W'ds"ov" -j- etc. ) = o

En procédant comme dans la démonstration du principe de la moindre action pour le mouvement relatif, cette intégrale se transforme en

Il faut maintenant substituer à la partie dt (Mror'4- MW + etc.), une fonction équivalente où les Sv, SF, etc., seraient remplacés par les variations des coordonnées. Or à cet effet, appelons : F, F', F", Ft, F'4, etc., les actions mutuelles entre les corps, rapportées à l’unité de masse, et f, f\ etc. , f\, etc., les dis-

tances correspondantes entre les corps. On a :

i d(Mv2 + MV2 + MV* + etc.) = — MM'Fdf —

— MM "F ’df — etc. — M'M'T^ — etc.

Donc à cause que F, F', etc., sont des fonctions respectivement de f , /“', etc. , on a:

MvSv+WvW + etc. = — MM' FS/1 — MM"F'S/' — etc. —

M'M'T^/j • — etc.

Substituant dans (5) , on a , en changeant tous les signes :

l4 PRINCIPE I)E LA MOINDRE ACTION

Il ne reste plus maintenant qu’à exprimer 8/*, of, etc., au moyen de Sx , hj , h, etc. Or, /*, f , etc., étant les distances des corps, fonctions des coordonnées, on a :

df— L dx Idy etc. df = L'dx + l'dy + etc.

Donc

Gf =L<)X-\-lty JN — j— e te . et §f' —L'§x-\-l‘ty-\-etc.

et ainsi de suite.

On portera ces valeurs de 3 f, 3/“', etc. sous la dernière intégrale , qui ne contiendra plus que des termes multiples par les variations des coordonnées , et comme les corps M, M', etc., sont tout à fait libres dans l’espace, et que par suite les variations des coordonnées sont toutes indépendantes les unes des autres, on n’aura plus qu’à égaler séparément à zéro les coefficients des variations de chacune d’elles, ce qui formera, pour chacun de ceux-ci, les trois équations nécessaires pour déterminer les mouvements relatifs. On a d’abord :

d — -f- (Sl’FL + M'T'L' + etc.)* = o,

QjL

ou en faisant , pour abréger, la fonction entre parenthèse égale à n

lë

De même on aura

dë

~dë

On aura pareillement, pour les autres points :

ItF

dt

+ W' = o etc.

U, H', W, W'; etc.

sont des fonctions des coordonnées.

On aura ainsi toutes les équations nécessaires pour déterminer le mouvement relatif de chacun des corps.

Avec un peu d’attention, on reconnaît facilement que la somme Mn + M'n' + M"n" -|- , etc. , est identiquement nulle, comme se composant de termes qui sont deux à deux égaux, et de signes contraires. 11 en est de même des deux autres sommes

+ MW + M'W' + etc. et MW + M'Wr -f + M"W" etc.

Donc

Ou , en appelant xx , yx et zi les coordonnées du centre de gravité du système , dans le mouvement relatif, on a :

d2æx ^ d-yx ^ d2zx

HF=0 W~°~dF=0’

c’est-à-dire que le mouvement relatif du centre de gravité est rectiligne pt uniforme.

En intégrant deux fois de suite les équations (7), on aura trois intégrales du problème , savoir :

/ Mæ-J-MV-f MV' + elc. = a+fo.

(8) My+MV+eic. =e-\-ht.

y Mz — |— M z — j- etc. = i — J— kt.

a , b , e , h9 i et k étant six constantes.

On obtient facilement trois autres intégrales du problème. En effet, il est aisé de reconnaître qu’on a identiquement :

M(II y — <&ïx) — M'(Iiy — <&y\x') +

+ M"(I l"y" — ^"x") + etc. = o.

M ('F# — Uz) + M'(W — ïlV) -f etc. = o.

Wy) -f- M \^z' — W'y' )-J- etc. = o.

11 résulte de là qu’on a :

. d2x <Py\ , / ,drx’

M (y spr

dt~ di '

dt* ) d*z d2x\ ‘ 1 X dt* — S df . d^x'

—j— etc.

di 2

-f etc.

M[zdd-yW>)

dV

+ M' [z -j- etc.

dl2

ou , en intégrant une fois ,

dx __L

A, X At ) I

dt

dz

dt j

dx

, ,dx{

' y dt dt J

dt

dz'

dl

dx'

Ht

— j— etc. — c , -)-etc . — c',

c, c' et c" étant trois constantes.

Enfin, par l’équation (5 bis), on a une septième intégrale , qui est :

dï

dC 2

2MM' fm — .MH*/ F'rff-

etc..

A2 étant une constante. Quant aux intégrations qui sont indiquées clans le second membre , elles sont possibles , puisque F est fonction de f ; F' de f\ et ainsi de suite.

On peut prendre, pour l’origine des coordonnées, le centre de gravité du système , car ce point a un est le centre

° ... „ 1 . . de gravité

mouvement rectiligne et umlorme. Dans ce cas, les six du système.

constantes, a, 6, e, h , i et k des équations (8) sont

nulles.

On peut donc , par ce procédé , trouver directement les équations du mouvement d’un nombre quelconque de corps , soumis à leur attraction mutuelle , supposée fonction de leurs distances respectives , par rapport à leur centre de gravité , considéré comme fixe.

Si , en outre , le système se réduit à deux corps , et que l’attraction suive la loi directe des masses et la loi inverse du quarré des distances, les équations du problème sont intégrables , et la trajectoire de chacun des deux corps est une section conique. En effet , les équations (8), (9) et (10) deviennent :

Mar -j- MY = 0.

% + My = 0.

Mz + MY = 0.

M (ydx — xdy ) + M '(y'dx' — x'dy') = cdt. M (xdz — zdx) + M \x'dz' — z'dx') = c'dl. M {xdy — ydz) ~f M\z'dy' — y'dz') = c"dt.

PRINCIPE DE EA MOINDRE ACTION

M dx' + dy' + dz' dx'+dy'' + d*' Aî de ~t~ dt-

251 SI' [ à.V{x— od)*+(y — ÿ')* + (s— .

En tirant des trois premières équations les valeurs de x\ y' et z\ et les portant dans les quatre dernières, celles-ci deviennent :

- , ( M + M ') [ydx — xdy ) = cd(.

(R1 -f- W)[xdz — zdx) = c'dt.

j^7 (M 4- M ')(zdy — ydz) = c"dt.

aMM'1 M + M'J

Ces dernières équations font voir que le mouvement relatif du corps M est le même que le mouvement absolu M

d’un corps de masse — , (M + M'), attiré continuellement vers l’origine des coordonnées, considérée comme fixe, par une force réciproque au quarré de sa distance à cette origine et qui, rapportée à l’unité de masse au- MM'2

rait pour mesure 0 Cette trajectoire, qui est

connue, est donc une section conique et la loi du mouvement, relativement au temps, est aussi la même.

Le mouvement du corps M' par rapport au centre de gravité, est tout à fait analogue.

Les mêmes choses étant posées que dans le problème précèdent, chercher le mouvement relatif du système par rapport à trois axes rectangulaires tournant d'un mouve ment uniforme autour de l'axe des Z avec une vitesse angulaire w".

Ici, le principe de la moindre action pour les mouvements relatifs, n’est plus applicable. En effet, les forces centrifuges composées ne se feraient pas équilibre sur le système, en regardant les déplacements relatifs comme seuls possibles. Mais le travail élémentaire, pris dans le mouvement relatif, est la différentielle exacte d’une fonction des cordonnées relatives, puisque d’une part, les forces motrices sont des fonctions des distances mutuelles des corps et que , d’autre part , les forces d’entraînement avec les axes mobiles, soit Xm, Ym, Zm ; Xfm, etc., se réduisent aux forces centripètes des différents points. On peut donc appliquer la formule (I).

En suivant la même méthode que dans le problème précédent et conservant aussi la même notation, on obtient les équations suivantes, pour déterminer le mouvement relatif,

„ dx

dt

On a encore , en suivant la même marche que dans le problème précédent

[ M w + M' — + etc. - «."(Mtr + MV + etc.)-

(. ,)\ m S + u' >' + ctc- - + M'»’ + etc') +

+ 2u)(M+M- + etc.) = ° d2* , dV

M^+M ^ + etc- = °-

Ou en appelant aq, yt, jzt, les coordonnées relatives du centre de gravité du système ,

(ia)

j (F xt

„ dyx

rfF

)d'Vi

//g 1 <1 dX y

-“ ^ + 2W Ht =0

iW

Ces équations sont intégrables, et l’on trouve xt — [a -J- ut) cos iû''t -j- (b + vt) sin i3)^ y y — — (a -j- ut) sinco'7 -j~ [b -(- vt) cosa >"t z. = c wt.

a, è, c, u , r et w étant six constantes.

L’exactitude de ces formules se vérifie aisément. En effet, le mouvement absolu du centre de gravité étant rectiligne et uniforme , les équations par rapport aux axes supposés fixes, à l’origine du temps, seraient de la forme

x = a ut y = b -j- vt z — c wt.

a, b, c, u , v , w , étant six constantes. Si maintenant, on suppose les axes tournant autour de OZ , avec une vitesse uniforme &>" , on en tire aisément les formules (i3).

On pourrait multiplier les exemples, mais, comme je l’ai dit précédemment, on verra dans le chapitre suivant, une méthode nouvelle, plus générale et plus simple pour résoudre tous ces problèmes. Je passe donc de suite à ce second chapitre.