bCosce — aCosô =o (a

Voyons les conclusions que l’on peut tirer de là. En éliminant a entre ces deux équations, on obtient

b\Cos2ce — 2 Cos2 ce Cos2 0—^2 Cos ce S in 9 Sin ce. Cos 9 + Cos2 9)=$2/a Cos2 9 ou b2 Sin2 y —S2 p Cos 2 9- On tire de là:

\/ Sin * -y S~* y. Sin 1 0 = è\Z/x (26)

La première condition peut s’écrire

{b Sin ce — aSin9)2 H- {b Cos ce — a Cos 9 )2 — S2 fjij elle se réduit donc à ( bSinoe — aSin9)2 — S2 p.

Or la valeur de b, devient, en vertu de l’équation (26) seule, bt =a-+-(b Sin ce — a Sin 9)

et comme nous supposons b , toujours plus grand que«, bSince — aSin 9 sera positif ; on aura donc

bSinct — aSin9 = S\/p, (27)

et b, — a — S v//z- (28)

L’équation (25) donne encore b Cos y — a — — bSiny. — .

' Cos ô

Au moyen de ces différentes équations, la valeur de tang 9, devient . f, CosQ TT

tang - SÙ,t^C^6-bSh,.y) = 50 ’ donc =ï’ et les équations (20) deviennent

(29) j y = SCosti/p

( x — at-+- èSint\/ y,, les axes étant rectangulaires.

Or, si l’on cherche la courbe engendrée par un point lié d’une manière invariable avec un cercle qui roule, sans glisser, sur une droite

indéfinie, on arrive à des équations identiques avec les précédentes. En effet soit, fig. 3, A le point générateur, BG la droite indéfinie, sur laquelle roule le cercle OB. Le centre O décrira la droite OX, que nous prendrons pour axe des x; l’axe des y sera la perpendiculaire OA. Soit D le point de contact du cercle avec BG, quand le point B est arrivé en N; menons le rayon NC et prenons CM = OA=J. Le point M appartiendra à la courbe cherchée. En désignant par (p l’angle DCN = KCM et par R le rayon du cercle, on a

y = MP = CM Cos (p , x — OP = BD -h CM Sin Ç ,

ou y — $ Cos (p

x — R<£) -(- $Sin Cf).

Ces équations sont les mêmes, que le point décrivant soit sur la circonférence, dans l’intérieur ou au dehors, seulement dans le premier cas S = R, dans le second J<(R, dans le troisième cî)>R. Si donc on suppose que le cercle roule d’un mouvement uniforme, ou que l’angle (p croisse proportionnellement au temps, les équations précédentes deviennent identiques avec les équations (29), en posant <p = /v/jü5 R = fh.

les équations (29) représentent donc une cycloïde ordinaire , si — a, ou si b, — 2a, vu que bl — a — iïy/Jî ; une cycloïde raccourcie , si S'\Z^t.<Ca, ou si b , <C^a; et une cycloïde rallongée , si Sy/jl^a, ou si b, ]> 2a.

Si l’on introduit dans l’équation (14) les hypothèses précédentes, équations (25) et (27), il vient:

icmg (&> — 9 ) = — iang t \/^, d’ou l’on tire œ — 9 -f- n7t — t v/ÿü;

ou si l’on compte le temps à partir du moment où le mobile se trouve au sommet de sa trajectoire, où l’on a 9 = 9, — il vient

u — — ty/p-

L’angle œ que fait le rayon vecteur avec l’axe des x, décroît donc proportionnellement au temps. La formule précédente peut se vérifier

sur la figure (3), car l’angle MCP = œ est le complément de l’angle MCK — <p ~t y/^ , donc a> = ^ — t y/f.

On peut, d’après ce qui précède, trouver à chaque instant la position correspondante des deux mobiles par la construction suivante. On prendra sur la ligne indéfinie OX la distance OC égale à la longueur représentée par at; on mènera les deux parallèles BG, FL à OX, éloignées de cette

ligne d’une distance égale à — , et par le point Cia perpendiculaire KD

sur KD, comme diamètre, on décrira une circonférence, et à partir du point D, on prendra l’arc DN = OC, ou à partir du point K, l’arc KS = OC, on joindra NC, ou CS, et sur cette ligne on portera la distance CM — J. Les points C, M seront les deux positions correspondantes des deux mobiles.