fx — è. (a — b,)2 ou hl — [a — b,)2 ou fx—h
Si — $ » la valeur de r devient r — 9, ■
Avec ces hypothèses l’équation (83) de la trajectoire devient
arc
Cosfqzl/l2-y<
et l’équation différentielle (84) devient
dx a S', — ( 'a — bt ) y
Cela posé, si b, — o, on a ~ ' = j/j
, équation différentielle d’une
cycloïde ordinaire , ayant son sommet au-dessus de l’axe des x, sa concavité tournée du côté des y négatifs.
Si b , = 2 a, ht — a% et on en est au cas de bt — a l’équation différentielle est = j/ ~^?y ’ c est encore une cycloïde ordinaire , ayant
sa concavité tournée du côté des y positifs, son sommet étant au-dessous de l’axe des x.
Si avec les hypothèses 9, = ^ , [x = $ (a — b,)2, on a b, <( o, ou bien b, ^ les trajectoires sont des cycloides à nœud, engendrées par
un point extérieur au cercle générateur ou des cycloïdes rallongées ; et
si ^ ou bien b, 2 a, on a des cycloides engendrées par un point
intérieur au cercle générateur ou des cycloïdes raccourcies.
Nous ne supposons pas ici le cas de bt = a, car alors p = o, ou la force d’attraction est nulle. Mais si nous considérons les équations qui conviennent à ce cas, et qui sont
et les équations (85),
x — at, a = Gt
nous voyons par les premières que les deux mobiles se meuvent de manière à rester toujours sur une droite parallèle à l’axe des y, qui s’avan-
d’un mouvement uniforme; ensuite l’équation ^ j/
cerait
montre que la trajectoire sera une cycloïde rapportée à sa base toutes les fois que le coefficient sera égal à l’unité, ou que a2 S, = 2 p. Ce
mouvement considéré par rapport au point attirant seulement, consisterait en oscillations dans une ellipse infiniment aplatie : le mobile, parvenu au foyer, revient au point d’où il e'tait parti.
56. Dans le cas de a — o, c’est-à-dire dans le cas où l’on suppose le mobile attirant fixe, l’équation (83) devient, en y supprimant les indices :
b’ Cos 6 («T — y)
ou
* = { b Cos 6 (S— y) ± (A'ÿ -4- W) | <,87)
qui est celle d’une ellipse rapportée à son foyer (41)- Mais ne le sachant pas, voici comment nous parviendrons à connaître tous les éléments de cette ellipse.
Cherchons d’abord les coordonnées du centre; pour cela nous mettrons l’équation (87) sous la forme suivante :
\px — b2$CosÔ(8— /)ja=(H>’{— k'y2+2y(p — b3$)-t-S*b\ •
Égalons à zéro les dérivées de cette équation par rapport à x et par rapport à y, nous aurons
( px -h Cos9(ü—y) — o \ h 'y — /-t b2 $ — o d’où l’on tire les coordonnées du centre
ix — &“<r b* (T Cos ô
Pour construire ces expressions, prenons (fig. 18) sur l’axe des y
OA = S, OD =: AC = ^ , on aura CO = AD = ,X ^ ^ Ainsi ,
en menant la droite CI parallèle à OX, cette droite contiendra le centre. Du point D abaissons la perpendiculaire DI sur CI, on aura b* £
CI = CD Cos 9 — -jr Cos 9; I sera donc le centre de l’ellipse.
La droite AI sera le diamètre des cordes parallèles à OX, et dont
l’équation est.r = — Cos 9 ( o — /); ainsi l’angle AIC = et est celui de A*
deux diamètres conjugués, et pour avoir son expression, on a le triangle AIC qui donne
AC Sin a,
Sin CAI ’
or CAI = 7i — oc — 9 j donc
h' Sin a,
«fi* Cos ô h' Sin (ce -+- 6) ’
d’où l’on tire
t __ /x Sin 6 1 c , [xSin 9
iangot— ^^Cosù ou Ain ce — ^ ^ S{n , ô ^ ^ ^ , Cos^ '
En appelant A et B les deux demi-axes de l’ellipse, et A1 et B' les demi-diamètres conjugués dont l’angle est et, on a
, , [• On déduit de là (A + B)2=:A,i+B,:1+2A,B,iSVna.
A B Am et — AB )
AI /xA' Sinù , , fx Sin 8 y / ^ Sin- 8 -+■ {H* — p)'G»Tï
UrAC h' ~ Sin U° ° — h' Sin**
Pour trouver l’autre diamètre conjugué B' nous n’avons qu’à faire
, n. ix— &$- .. . b’S'CosQ . S'b
dans 1 équation de 1 ellipse y — - — -y, — ; il vient x — — ^ — zn — et
la valeur du second diamètre conjugué est moins l’abscisse
Vh'
du centre; ainsi B
Sb
Vü'
En substituant ces valeurs de A' et B' dans l’équation précédente, ou
(A-hB)» = A' s-f B' M- -B^~- ,
il vient
/a i>\9 /x* — I — («f'2 — 2^u. S'b2) Cos1 9 -4- J'2 b* h' -4- 2yU. S'b Sin 0 [/ h1
(A -h B)2 jr,
/. i/i’-b-h rb-Sm'6 + *urt&tbSml
Extrayant la racine carrée, il vient enfin
A , ^ y.-hV'ti.S'bSinQ
