Cas particulier. Sinussoïde

Si l’on fait b, — a, les équations de la trajectoire deviennent

y = è, Co s t\Z/x

ou y —, S, Cos

x = at

Ce sont les équations de la courbe appelée sinussoïde.

Si l’on compare les équations (3o) aux équations de la trajectoire du premier mobile, et qui sont y = o, x = «/, on voit que pour une même valeur de /, les abscisses sont égales ; donc les deux mobiles sont toujours situés sur une droite qui se meut parallèlement à Taxe des y. En sorte que, si le premier mobile était fixe, on aurait b, — a = o; le second mobile serait donc placé avec une vitesse nulle à une distance S, du premier, et ferait de part et d’autre de ce point fixe une série d’oscillations isochrones sur la droite qui joint les deux positions; la durée d’une demi-oscillation, soit ascendante, soit descendante, serait

ih-

On peut arriver aux mêmes conclusions de plusieurs autres manières. L’hypothèse b, = a donne entre les données primitives du problème : b i Sin et — a i Sin 9 = o, par suite k — o\ donc l’équation (7) se réduit à do — o. Ainsi l’angle u> est constant.

Du reste, si dans l’équation (14) on introduit cette même hypothèse, il vient tang Çcc — 9) = o, ou bien où — 9 ou a = 9-i-7r.

Si nous partons des équations des deux trajectoires : x — at x' — at

y — S, Cos t v/û y 1 = o

la distance des deux mobiles est donnée par

r — [/(x — x'Y-^-^y — y1)2 — 2 (x — x ') (y — y') Cos 9 formule qui donne r — y — Cos t \Z]jiy

ce qui fait voir encore que la droite qui joint les deux mobiles est l’ordonnée de la courbe décrite par le second. — Les deux valeurs extrêmes de r sont S, et — S,- les mobiles se rencontrent chaque fois que l’on

Cos t \/ /j, — o , ou t — ~7~ (2n + 1)»

n étant un nombre entier quelconque, et nul pour la première période. 21. La vitesse du second mobile est donnée par les formules

Tt - — ^ y/ 1* Sin 1 Tt-a

dy'

dx*

dx dy

v* ~ T? TT* ^ 2 T Tt' Cosg'

et l’on a

(3i) v2 ^ 2 /x Sin 2/ y/ /a — 2 a J, y/^. Cos 9 ■ Sin t y/^ -f- a\ Pour trouver la vitesse maxima, on a l’équation

v yt — o, ju Cos t ( S, \/J/. Sin t y/jl — a Cos 9) — o qui donne d’abord Cos l\Z~Y — o avec les deux valeurs Sin t \/Jjl — zh 1 ensuite Sin t y/^ = avec Cos l y /p = (/ 1 —

Nous avons de plus, pour-^ = o,

(32) y/ /x [Cos H y/Jx — Sin2t y/Jx) + a Cos 9 Sin t y/Jx j ,

expression qui nous servira à distinguer les maxima des minima. OrpouriSm*\/ /x = — 1, on a y ^=-<TI ÿ.+aCosf)),v/=a'+i\>lx-}-îaSil/^Cosü

S tnt y / jx — — 1— 1

v — =— tT, vV3 («T, [/ y. — aCosù), v2 2=fl2-Hf;2/n— 2a «T, \/ pCosh

C • , y — a Co s 9

omty/

V — = IX {^[X — a2 Cos 2 0), v3=a Sin 0 dC

Supposons d’abord que l’angle 9 des axes est aigu, alors Cos 9 ^ > o.

SOTT

La vitesse -v, — \/a*-\-o.a\y/ /xCosô répondant à y =o,x:

’Wr

est toujours un maximum; si

S, y/ ix^>acosQ,v2 = \/ aa+<5j a/x-2« £ \/ {xcosQ — [/a \/ p-acosÇj) a

est aussi un maximum; il correspond a y=o,x = etv3 ~ a^n @

est un minimum; le second mobile est animé de cette vitesse dans

chaque période en deux points, dont l’un a pour coordonnées

r 1/ a2 Cos2 0 r a / 7r \ ,,

y — ^-o.y 1 =0, Smw, x= — w J , et 1 autre

y =-& Sin iv, x= ~^=. Ç

w'j , iv étant le plus petit arc dont le

a Co s 0

Cosinus est ; ces deux points se trouvent le premier dans le pre-

mier quart de la période, et l’autre dans le second quart. Aux points où l’ordonnée estzbj, , la vitesse du second mobile égale celle du premier a; le second maximum va est égal, plus grand ou plus petit

que a, selon que l’on a S.y/r* >2 a Cos 9-

Si a Cos 9 = & y/jx, v3 se confond avec v% ; il n’y a donc plus qu’un

maximum vt — a [/ 1 — f— 3 Cos29 au point y = o,x = -, et un mini-

2vV

mum v„ —