POUR SIMPLIFIER LA RECHERCHE DES MOUVEMENTS ABSOLUS
La méthode suivie en général pour obtenir le mouvement relatif d’un système quelconque de corps consiste à chercher d’abord le mouvement absolu et à passer de là au mouvement relatif par une transformation de coordonnnées. Cette marche est souvent longue et compliquée, surtout quand les axes mobiles ont un mouvement non-seulement de translation, mais de rotation. Je me suis donc proposé d’arriver à une méthode propre à lever cette difficulté et celle que je vais développer et qui est applicable dans des cas très-nombreux et trèsgénéraux, permet de poser directement les équations différentielles du mouvement relatif, sans qu’on ait à s’occuper en quoi que ce soit du mouvement absolu. Comme on le verra plus loin, cette même méthode permet d’apporter à l’étude des mouvements absolus,' une simplification très-générale , consistant à décomposer ceux-ci, en deux autres, l’un commun avec des axes mobiles, et l’autre relatif par rapport à ces axes supposés
Préliminaires.
PRINCIPE DE d’aLEMCERT
fixes. Ces deux mouvements sont en général plus simples que le mouvement absolu qui résulte de leur combinaison et Ton a, pour les obtenir, à intégrer des équations d’un ordre inférieur.
Pour arriver à ces résultats, la première question à résoudre consiste à obtenir les composantes de la force accélératrice d’un point matériel , par rapport à des axes mobiles, en fonctions des coordonnées relatives de ce point, des composantes de la force accélératrice de l’origine des axes mobiles parallèlement à ceux-ci et des composantes de la vitesse angulaire du système des axes, autour de ces mêmes axes. Ces expressions étaient connues pour le cas particulier d’un corps solide assujetti à tourner autour d’un point fixe. (Voir Mécanique de Poisson et Mécanique céleste de Laplace. ) De plus Coriolis s’était occupé de cette question, et M. Bertrand avait démontré très-simplement et directement son théorème (Journal de l’École Polytechnique, 32e cahier) et fait voir qu’il découlait immédiatement des principes posés, un siècle auparavant, par Clairaut.Mais, la traitant à un autre point de vue, Coriolis n’avait donné l’expression des composantes dont il s’agit qu’en fonctions des coordonnées relatives du point, des coordonnées de l’origine des axes mobiles par rapport à des axes fixes et des angles variables des axes mobiles avec les axes fixes, tandis qu’il est important, comme on le verra plus loin , d’obtenir ces forces en fonctions des coordonnées relatives des points, des composantes par rapport aux axes mobiles de la force accélératrice de leur origine et des composantes de la vitesse angulaire du système de ces axes mobiles autour de chacun d’eux.
Ce sont ces expressions que je vais d’abord chercher.
Soient OXt , OYj , et OZ, , trois axes rectangulaires fixes. Soient OX, OY et OZ, trois axes rectangulaires doués d’un mouvement de rotation quelconque autour du point O. Je cherche d’abord les relations qui existent entre les angles formas par les axes mobiles avec les axes fixes, à un instant quelconque, et les vitesses angulaires correspondantes de ce mouvement de rotation. D’une manière générale , je regarde une vitesse angulaire comme positive, quand le mouvement de rotation correspondant s’effectue de gauche à droite pour un observateur placé le long de l’axe de rotation et les pieds vers son origine , et par conséquent , la vitesse angulaire sera négative quand la rotation aura lieu en sens inverse.
A chaque instant, le système des axes mobiles tourne, avec une certaine vitesse angulaire , autour d’un axe instantané passant par le point O ; mais on sait que ce mouvement de rotation élémentaire peut être décomposé en trois autres, autour des axes mobiles euxmêmes. Supposons qu’au moment que l’on considère les vitesses angulaires correspondantes, soient : w autour de OX; «' autour de OY et w" autour de OZ : puis
PRINCIPE DE DALEMBERT
appelons : a, g, y les trois angles de OX avec les trois axes fixes OXj , OYj , et OZt ; a, 6', y' les angles de OY avec les mêmes axes, et enfin, a", 6", y", ceux de OZ avec les mêmes axes, il existe des relations très-simples entre ces angles et les vitesses angulaires.
En effet, si l’on prend sur OX, une longueur OM — 1 la projection OP, de OM sur OX, est cos a. Si l’on veut avoir la position infiniment voisine de OX, au bout du temps dt , il suffit de donner à OM, un petit mouvement de rotation Mm = a>' dt autour de OY, puis un petit mouvement de rotation mM' — u>"dt autour de OZ; OM' sera la nouvelle direction de OX, et l’on aura MOX = a + da. Le cosinus de ce dernier angle sera la projection, sur OX, de OM' ou, ce qui revient au même, de la ligne brisée OM mM', projection facile à déterminer, puisque M m est parallèle à OZ et dirigé en sens contraire et que mM' est parallèle à OY et dirigé dans le même sens. On a donc
cos (a da) == cosa — tddt cosa a ù"dt cosa'.
On trouverait des relations analogues pour les neuf anglesen question, ce qui fournit les neuf relations suivantes :
d COS a
dt
d, cos a!
dt
d cosa7
dt
d cos 6 dt
d cos 6’
dt
dcosê"
= — u>'cosa"-f- af'cosa', = — üf'cosa ü> cosa", = — a) cosa' -j- a)' cosa, = — io'cos6"-f- ü>"cos6'?
— : ü/’cosê -|- ü> COS ê",
= — w cos 6' ~\~ to' cos 6 ,
(14) suite
d cos y dt
d cos y' dt
d cosy" dt
— «'cosY^-f- w"cosy,?
