O.TT

v2 — a Sin 9 au point y — o, x— ^

Enfin si J, \/ /x <^aCosQ, la valeur de t qui répond à v3 est imaginaire, et l’on a encore un maximum v, a et un minimum a, aux points donnés par y — o.

Si l’on regarde les valeurs de t\/]l comme des abscisses et celles de v comme des ordonnées, on pourra représenter par une courbe la vitesse du 2d mobile à chaque instant; la figure (4) indique la forme de celte courbe: ( a ) représente la trajectoire, ( b ) la courbe de la vitesse dans le cas de <£ j/jü a Cos 9, ( c ) pour le cas de S, \/ /x < a Cos 9 ; TT' est l’axe des /, à partir duquel on compte les ordonnées.

Si l’angle 9 est droit, la vitesse a toujours deux maxima égaux à 2/w, et deux minima égaux à a; les deux premiers répondent aux deux points où l’on a y = o, et les deux autres à y = La

courbe de la vitesse a la forme indiquée fig. 5, ( b ).

En troisième lieu, si 9^> Cos9<C.o , et la vitesse vl qui a lieu

pour y= o, x = ’ n est P^us un maximum qu’autant que 1’

on a

a-~°S-~ — i, ou À — a Cos 9, et alors v3 est un minimum, qui

a lieu dans le troisième et le dernier quart de la période; si a Cos 9 -h l/jü = o , v3 se confond avec v, et enfin si $ ( / Cos 9 , v3 est imaginaire, v, est un minimum; la vitesse est un maximum dans tous ces trois cas. La figure 6 , ( b ) indique la forme de la courbe dans le cas de l/jü > — a Cos 9 : pour deux valeurs de 9 supplémentaires, les courbes de la vitesse sont identiques, seulement changées de place; et en effet, si dans l’équation (3i) on augmente les abscisses Zl///. d’une demi-période 7t , on obtient l’équation qui convient à la valeur de 9 supplémentaire.

22. Nous avons vu §. 2 que, dans le cas que nous traitons, c’est-àdire de b, < 2a' les équations (20)

y = S' Cos l[/ [a, x — at-\ L— - Sin t [/ 1 u

représentaient une cycloïde raccourcie lorsque l’on avait

b , — a = |/V» 0, = et que par suite les deux mobiles étaient

distants l’un de l’autre de la quantité constante S’, nous avons vu de plus que le second mobile était animé de sa plus grande vitesse \ au sommet de sa trajectoire, où y — iï, et de sa plus petite vitesse 2 a — bl au point le plus bas y — — J. Les points d’inflexion sont donnés par

îi' ,• d'x (TV y-\-ay / o c\ » . > v ‘l'V y

1 équation ^ ~ = o , (n. 1 6), c est-a-dire par y - - »

valeur qui donne Cos t |/ fx — — ; si l’on substitue cette quantité

dans l’expression de v3 (n.° 18), il vient v3= a3— S3 // = bv ( 2a — bt ): ainsi la vitesse qui anime le mobile au moment où sa trajectoire s’infléchit, est une moyenne proportionnelle entre ces deux valeurs extrêmes qui ont lieu aux deux sommets de la trajectoire. La vitesse est égale à

JNa v/*

a quand y — — ■ - , c’est-à-dire quand l’ordonnée est la moitié de

ce quelle est aux points d’inflexion.

Les deux points d’inflexion dans chaque période s’éloignent d’autant plus de l’axe des x, que b , se rapproche de 2 a; car l’ordonnée pour

laquelle ils ont lieu est, en effet, y = — - — -• iï, et cette expression

augmente en valeur absolue à mesure que — augmente.

La distance peut rester invariable, quoique bt augmente; on n’a qu’à supposer que la force d’attraction augmente aussi.

23. Cherchons encore les maxima et les minima de la distance r et de la vitesse v , quand on n’a plus bt — a — o, ni bl — a — \ [/ 1^. On a: r'=£t'C0s't\'y-y Sin? t\/y. — 2 Sinty/y Cos t y/y. Cosô, (55)

Cette expression n’est jamais nulle, que dans le cas de Z», — a — o, où elle le devient pour Cos t [ /p = o; en effet, pour que r — o, il faudrait :

JN y/"

tang t \/ fx — p — - (Cos 9 ± Sin 9 \/ — 1 ), valeur imaginaire si l’on n'a pas è, — a.

Pour trouver la distance raaxima ou minima, on a

2 r — = iSint^Cost^— î(i,—o)ft Cos B, (Cos'tVÏ—Sin'tVJ*)=o

dt VI*

OU bien j(J, — a)’— <fl*/u.}*Sw2*t/^ — 2(6, — a) S', VJ* Cos ô. Cos^ t V/ü = o.

On tire de là

lang 2 t\/fx —

2 {bt — a) y. CosQ,

Pour éliminer t entre cette équation et l’équation (33), nous avons

ayj'spCoso,

Sin2 1 \/p = 1— Cosîti/fx ± y/ id. — (b, -

“ Ztl 2 \/ z'ûü.

ç0^tvy-- l-vCnït VI*- - ±}/â; 4-(i,-«)’-A>

Par suite

±2/x V/ÎJ.

o (£, — ap-+-<T,V — o)1— <TI>|ï-H4(iI—

On tire de là pour r deux valeurs de la forme y/Aztv/ê ? qu’on peut mettre sous la forme r = j/A~^~C zt j/A~C, C étant égal à \/ A2 — B ;

on a en effet A2 — B = 4(^. — a)2 $t2 p Sin2 Q. Donc les deux valeurs extrêmes du rayon vecteur sont

v' (£,— a)2-f-<f'1’/u.-t-2(&1— a)<T, (i, 2^i~2(è,— a)<T, y/ fx SinB, /

L’une de ces expressions est donc la distance maximum , l’autre la distance minimum.

Nous pouvons, au moyen de ces deux valeurs, retrouver les deux cas particuliers que nous avons déjà traités. Si la trajectoire doit être une cycloïde, il faut que le rayon maximum soit égal au rayon minimum, ce qui exige que ( bx — a)3-h — 2 (b, — a)^ \/ p Sinôl = o, ou que

(b, — a) M~c£ > — i{b, — ct)\ \/ p -+- 2 (b, — a) S, \/ ^ j 1 — CosÇ^ — 9, ) J = o ,

ou j(6, — a) — $ vV } 2 + 4 {b, —a)l y/jü. iSï/»'^ — =: o.

Cette condition sera remplie, quand on aura

i.° b, — a — 9, y/^; 2.0 9t = Ce sont les conditions trouvées §. 2.

Pour que le rayon minimum soit nul, il faut que ( b , — #)<£ y/jü<S/ra0, — o , ou que = «; car nous ne considérons pas le cas de 9,-0, où le second mobile se mouvrait dans la même ligne droite que le premier.

24. Pour trouver les maxima et minima de la vitesse, nous pouvons nous servir de l’équation du n.° 1 2 , en y remplaçant 9 et oc, par 9, , b par bx , S par ^ , Cos y par 1 ; il vient alors , en divisant par y//* Cos 9 :

/ 1 \ A 2 [S\*u-h[bt-a)(%a-b,)\ 3 n N a 2[js,au-è,(i,-o) J

Le dernier terme étant de signe contraire au premier, cette équation a dans tous les cas une racine positive et une racine négative. On peut de plus voir par la règle des signes, que quand 9, il n’y a qu’une

seule racine négative, comprise entre o et — 1 5 la vitesse passe donc par un maximum dans le dernier quart de chaque période; elle passera de plus par un minimum, ou bien par un maximum et deux minima

dans la première moitié de chaque période. Si 9, il y a un maximum dans le premier quart de la période, et un maximum et deux minima dans les deux derniers. Enfin, si 9, =|, l’équation (35) a une racine u — 00, qui donne y — 9, , une racine u = o, qui donne y = H- S, , et deux racines, qui sont u — zt |/ ' , réelles, si <5; »£,(£,— a).

La première u = y/- donne une valeur de t y/Jl, qui convient au

premier quart de la période, et la seconde u =■ — en donne une qui convient au dernier quart, et qui donne pour la vitesse un maximum.

Seconde classe de courbes, b, = 2 a.

25. Si l’on suppose que la vitesse b, du second mobile ?u sommet de sa trajectoire est double de la vitesse constante a du premier, les équations de la trajectoire sont

j f = $1 Costy/ ^

(36) i ‘-WS et « = =■= (3?>

x = al *+-p= Sin 1 \Z n ” dy «r,

et les courbes que ces équations représentent ont un rebroussement du premier genre pour la valeur / = - J, • la tangente en ces points est parallèle à l’axe des/; elle est parallèle à l’axe des x aux points donnés par / = +<?,.

Si ^ = S = , 0, = — , la trajectoire du second mobile est une

cycloïde ordinaire ; le mouvement de ce point est donc le même que celui d’un point pris sur la circonférence d’un cercle qui roulerait uniformément sur une droite fixe.

Si nous nous reportons aux équations du n.° 1 7, b Co s a — a Co s 9 — o

et b Sm oc — a Sm 6 = a, nous aurons par l’élimination de a : Sm y -f- Cos ce — o, d’où l’on tire

et y *+- o » °u bien y — a et comme et — 9 — y

on a