- N h' ou bien M jj, (a, — b,)3 — /x j H- N A', expression qui se réduit à -+- a p3-,
et le terme indépendant — M<ji3(a — b,)3 — N \p — S, (a — £,)2|, ou - (M l - N) 4 {a - b,)3 - N/lc,
qui devient successivement p^fbfa — b,)3 — I\J = — p3$t(a — £,). Donc on a
dr \/V.-y)s\h'y-+t,{a-b,yy ^ )
Si nous égalons à zéro le numérateur de cette expression, nous aurons l’ordonnée des points d’inflexion, s’il y en a:
Cette valeur devra être comprise entre les valeurs extrêmes de y; il faut donc
i. <4 ou è, > o;
Si b , a, cette condition se réduit à
h! -f- a {a — bx ) <( o ou i,>aH .
Si b , < «, elle donne b, <fa - h -, condition renfermée dans b \ < a.
Les courbes représentées par l’équation (83) auront donc des points d inflexion, si est compris entre o et a, et entre a H — et l’infini.
54. Voici donc ce que nous pouvons dire de général sur les diverses formes de la trajectoire dans le cas de — h — K > o.
Les courbes sont composées de branches superposables qui se répètent
périodiquement; l’arc d’une période a pour abscisse •
Si l’on donne à a une valeur déterminée, positive, tant que bl <o, il n’y a pas de points d’inflexion, ni de points de rebroussements; les courbes auront des points multiples ou des nœuds. Voy. fig. 1 6 (a), (b).
Si bt = o il y a des points de rebroussement au-dessus de l’axe des x, aux points j = <J,. Voy. fig. 16 (c).
Si b , est compris entre o et a, il y a des points d’inflexion situés
au-dessus de l’axe des X] leur ordonnée est Voy. fig. 16 (d).
Si b, = a, la courbe ne s’étend pas au-dessous de l’axe des x; elle a des points de rebroussement sur cette ligne. Dans ce cas les deux mobiles se meuvent de manière à rester toujours sur une droite parallèle à l’axe des y; cary = r. Voy. fig. 16 (y).
Si b, est compris entre a et « -h il y a des nœuds tournés en sens
contraire de ceux qui ont lieu pour b, < o. Fig. t6 (/).
Si b, — a — i — — , la courbe a des points de rebroussement aux points où l’ordonnée est minima,y = — — — . Fig. 16 ( g ).
Si bt ]> , on a encore des points d’inflexion, mais situés au-
dessous de l’axe des x. Fig. 16 ( h ).
On a ces différentes courbes selon le rapport des valeurs qu’on sup-
pose à b, et à a. La valeur particulière bt — a- f- — varie avec celle de a ,
et les intervalles, ci-dessus indiqués, dans lesquels la trajectoire affecte ces différentes formes, varient également avec a. On peut regarder a et b, comme des coordonnées; soit (fig. 17) OA, l’axe sur lequel se comptent les valeurs de a et OB l’axe des bt. Menons OC inclinée à 4 5° sur les
deux axes; la droite OA aura pour équation bt — o; la droite OC pour équation A, —a , et OB sera la droite dont l’équation est a=oou A, — co. h'
La valeur b, = a -f- — représente une hyperbole dont les asymptotes sont les droites a — o , b, = a, c’est-à-dire les droites OB, OC. Puisque
h! — — (a — A,)*, l’équation de cette hyperbole résolue par rapport
à b, est b, — % — y -h • Cela posé, considérons une valeur quelconque de a, par exemple a — OK; cela revient à considérer la droite GN parallèle à BfOB. Sur la partie GK, b , <o, et on a les courbes du premier genre, fig. 16 ( a ), (A); sur la portion KL, A, > o et < a, on a
des points d’inflexion, fig. i6 (d). Sur LM, b, a et <7 a H- — , on
a les nœuds, fig. 16 (f)-, enfin sur MN, A, > a h- on a des points d’inflexion, fig. 16 (A).
Si la valeur de a diminue, les intervalles KL et MN dans lesquels on a des points d’inflexion, deviennent plus petits, et ceux où l’on a des nœuds deviennent plus grands. Les nœuds se rapprochent les uns des autres et prennent de plus en plus d’étendue dans le sens de la largeur, comme on l’a déjà vu dans le cas de l’attraction en raison directe des distances, chap. II, §. 5. Enfin, si a tend vers zéro, la trajectoire n’affecte plus la forme des courbes à points d’inflexion, on n’obtient plus que des courbes à points multiples qui, à la limite, se transforment en une ellipse.
55. Cas du rayon vecteur constant. Cherchons encore ici les conditions nécessaires pour que les deux mobiles soient toujours également distants, ou que la trajectoire soit une cycloïde. Pour cela dans l'équation (74) '
y(/x2-i-k2fi)=(k*— p.r)(Jiiïl-\-iJL) — ^pCosQ.ia- b>) |/ hr*-\- ip.r—k*\ égalons à zéro le coefficient de y, ce qui donnera pour r une valeur constante. La condition qu’on en lire est
et l’équation précédente devient avec cette hypothèse
(ka—fxr) — — — o,
ou (Æs— jxr) j(Æ2— /x^) — ^ {a — b,) Cos9t. Æ\/ZrïJ — o,
La condition k2 h — o donne
fx2-h Sin2 9, (a — £,)*[<£ {a — b,)2— 2 /x] — O, ou y.2 Cos2 9 , H- [<5j ( a — bt )2 — fj.\ 2 Sin39t = o.
Cette somme de deux carrés ne peut être nulle qu’autant que l’on a :
