AH-B

On trouverait par un calcul semblable

A D fx — l /h’.S'bSinQ

Donc

A /x 1? bS'Sinü h

Pour l’excentricité, nous aurons

A, fi'G&B-t-QuP— <2/jt.b*S'~hbiS'')Sm*6

ou

l/A2 — Ba = |/ (g Cwfl)* 4-

Cela posé, en joignant le centre I avec le milieu L de OA, et en prolongeant cette ligne jusqu’en K, où elle rencontre la tangente en A, cette ligne IK sera égale à CA, égale au demi grand axe de l’ellipse. Le point R est donc un point de la circonférence, lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes; donc le foyer se

trouve sur la droite KO. Or on a OR = ^Cos0,SOouRI = ^ Sin ô;

donc 01 est l’excentricité l/ÔR2 -h RÏa. L’origine O est donc le foyer de l’ellipse; en prenant sur 01 la distance IB = IK, on aura le grand axe en position.

Pour construire l’ellipse (87), voici donc les constructions qu’il faudra faire. On prend OA égal à la distance donnée J. De O on abaisse la perpendiculaire O K sur la tangente AK parallèle à OX; on joint le point K avec le milieu de OA et on prend Kl égal à

la donnée le point I sera le centre. On joint 01 et on porte sur

cette ligne la distance IB = IK; ce qui donne le sommet. Si l’on veut construire le petit axe, on élève en I une perpendiculaire, et de O comme centre avec OD ou IB pour rayon, on décrit un arc de cercle qui la coupe en M; IM sera le petit axe.

Dans le cas particulier de ou h — l’ellipse a pour grand

axe l’axe des x lui-même; le point A est alors le sommet du petit axe.

57. La vitesse, dans le cas de l’ellipse, se détermine au moyen de l’équation (4), qui donne :

dx(-ydy( 2u L. /2 1\

— =v-A =Kr-Â>

La vitesse est donc la plus grande possible au périhélie, et la plus petite à l’aphélie.

Pour avoir la vitesse en général, nous nous servirons des équations (64) et (63) ; nous en tirons

— Sin rm Sin u H- V 1 - E 2Cos Cos u dx Cos -E3. Sin<zs-Cosu

/A. y dt

(1— ECosu)

(/— (1 — ECosu)

V fx

d’où

2 aV p (Cos ras Sin u -4- l/l -Ea. Sin >rs Cos

/x (1 -t-E Cosu)

Ca \ 1 — E Co s u )

Pour trouver les maxima et minima de la vitesse, nous avons l’équation :

■vdv a V~Âÿ. { Cos Cos u — 1/1 - E *. Sin rts Sin u — E Cos J H- [X E Sin u

~dt ~ A(l— E Cosuy

Cette équation n’admet que deux valeurs pour Sin u ou Cos n; pour la résoudre, on n’a qu’à poser

aV X y . l/l-E *Sint& — fx E a V X y. Cos <ar

et il vient Sin (4/ — u) =■ E S in \Jy.

Connaissant par cette équation la valeur de u qui convient aux maxima ou minima de la vitesse, l’équation (63) donne la valeur correspondante de t , ou les équations (64) celles de y et de x.

58. On pourra appliquer ce qui a été' dit dans ce chapitre au mouvement des planètes et des comètes. Leur mouvement s’effectue autour du soleil dans des ellipses ou des paraboles, d’après la loi que nous avons supposée : de plus, le soleil n’est pas fixe; il est entraîné dans l’espace avec une certaine vitesse, ainsi que tout son système planétaire. En supposant cette vitesse rectiligne et uniforme, dirigée dans le plan de l’orbite planétaire, le mouvement des planètes et des comètes rentrerait dans ceux que nous venons d’examiner, et leurs orbites seraient des courbes de la forme de celles représentées fig. i5 et 16. On pourrait de plus étendre ces vues au mouvement des satellites, en regardant comme une ligne droite l’arc décrit par la planète pendant un petit nombre de révolutions du satellite, et négligeant l’inclinaison des deux orbites.

Cas de l’hyperbole, h )> o.

59. La méthode que nous avons suivie dans le cas de la Parabole et de l’Ellipse offre quelques difficultés quand on veut l’appliquer au cas de l’hyperbole. D’abord nous avons vu, n.° 45, que la simplification employée jusqu’ici n’était pas possible dans tous les cas. En laissant donc les équations comme elles sont, et déterminant la valeur de t dans l’équation (57), l’expression de t devient :

yw.-4-Âr-f- {/h I / h, r' -Ï-'I [xr — k* fx -t- h J' -4 -g h

L’équation (73) donne ensuite

\Zhr*-\-1 fxr — k 3 y\Z/c7 h^t- [x2 — (ÆJ — fxr)Sinvr

t — \ /hr-’-hlfxr — k' — g [X

log

k Co s rrs

et en eievant au carré et résolvant par rapport a r :

lj,(ySin*T\/k’h^r[ji* — k’)±kCos*rV/ fji,-+-k’h\/ hy’—îy Sin^j/ f ’ " k1 h Cos 2 <ar — fx 2 S in 1 <sr

Ensuite on a l’équation (6o), qui peut s’écrire

^ k 2 — fxr — y l/fjf-b'k'h

r Cos où = — , . '== .

Cos \f k* h — [j?

IL faut ici, ainsi que dans la valeur de t ci-dessus, remplacer r par sa valeur, équation (88), et substituer les résultats dans l’équation

x = at-\- r Cos a).

On obtiendra ainsi une équation entre x et y, qui sera celle de la trajectoire; elle sera de la forme

rrrA-^By±:Gl/Aÿ2^2Lj+/t2--^7-%jM4-Nr±Pl/^J — 2Ly-hA:j,(89)

A , B , C , M , N , P étant des quantités constantes , L du reste — S in 'sr \/ f*s -+• k3 h.

On pourra, par des changements de coordonnées, simplifier cette équation jusqu’en un certain point, mais il restera toujours un radical du second degré sous le signe log, ainsi qu’au dehors de ce signe, sauf les cas particuliers. Cependant, telle quelle est, elle nous fait déjà voir que la courbe n’est pas périodique, et que pour une valeur de y on a tout au plus deux valeurs de X; ensuite y devra toujours être tel

que l’on ait _____

h y — 2 y S in 'srV^ k3 h -h jU 2 -+■ k ^>0, condition qui donne une seule limite pour y dans le cas de

Sin*‘sr(kah-hp*) — M’>0, ou pSin’w — k2 h Co5’ar> o, et aucune si cette quantité est négative. Ainsi, dans le premier cas il y aura une tangente parallèle à l’axe des x, au-dessous ou au-dessus de laquelle la courbe est comprise tout entière, et dans le second cas, la courbe s’étendra indéfiniment au-dessus et au-dessous de l’axe des x.

60. On pourra aussi se servir des formules du n.° 43, pour discutei la trajectoire, et prendre pour origine des temps l’instant du périhélie, c'est-à-dire le moment où la distance des deux mobiles est un minimum;

alors T' = o. Les constantes A et E peuvent être supposées connues au moyen de la vitesse et de la position initiales des deux mobiles; car au périhélie on a

dr a — M -t- l/* A4,1 ~ I H k2 h

il — o,— = o, r ou è, = — = — /

Ensuite pour avoir la vitesse au périhélie, ainsi que l’angle que sa direction fait avec l’axe des i, on a les équations

dt r

dx,

dT

— A Cos -

—H A [/ E1 — 1 .Sin rjff

dt

A «r g -4- A |/E» 1XW J

Al/A(EeU-+-e~

Faisons-y u = o, r — A (E — î), il vient successivement

^ f 2al/yw,A(E1 — 1). Sinqff-\-y,{E~\-\)

Ùr~a + A(E— 1) ’

(-.) =t,C*Sy\

\ dj0 A.(E — i) (d’où Tangy,=-

On a d’un autre côté 'di

V' y (E-+-1). Cos

a^A (E — 1) Ata t "

(^y^) = è, Cos oc, — a Cos 'zzr — o, d’où Cos et, — y Cos te •

on aurait aussi pu en déduire l’angle «y, . Cette dernière équation montre que l’angle que fait le rayon du périhélie avec la direction de la

vitesse, n’est droit que lorsque te — c’est-à-dire que lorsque l’angle

du périhélie l’est aussi.

Les équations (67) se simplifieraient, si l’on prenait pour axe des y

le rayon vecteur du périhélie; l’angle des axes serait alors <ar, et il faudrait remplacer y par y Sin «sr, x par x -+- y Cos is : on aurait alors

Al/A f Ee“— \

x — al

A l/Ea — 1 e1 — e

Sin

nr

-A(E g!±^) -Al/1E—