zt-z joxi

ou, en multipliant de part et d’autre par dt ,

(5) Z.mdtVrSVr = Z \d't(X—XmjZxr-{-dt(Yl—Ym)oyr-{- + dt{Zt — Zm)$zr | .

Supposons, maintenant, que l’on fasse, dans le second membre de la relation (i), les substitutions indiquées par (2) et (3) ; que l’on fasse sortir du signe J, à l’aide de l’intégration par parties, les termes multipliés par doxr, dhyr , etc. ; que l’on ne tienne pas compte des termes sortis du signe $, lesquels sont nuis comme étant multipliés par oXr, Syr, etc. , qui sont zéro aux limites de l’intégration. Il vient alors

(4) o$(£mVrds,) = ^ j — z-m (d &V + d °U, +

+ d ~ &„) + Z.dt { (X, -X j&rr + (Y, — YJSÿr H-

Maintenant en désignant par X, Y, Z, les composantes, pour le point ni, parallèles aux axes mobiles, de la force capable de donner, à ce point, s’il était libre ,

son mouvement absolu , on peut remplacer dans (4) , s (XA + Ÿj î*yr- f- Z, $sr) par s(X 8&r-(- Y §yr-\-Z%zr). Mais d’un autre côté , d’après un théorème démontré par Coriolis (Voir le traité de la mécanique des corps solides de Coriolis, chap. î, n° 29), on a

x = xr+xm + xn

Y = Yr + Y. + Ym

Z + Zn-

Dans ces formules Xr, Yrr, Zr sont les composantes correspondant aux mouvements relatifs ; puis Xn , Yn , et Zn sont les composantes, parallèles aux axes mobiles, d’une force fictive. La direction de celle-ci est perpendiculaire à la vitesse relative du point m et à l’axe instantané de rotation, et si l’on appelle œ, <*>' et w" les vitesses angulaires élémentaires de rotation autour des

2m to

‘im w

et des

on a

dzr

to''

, dyr\

~dt ~

dt)

dxr

- to

dz\

di

dt)

dyr

to'

dxr\

dt

~cü)

Cette force fictive est celle que Coriolis a étudiée sous le nom de force centrifuge composée.

D’ailleurs ,

Xrdt — md ^ ; Y rdt — md ; Z rdt = md r dt 1 dt dt

Si donc on substitue dans (4) , on aura

O $(£mVr<fer) = \Zdt(Xnoxr -f Ynoyr-{-Zjzr) ,

Ou bien

(I) S[8(SmYr(fer) — 2dt(Xnox r-\-Ynfyr -j- Zn8zr)'J = o.

Cette formule est la traduction analytique de ce qui devient le principe de la moindre action dans le mouvement relatif. On voit que, pour qu’il soit satisfait dans le mouvement relatif comme dans le mouvement absolu, il faut que l’on ait

2(Xn&rr +Ynty, + Znfcr)==o;

c’est-à-dire que, en regardant les déplacements relatifs comme seuls possibles , les forces centrifuges composées Xn, Y„, Zn ; X'B, etc., se fassent équilibre à l’aide des liaisons du système. C’est ce qui aura lieu, par exemple, quand les axes mobiles n’auront qu’un mouvement de translation parallèlement à eux-mêmes, parce qu’alors, les vitesses angulaires w, <*>', et w" étant nulles, il en est de même des forces Xn, Yn, Z„, X'n, Y'n, etc. Le même résultat arriverait si les divers points matériels étaient assujettis à rester dans un plan doué d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe parallèle à lui-même , et qu’on prît pour le mouvement relatif celui qui aurait lieu dans ce plan. Dans ce cas, les forces fictives dont les composantes sont respectivement : Xn, Yn, Zn; Xrn, Y'B, Z'B, etc., seraient perpendiculaires à ce plan et l’on aurait :

*(XjXr + Yntyr + ZjZr) = O.

En résumé, les conditions qui sont nécessaires et suffisantes pour que le principe de la moindre action ait lieu dans le mouvement relatif, sont les suivantes :

i° Que les vitesses \r de chaque point soient compatibles, à chaque instant, avec les liaisons du système, et qu’en outre les vitesses Vm soient toujours compatibles avec l’hypothèse de la solidification absolue du système à ce moment ;

20 Que les axes mobiles participent continuellement

au mouvement moyen seul, c’est-à-dire à celui qui répond aux vitesses Ym des différents points ;

3° Que le travail élémentaire , pris dans le mouvement relatif, des forces motrices agissant réellement sur le système et de forces égales et directement opposées à celles qui seraient nécessaires pour donner à chaque point, s’il était libre, le mouvement moyen , c’est-àdire son mouvement d’entraînement avec les axes mobiles, que ce travail élémentaire , dis-je , soit la différentielle exacte d’une fonction des coordonnées relatives des différents points ;

4° Que les forces centrifuges composées , représentées par X„, Yn, ; X'„, Y'n, Z'n; etc., se fassent équilibre sur le système , en considérant les déplacements relatifs des points comme seuls possibles ou, ce qui revient au même, en ajoutant de nouvelles liaisons qui rendent impossible tout mouvement moyen correspondant aux vitesses Vm.

Lorsque les quatre conditions ci-dessus sont vérifiées, le principe de la moindre action a lieu pour le mouvement relatif, et il consiste en ce que, entre deux positions données du système, l’intégrale de la somme des produits des masses des différents points matériels , par leur vitesse relative et par l’élément de leur trajection dans le mouvement relatif, est un minimum ou un maximum.

Si l’on remplace dsr par \rdt, on voit encore que le théorème en question peut aussi être énoncé en disant que, entre deux positions données, le système dépense la plus petite ou la plus grande quantité possible de force vive relative.

Une application importante de ce nouveau principe est, comme je l’ai dit en commençant, d’en déduire des formules souvent applicables et propres à faire

connaître directement le mouvement relatif d’un système de points matériels, sans qu’on soit obligé de s’occuper, en aucune façon, du mouvement absolu. La méthode consiste , en partant de la relation $ 8 ( 2mVrdsr) = o , à développer la partie contenue sous la ligne $ , par les règles du calcul des variations en termes multipliés par 8xr9 oyr , Szr ; 8x'ri 8y'r, etc. Si les points sont libres, on égale séparément à zéro les coefficients des variations de chaque coordonnée relative , ce qui fournit le nombre d’équations nécessaires. S’il y a des liaisons représentées par des relations entre les coordonnées relatives, en faisant varier celles-ci, on obtient des équations entre les 8#r, 8yr, ozr ; Sx'r9 etc., qui en font disparaître un certain nombre dans 8(s m\rdsr) . On égale ensuite à zéro, les coefficients des variations des coordonnées restant arbitraires , et en y joignant les équations de condition, on a toujours le nombre de relations nécessaires pour déterminer le mouvement relatif.

Il est une remarque importante à faire. Si des quatre conditions nécessaires pour que le principe de la moindre action ait lieu, les trois premières seules étaient vérifiées, ce principe ne serait plus satisfait mais l’équation (I) subsisterait toujours, et on pourrait encore obtenir le mouvement relatif, en développant la quantité contenue sous le signe $ en termes multipliés oxr9 8 yr9 etc.

Je vais maintenant donner quelques exemples de la manière de procéder à la détermination de ces mouvements relatifs. Mais je m’étendrai peu sur cette mé thode parce qu’il en sera donné une nouvelle dans le chapitre suivant, découlant du principe de d’Àlembert pour les mouvements relatifs, et qui est encore plus générale, plus simple et plus expéditive.

Soit un système quelconque de plusieurs corps libres , M,M',M'\ etc. , agissant les uns sur les autres par des forces d' attraction mutuelle , fonctions de leurs distances respectives. Trouver le mouvement de chacun de ces corps , par rapport à des axes coordonnés animés d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme.

On voit, tout d’abord, que le principe de la moindre action , pour le mouvement relatif, est applicable. En elfet , les vitesses relatives sont compatibles avec les liaisons du système , et les vitesses moyennes, qui répondent au mouvement de translation des axes coordonnés, sont compatibles avec la solidification du système à chaque instant. De plus le travail élémentaire , pris dans le mouvement relatif, est la différentielle exacte d’une fonction des coordonnées relatives puisque , d’une part , les forces absolues ou les attractions mutuelles sont fonctions des distances, et que, d’autre part , les forces du mouvement moyen sont nulles.

Enfin les forces fictives (Xn, Y„, etc.) sont nulles, puisque les axes n’ont qu’un mouvement de translation sans rotation.

Soient M, M', M", etc., les masses des corps que j’ai désignés par ces mêmes lettres; appelons v, v\ v", etc., leurs vitesses relatives et conservons, d’ailleurs, les notations précédentes, en supprimant seulement l’indice r qui devient inutile puisque nous ne nous occuperons plus explicitement du mouvement absolu.

Il s’agit donc de faire en sorte que

$0 (Mvds + M'v'ds' + MVUs"+ etc.) soit égale à zéro.

Or cette intégrale revient à

KMvciïs + Wv'tôs' + M "v"dos" + Mds3v + M'ds'ov' +