xu> co 4- «co eu 4- 2 co — co
T T *V T \ dt dt)
Les premiers membres sont, pour chaque point, les
composantes de la force accélératrice réelle de ce point, décomposée parallèlement aux trois axes mobiles. Or les seconds membres qui leur sont équivalents ne contiennent plus ni les coordonnées £ , tj, £ de l’origine mobile par rapport aux axes fixes, ni les angles de direction a, 6, etc., des axes mobiles avec les axes fixes. Ils renferment seulement, ainsi que je l’ai annoncé plus haut, les coordonnées relatives de ce point, et, en outre, les six quantités X,, Yf, Zf, to, <*>', <*>", savoir : les composantes parallèles aux axes mobiles de la force accélératrice de l’origine mobile, et les composantes de la vitesse angulaire autour des mêmes axes mobiles.
Je vais maintenant exposer comment, à l’aide des combinaison
lormules (17) , on peut obtenir directement, ainsi que de d’Aiembert je l’ai annoncé, dans des cas très-généraux, le mou- ^vi testes veinent relatif d’un système de corps ou de points ,virtuelIes dans
J 1 les mouvements
matériels. relatifs.
Pour cela, je remarque que , d’après le principe de d’Aiembert, il y a équilibre, à l’aide des liaisons du système , entre les forces qui agissent réellement sur celui-ci et des forces égales et directement opposées à celles qui seraient nécessaires pour donner à chaque point, s’il était libre, le mouvement absolu qu’il a effectivement, lesquelles dernières forces ont, d’après les notations précédentes, pour composantes parallèles aux axes mobiles, pour le point m(x, y , z), les valeurs wX, mY, mZ. Ainsi donc , si nous appelons pour le point quelconque m, X1 , Yl , , les valeurs au moment que
l’on considère, des composantes parallèles aux axes mobiles, de la force qui agit réellement sur ce point, l’équilibre doit exister, à l’aide des liaisons du système entre toutes les forces
PRINCIPE 1)E DALEMDERT
( X, — mX ? Yt — mX . — mZ.
Or nous allons faire à ces conditions d’équilibre une application du principe des vitesses virtuelles, analogue à celle que Lagrange a faite de ce même principe pour obtenir les équations du mouvement absolu d’un système quelconque de corps. A cet effet, observons que les forces (19), prises pour tous les points, se faisant mutuellement équilibre, la somme de leurs moments virtuels doit être nulle pour toutes les combinaisons de déplacements virtuels compatibles avec les liaisons du système. Or imaginons que parmi tous ces déplacements virtuels possibles, nous considérions en particulier ceux qui répondent à des déplacements relatifs, ou, en d’autres termes, qui deviendraient les seuls possibles si, à l’aide de liaisons supplémentaires, on empêchait à chaque instant le mouvement des axes mobiles et ce! ui d’ entraînement du système avec ceux-ci. Cela revient à regarder, au moment que l’on considère, les axes mobiles comme fixes et à voir quels sont les déplacements virtuels qui restent possibles. Il estclair que ces liaisons, moyennant lesquelles les déplacements relatifs deviendraient les seuls possibles, correspondent à des équatious de condition entre les coordonnées relatives des différents points. Ayant appelé, d’une manière générale, x , y , z, ces coordonnées relatives, pour le point quelconque m par rapport aux axes mobiles, appelons fo, hj , %z les projections sur les mêmes axes , d’un de ces déplacements virtuels relatifs. Dès lors on devra avoir, pour tous les systèmes de ces déplacements virtuels relatifs possibles
(20) I j (Xi — mX) 8# -(- (Yi — mY)8Y-f- (Zt — mZ 'fîz j = o.
DANS LES MOUVEMENTS RELATIFS. «Tl
Le signe 2 s’étendant à tous les points matériels du système.
Si tous les points matériels sont libres , alors les ox , S?/, 8z, oa?'. By\ etc. , seront des quantités indépendantes les unes des autres, et pour que l’équation (2) ait toujours lieu, il faudra que tous les coefficients de ces quantités soient nuis séparément, ce qui fournira trois fois autant d’équations qu’il y a de points, c’est-à-dire le nombre d’équations nécessaires pour déterminer le mouvement relatif de ceux-ci. Si ces déplacements relatifs ne peuvent pas être quelconques , leurs relations résulteront, comme cela vient d’être expliqué, d’équations de condition, entre les coordonnées relatives de ces différents points. En faisant varier ces équations de condition, le temps t étant constant, on établira un nombre égal de relations entre les Bx, hy,oz, Bx', etc. ; ce qui permettra d’en éliminer pareil nombre de l’équation (20). On égalera alors à zéro les coefficients , dans cette équation, des variations des coordonnées restant indépendantes les unes des autres, et en y joignant les équations de condition entre les coordonnées relatives, on aura toujours trois fois autant d’équations qu’il y a de points pour déterminer leur mouvement relatif.
Telle est l’extension du principe de d’Alembert pour les mouvements relatifs, ou plutôt telle est la méthode pour déduire directement de ce principe les équations du mouvement relatif d’un système de corps ou de points matériels.
D’après ce qui précède, ou voit que, pour que l’équation (20) puisse être employée, il faut et il suffit que le mouvement relatif de chaque point soit compatible avec les liaisons du système, et que le mouvement moyen ou d’entraînement de ce point avec les axes mobiles, soit compatible avec la solidification absolue du système au moment pue l’on considère.
PRINCIPE DE d’aLEMBERT
Usage u principe dans
applications.
Toutes les fois que la condition ci-dessus sera vérifiée, l’équation (20) sera applicable. Mais il y a encore quelques détails à donner sur l’usage h faire de cette formule.
Comme elle est destinée à faire connaître le mouvement relatif, et que, en tenant compte des liaisons du système , elle fournit un nombre d’équations égal au nombre des coordonnées relatives de tous les points de ce système , il faut , pour que ces équations déterminent d’ elles-mêmes le mouvement relatif de celuici, quelles ne renferment pas d’autre inconnue que les coordonnées relatives des différents points, à moins que, par le choix particulier des axes mobiles, on ne connaisse d’avance, en fonctions du temps, quelquesunes des coordonnées relatives ou quelques relations spéciales entre ces coordonnées. Dans ce cas, les équations qui découlent de la formule (20) permettront de déterminer en fonctions du temps d’autres inconnues que les coordonnées.
Mais, d’une manière générale, il faudra, en outre, pour que la relation (20) ait la forme convenable, que les forces directement appliquées au système aient leurs composantes par rapport aux axes mobiles exprimables en fonctions des coordonnées relatives des points et de Xt,Yn Zn m,
Revenant à la manière de faire usage de la formule (2o)dansles applications, je considère séparément trois cas généraux distincts :
i° Celui où le mouvement des axes mobiles est complètement indépendant de celui du système , et où , en en même temps , le mouvement de celui-ci est indépendant de celui des axes mobiles. Par exemple, des corps agissant les uns sur les autres d’une manière quelconque, par voie d’attraction ou de répulsion mu-
tuelle, trouver leur mouvement relatif par rapport cà des axes doués d’un mouvement quelconque et donné, soit de translation, soit de rotation, soit des deux réunis.
2° Le cas où le mouvement des axes mobiles dépend de celui du système, mais n’influe en aucune façon sur celui-ci. Par exemple, des corps étant soumis à des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle suivant une loi quelconque fonction de leurs distances respectives , trouver leur mouvement par rapport à l’un d’eux considéré comme fixe. Gela revient à placer l’origine des axes mobiles au point où se trouve ce corps , et à donner à ces axes un simple mouvement de translation égal à chaque instant à celui de ce corps. On peut encore demander que l’un des plans coordonnés passe continuellement par les positions occupées par deux autres des corps* et même on peut, en outre, assujettir l’un des deux axes coordonnés de ce plan à passer constamment par l’un de ces deux corps. On pourrait encore demander le mouvement du système par rapport à son centre de gravité. On voit que dans tous ces problèmes le mouvement des axes mobiles est subordonné à celui du système sans influer sur lui.
3° Le cas où le mouvement des axes mobiles est indépendant de celui du système , mais où il influe sur celui-ci. Par exemple, un point matériel soumis à l’action de la pesanteur est assujetti à rester sur une surface animée d’un mouvement de rotation, avec une vitesse angulaire constante ou variable, mais donnée, autour d’un axe vertical , trouver le mouvement relatif de ce point sur cette surface considérée comme fixe. Il est clair qu’ici un des axes mobiles* doit coïncider avec l’axe de rotation, et les deux autres être reliés invariablement avec la surface mobile. Les mêmes choses étant
PRINCIPE DE 1)’aLEMBERT
posées, on pourrait supposer qu’au lieu d’un point matériel, 011 en eût deux ou même un nombre quelconque soumis à des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, fonctions de leurs distances, ou simplement réunis par le moyen de fils ou de liens inextensibles et rigides.
Je n’ai indiqué les exemples dont je viens de parler qu’afin de faire concevoir la nature des problèmes que l’on peut résoudre à l’aide de la méthode précédente, et je donnerai plus loin, tout en détail, des solutions développées de ce genre de questions. Mais, maintenant, je vais expliquer, d’une manière générale pour chacun des trois cas généraux que j’ai considérés, la manière de procéder.
Premier cas. Premier cas. (Le mouvement des axes mobiles étant indépendant de celui du système et , en même temps , le mouvement du système étant indépendant de celui des axes mobiles.)
Dans ce premier cas, ces deux mouvements étant sans influence l’un sur l’autre , il faut que l’un des deux soit donné, et généralement on devra admettre que c’est le mouvement des axes qui sera connu. Voyons donc comment l’on déterminera le mouvement relatif du système.
On connaîtra, en fonctions du temps, X,, Yn Zn w , a/, w" qui entrent dans la formule (20) et dans les équations qui en découlent. 11 pourrait se faire qu’au lieu d’avoir directement ces six quantités, on eût, en fonctions du temps, les coordonnées £,*},£, de l’origine mobile par rapport à des axes fixes, ainsi que les neuf angles de directions, a, 6, y; a', 6', ■/; a", 6", y". Mais il est fort aisé d’en déduire les valeurs de Xt, Y(, Zt; 10, ü>', iù". En effet , on a :
d ^ d\ . . dK
Puis les équations (i4) donnent:
dcos 6'
dt
dcos&"
dt
dcosê
+C0SY' -dt
+C0ST ~dt
, d cos y
dt
Si les forces Xlf Yt, Zt, ou les composantes parallèles aux axes mobiles des forces réellement appliquées aux différents points, sont exprimables en fonctions des' coordonnées relatives de ces points, les équations données par (20), jointes à celles qui expriment les liaisons, suffiront pour déterminer le mouvement relatif du système. Ces forces seront, en effet, exprimables au moyen des coordonnées relatives dans des cas très -généraux ; par exemple , quand les forces proviendront d’actions mutuelles entre les points et seront fonctions de leurs distances respectives, ou quand elles seront constamment dirigées vers l’origine mobile et fonctions de la distance des points à cette origine , ou encore quand elles seront d’intensité constante et d’une direction invariable par rapport aux axes mobiles. Le mouvement relatif sera alors obtenu.
Si l’on veut passer de là au mouvement absolu, rien ne sera plus facile ; car, en appelant xx , y1 , zx les coordonnées d’un point quelconque par rapport aux axes fixes , on a :
PRINCIPE DE b’ALEMBERT
!0C\ — £ + ^cosa-j-t/cosa'-j-zcosa"
V\ = *) + # cos 6 + i/cos6'-j-,zcos6"
ÆTj = Ç-f-#COSY -f-^/COSY' -J- 2 COS y''.
Supposons que , prenant le problème à un autre point de vue , et le mouvement des axes mobiles étant toujours déterminé à priori, on donne aussi à l’avance le mouvement relatif de tous les points matériels , et qu’on demande quelles seraient les forces à appliquer à chaque point pour produire ce mouvement relatif du système. La solution est facile. En effet, si tous les points sont libres, la formule (20) fournira juste le nombre d’équations nécessaires pour déterminer, en fonctions de temps, Xj, Y1? Zj, X'j, etc., c’est-à-dire les forces motrices cherchées. S’il existe des liaisons entre les points, les équations de condition établissant des relations entre les Sx, $y, etc. , le nombre des inconnues Xl , Yt , etc. , sera supérieur à celui des équations , et le problème deviendra indéterminé.
Enfin , prenant le problème à un troisième point de vue, supposons que l’on se donne les forces motrices ainsi que le mouvement relatif du système, et que l’on demande , quand le problème sera possible , quel serait le mouvement des- axes mobiles , qui , avec les forces données, répondrait au mouvement relatif, également donné , du système. Pour simplifier la question , nous admettrons que les forces motrices données soient des actions mutuelles entre les divers points et fonctions de leurs distances respectives. Dès lors, Xt , Yt , , X', ,
Y'j , etc., peuvent s’exprimer, quel que soit le mouvement des axes , à l’aide des coordonnées relatives de ces points. Donc, dans les équations fournies par (20), on aura simplement six inconnues, propres à déterminer le mouvement des axes, savoir : Xt, Y„ ZM w, wr, w", les trois premières entrant directement sans leurs diffé-
rentielles, et les trois dernières, directement , et avec leurs différentielles du premier ordre.
Si le système se compose de deux points libres , la formule (20) fournira six équations propres à déterminer le mouvement des axes, pourvu que les valeurs quelles donneront pour XM Y0 ZM w, <o" soient réelles et admissibles. Ainsi donc, à part cette restriction , on peut toujours faire mouvoir des axes mobiles, de manière que deux points soumis à une action mutuelle, fonction de leur distance respective, aient , par rapport à ces axes, des mouvements relatifs arbitraires et donnés. S’il y a plus de deux points , le nombre des équations surpasse celui des inconnues , et le problème est généralement insoluble. Si les points, au lieu d’être libres, étaient soumis à certaines liaisons, le nombre des équations fournies par (20) diminuerait, et le problème pourrait devenir soluble avec plus de deux points.
Deuxième cas. (Le mouvement des axes mobiles dépendant de celui du système , mais n’influant nullement sur celui-ci.)
Il faut poser les équations données parla formule (20) , en tenant compte des liaisons quand il en existe. Ces équations contiennent toujours X,, Y,, Zt, w, <*>' , q>". Le mouvement des axes mobiles étant déterminé , mais non pas donné à priori , on ne connaîtra pas généralement par avance la valeur de ces six quantités en fonctions du temps. Cependant , exceptionnellement , cela pourrait arriver. Par exemple , il en serait ainsi si l’on cherchait le mouvement d’un système de points agissant mutuellement les uns sur les autres par voie d’attraction ou de répulsion réciproque , par rapport au centre de gravité de ce système, les axes mobiles restant toujours parallèles à eux-mêmes. Comme le centre
Deuxieme cas.
PRINCIPE DE D’ALEMBERT
de gravité a, dans ce cas, un mouvement rectiligne et uniforme, on aurait :
Yf = o, Zt — o ;
puis ,
10 =0, ü>' = o , Wr' — o.
Mais , généralement , ces six quantités ne seront pas connues à l’avance. Seulement , les conditions données et d’après lesquelles a lieu le mouvement des axes , permettront , dans des cas très-généraux, de les exprimer en fonctions des coordonnées relatives des points, avec ou sans le temps. Ainsi, supposons que l’on cherche le mouvement d’un système de corps , s’attirant ou se repoussant mutuellement les uns les autres , suivant une loi fonction de leurs distances respectives, par rapport à l’un d’eux considéré comme fixe, les axes mobiles restant parallèles à eux-mêmes. Il est clair qu’on aurait to=o, w'=o, w"=o, et que, l’origine coïncidant avec l’ un des points du système , la force accélératrice de cette origine répondrait aux actions exercées sur ce point pour tous les autres points , et que , dès lors, Xn Yt , Zt seraient exprimables en fonctions des coordonnées relatives de ces points. La chose aurait encore lieu si , en outre , les axes mobiles étaient animés d’un mouvement de rotation connu autour de l’un d’eux conservant une direction constante , ou même autour d’un axe se mouvant toujours parallèlement à lui-même. Si, en outre, les forces motrices, agissant réellement sur le système, ont leurs composantes parallèles aux axes mobiles, exprimables au moyen des coordonnées relatives des points en mouvement, la formule (20) fournira, en tenant compte des liaisons qui peuvent exister, toutes les équations nécessaires pour la détermination du mouvement relatif. Cette condition , commune à tous les cas,
sera satisfaite notamment quand les forces motrices, agissant sur le système, se réduiront à des actions mutuelles entre les divers points, fonctions de leurs distances respectives , ou à des forces constamment dirigées vers l’origine des axes mobiles et fonctions de la distance de ces points à cette origine. La même chose aurait encore lieu pour des forces d’une intensité constante et d’une direction invariable par rapport aux axes mobiles. Enfin, cette même condition pourrait encore être remplie , lors même que ni les forces Xt , Yj , , X\ , etc. , ni X,, Y, , Zc ne seraient exprimables
au moyen des coordonnées relatives des points, pourvu que les résultantes des premières forces et d’une force égale et contraire aux forces motrices , dont XM Y*, Z, est Ja force accélératrice le fussent pour chaque point, car il n’entre dans la formule (20) que les différences
X1 — m Xt
Y, — m Yt
Y\ — m'Yt etc.
Par exemple , si l’on voulait étudier le mouvement d’un corps libre , soumis uniquement à l’action de la pesanteur, par rapport à son centre de gravité , la force motrice de chaque point matériel se réduirait à son poids, qui se détruirait avec les forces provenant de X*, Y, et Z,, si l’ origine des axes mobiles se trouvait au centre de gravité du système, et la formule (20) donnerait alors directement le mouvement relatif de celuici , quel que soit d’ailleurs le mouvement de rotation des axes mobiles , pourvu qu’il soit donné.
Supposons que l’on veuille, dans ce dernier cas, passer du mouvement relatif au mouvement absolu. Il
PRINCIPE DE D A.LEMBERT
suffit pour cela de déterminer le mouvement des axes mobiles, c’est-à-dire £, *), ç et les neuf angles de direction en fonctions du temps. Or, nous avons admis que les six quantités X,, Yn Zn w, w, w" étaient exprimables en fonctions du temps et des coordonnées relatives. Ces six quantités sont donc connues en fonctions du temps seul après que le mouvement relatif est déterminé. Or, on aura d’abord les neuf angles par les équations (i4) qui forment trois groupes, comprenant chacun trois équations différentielles simultanées linéaires du premier ordre ; et entre ces neuf inconnues , il existe dix-huit relations connues d’avance données par (i5). Ces neuf angles, du reste, peuvent être données d’avance. Ayant ces neuf angles , on obtiendra \ , ri , ç à l’aide des trois équations
dS 1 d?
dX dt2
— Xt cos a -j- Y, cos a' -f~ Z, cos a" = XjCosê -J- Y,cos6' -f- Z, cos 6"
— Xjcosy -\- YjCosy -)- Zfcosy",
Les seconds membres de ces trois équations devenant des fonctions connues de f, on aura £, ’n, K par des quadratures.
Supposons que l’on veuille , comme dans le premier cas, envisager le problème à un autre point de vue , et que , reliant le mouvement des axes mobiles à celui du système, d’après une loi déterminée d’avance, on se donne aussi d’avance le mouvement relatif des différents points. Il s’agit alors de déterminer les forces à appliquer au système. On obtiendra celles-ci exactement comme dans le cas précédent, et l’on verra encore que, quand tous les points sont libres, il y a une solu-
tion unique et que le problème devient en général indéterminé, quand il existe de? liaisons entre les points. • ,
Troisième cas . — (Le mouvement des axes mobiles Troisième cas. étant indépendant de celui du système, mais influant sur lui ) .
Dans ce cas le système doit toujours être soumis à certaines liaisons , car, si tous les points étaient absolument libres dans l’espace, on ne comprendrait pas comment leur mouvement pourrait être influencé par celui des axes mobiles. Ceci établi, on commencera toujours par poser les équations du mouvement relatif données par (20), en tenant compte des relations qui expriment les liaisons. Ces équations contiendront les six fonctions Xn Yn Z,, w, a/, o>". Mais le mouvement des axes mobiles étant indépendant de celui du système, il devra être donné à l’avance et , par conséquent , on connaîtra, en fonctions du temps, les six quantités précédentes. Si , au lieu de les avoir directement . on donnait \ , t) , ç et les neuf angles de direction des axes mobiles avec les axes fixes , on déterminerait X,, Y, , Z0
o)', co" à l’aide des équations (21) et (22).
Il reste encore, dans les équations du mouvement relatif données par (20) les forces motrices. Nous admettrons qu’elles soient exprimables par des fonctions qui ne contiendraient pas d’autre variable que le temps et les coordonnées relatives des différents points. Cependant le contraire serait encore admissible , mais il faudrait, comme dans le deuxième cas , que , pour chaque point , la résultante de la force motrice et d’une force égale et contraire à celle qui lui donnerait, s’il était libre , la même accélération que l'origine des axes mobiles, que cette résultante dis-je soit telle que, dans les équations résultant de la formule (20) il ne reste
PRINCIPE DE D’ALEMBERT
pas d’autre variable que le temps et les coordonnées relatives des différents points.
Si l’on veut passer du mouvement relatif au mouvement absolu , il suffit , comme on l’a vu précédemment, de déterminer le mouvement des axes mobiles. Or, celui-ci est connu d’avance. On aura donc £, rj, ç et les neuf angles a, g , etc. , ou bien si X, , Yt, Zt , w, w, w" sont les données, on en conclura les neuf angles, ainsi que \ , y) et £ , exactement comme dans le cas précédent.
Si l’on se donnait d’avance, outre le mouvement des axes mobiles , le mouvement relatif du système , et que l’on demandât quelles seraient les forces à appliquer aux différents points du système pour obtenir ce mouvement relatif, le problème se résoudrait toujours à l’aide des équations fournies par la formule (20) combinée avec les relations qui expriment les liaisons. Mais ici , à cause des liaisons , le nombre des équations devient moindre que celui des composantes des forces que l’on cherche et le problème est indéterminé.
simplification La méthode précédente pour la solution des progene^ajeapportee kj£mes 01^ pon cherche les mouvements relatifs, et en
deSabIsoiuseparIllS Particulier son application ci-dessus exposée pour le ja considération deuxième cas , conduit à une nouvelle manière de cherrelatifs cher le mouvement absolu d’un système de corps, qu’il trialmé8thode 1 est Permis d’employer dans des cas très-généraux , et précédente. au moyen de laquelle des simplifications essentielles sont introduites dans les équations différentielles du mouvement. C’est ce que je vais expliquer en détail.
Soit un système de corps ou de points matériels soumis à certaines forces , se mouvant dans l’espace et dont on cherche le mouvement absolu. D’après les règles ordinaires, on décompose celui-ci en trois autres parallèlement à trois axes rectangulaires fixes et l’on
obtient, en tenant compte des liaisons qui peuvent exister dans le système , trois fois autant d’équations qu’il y a de points, lesquelles servent à déterminer, pour chacun d’eux , ses trois coordonnées en fonctions du temps. La méthode nouvelle que j’indique est la suivante :
Au lieu de se borner à cette simple décomposition du mouvement en trois autres parallèles à trois axes fixes, décomposons, à chaque instant, et suivant les conditions qui ont été suffisamment détaillées dans tout ce qui précède, le mouvement absolu du système en deux autres : l’un qui soit un mouvement élémentaire moyen commun a^ec trois axes mobiles dans l’espace, le système étant , pour ce mouvement moyen élémentaire, supposé solidifié avec ces axes; et l’autre qui soit un mouvement relatif du système par rapport à ces axes supposés fixes. Je rappellerai qu’il suffit, d’une part , que le mouvement relatif soit compatible à chaque instant avec les liaisons du système , et d’autre part , que le mouvement moyen du système , commun avec les axes mobiles , soit compatible à chaque instant avec la solidification absolue du système au moment considéré. Je supposerai encore que les expressions des forces motrices ne contiennent pas d’autre variable que le temps et les coordonnées relatives, ce qui aurait lieu, par exemple , si ces forces étaient des actions mutuelles entre les points, fonctions de leurs distances ou des forces dirigées vers un centre fixe par rapport aux axes mobiles et fonctions de leurs distances à ce centre. 11 suffirait encore, comme on l’a vu précédemment, si cette condition n’était pas remplie, que dans les équations fournies par (20) en tenant compte des liaisons, les termes, provenant de ces forces et contenant d’autres variables que le temps et les coordonnées relatives dis-
PRINCIPE DE D’ALEMBERT
parussent par la combinaison de ces forces avec celles qui résultent de X,, Y, et Zr
Ces préliminaires posés , remarquons que les équations qui proviennent de (20) et qui déterminent le mouvement relatif, sont en même nombre que les coordonnées relatives de tous les points , en y joignant celles qui expriment les liaisons quand il en existe, c’est-àdire qu’on aura en tout trois fois autant d’équations que de points. Mais celles-ci , ou du moins celles d’entre elles qui n’expriment pas les liaisons , contiennent six autres fonctions du temps, indéterminées jusqu’à présent, à savoir : XM Yt, Z( d’une part ; puis œ, w, <o". Or dans ces équations fournies directement par (20) et qui n’expriment pas les liaisons du système , les coordonnées relatives des points y entrent avec leurs différentielles du second ordre , tandis que , des six fonctions en question, les trois premières X(, Yt , Z, , y figurent directement sans leurs différentielles et les trois dernières, savoir w, w', w", y entrent avec leurs différentielles du premier ordre seulement. Profitant de cette circonstance, voici comment l’on introduira la simplification dont j’ai parlé.
A cause que les six fonctions X,, YM Zn to, «*/, w" sont indéterminées , 011 les supposera choisies de telle sorte que six des coordonnées relatives des points aient des valeurs connues en fonctions du temps ou, plus généralement , que les coordonnées relatives des points satisfassent à six équations arbitraires que l’on choisira les plus simples possibles. Il suffira de s’assurer par avance, quand cela se pourra, ou de vérifier après coup, dans le cas contraire, qu’il y aura toujours en effet une position des axes à chaque instant qui donne les valeurs arbitraires attribuées aux six coordonnées, ou qui vérifie les six relations arbitraires établies entre
DANS LES MOUVEMENTS RELATIFS. l\rO
les coordonnées. Dans tous les cas , on voit que cela revient à remplacer six coordonnées relatives , qui peuvent être regardées comme des fonctions connues du temps et qui entrent dans les équations différentielles avec leurs dérivées du second ordre, par six autres inconnues, dont trois, X, , Y,, Zt, y entrent directement sans leurs différentielles et trois autres,
, a/ etw" avec leurs différentielles du premier ordre seulement.
Ainsi, supposons qu’il s’agisse du mouvement absolu d’un système de corps libres, s’attirant mutuellement en raison inverse du quarré de leurs distances respectives. On décomposera celui-ci en un mouvement moyen commun avec des axes mobiles et en un mouvement relatif par rapport à ces axes. On déterminera le mouvement de ces derniers , de manière à rendre le mouvement relatif aussi simple que possible. Par exemple, on peut faire coïncider l’origine de ces axes avec un des corps; assujettir un des plans coordonnés à contenir toujours deux autres des corps, en outre du premier, et de plus, astreindre l’un des axes coordonnés renfermés dans ce plan à passer toujours par un des deux corps qui y sont contenus. Alors le mouvement relatif d’un des corps est nul ; celui d’un deuxième est rectiligne, et celui d’un troisième s’effectue toujours dans un plan. Dans cette manière de déterminer le mouvement des axes, six coordonnées relatives deviennent nulles et disparaissent des équations du mouvement données par (20). On pourrait choisir les axes différemment, assujettir un des plans coordonnés à contenir toujours trois des corps et les deux axes coordonnés de ce plan à 'passer toujours, l’un d’eux, par deux des corps, et l’autre, par le troisième corps, ce qui fait encore évanouir six des coordonnées relatives
PRINCIPE de d’alembert
des points. Alors le mouvement relatif des trois corps est rectiligne. On peut encore varier et déterminer le mouvement des trois axes de manière à ce que chacun d’eux passe toujours par un des corps du système, ce qui réduit le mouvement relatif de trois de ces corps à un mouvement rectiligne et fait évanouir encore six coordonnées, mais ce dernier mode n’est pas toujours possible , car il exige que les trois corps dont il s’agit fassent constamment un triangle dont les trois angles soient aigus. Toutes ces considérations s’appliquent notamment à la question, connue sous le nom de problème des trois corps, et où l’on cherche le mouvement combiné du soleil, de la terre et de la lune.
On a vu que, dans tous les cas possibles, les équations données par la formule (20), ajoutées à celles qui expriment les liaisons du système, sont en même nombre que les coordonnées relatives de tous les points, et suffisent , par conséquent , pour déterminer le mouvement relatif du système. Dans ce que je viens d’exposer touchant le mouvement absolu, on a vu aussi que, grâce aux six relations arbitraires introduites entre les coordonnées ou aux valeurs arbitraires données à six coordonnées en fonctions du temps , il arrive que ces six coordonnées sont remplacées comme inconnues par X0 Y,, Z,, ü), «0, J'. Les équations données par (20), jointes à celles qui expriment les liaisons, se trouvent donc être, à part une exception dont je parlerai tout à l’heure, en nombre suffisant pour faire connaître toutes les coordonnées relatives qui restent à déterminer, et en outre, les six fonctions Xf, Y,, Zn o>, co', w" dont dépend le mouvement des axes mobiles.
On voit que la recherche du mouvement absolu sera simplifiée puisque, dans les équations du mouvement, six variables entrant avec leurs différentielles du second
ordre, sont remplacées par six autres dont trois figurent sans différentielles et les trois autres avec leurs dérivées du premier ordre seulement.
Je viens de dire que, exceptionnellement, il pouvait arriver que les équations données par (20), jointes à celles qui expriment les liaisons, ne fussent pas en nombre suffisant pour faire connaître tout à la fois le mouvement relatif du système et les six fonctions XM YM Zn w, J, to". En effet, il faut se rappeler que ces six dernières fonctions ne figurent que dans les équations données par (20) et nullement dans celles qui expriment les liaisons. Il faut donc que les relations résultant de (20) soient au moins au nombre de six , autrement elles ne suffiront pas à déterminer ces six fonctions. Par exemple, c’est ce qui arriverait si l’on étudiait le mouvement absolu d’un corps solide et que l’on prenne pour axes mobiles trois droites fixes dans le corps. Dans ce cas , le mouvement relatif de chaque point est nul et est connu d’avance , le corps ayant une position invariable par rapport aux axes mobiles. Alors, comme tout déplacement virtuel dans le mouvement relatif est impossible, la formule (20) ne fournit aucune équation. Mais dans ce cas, comme dans ceux analogues, on peut obtenir les six fonctions X, , Y* , Z, , <*> , to', w" de la manière suivante.
Les forces exprimées par (19) et prises pour tous les points, se font équilibre à l’aide des liaisons du système. Or, la formule (20) exprime l’égalité à zéro de la somme des moments virtuels de toutes ces forces pour tous les systèmes de déplacements virtuels relatifs. En joignant aux équations données par (20) celles qu’on obtiendrait en égalant à zéro la somme des déplacements virtuels compatibles avec le mouvement moyen seul, c’est-à-dire en regardant le système comme solidifié avec les axes,
PRINCIPE DE d’aLEMBERT
Extension de la théorie précédente aux changements brusques de vitesse qui ont lieu dans le mouvement relatif par l’effet de percussions, de chocs, etc.
on aura toutes les équations possibles et qui, jointes à celles qui pourront venir de la formule (20) suffiront pour déterminer X, , Yf, Zf, w, w', u>".
Ainsi donc, on connaîtrai mouvement relatif et, en outre , les six fonctions Xt, Yn Zn w, w', w". Pour déduire de là ê , , ç , et les neuf angles de direction des axes mobiles avec les axes fixes , on commencera par chercher ces neuf angles, à l’aide des équations (i4) qui, comme je l’ai déjà observé précédemment, se partagent en trois groupes, chacun de trois équations linéaires du premier ordre, entre trois fonctions d’une variable indépendante, ces neuf angles étant d’ailleurs liés entre eux par les dix-huit relations (i5). En définitive, sur les neuf angles, il est évident qu’il suffit d’en déterminer trois pour que la direction des axes mobiles soit connue par rapport aux axes fixes. En effet a et 6 sont suffisants pour déterminer OX {fig. 2) par rapport à 04 Xj, Yt, Ol Zl ; puis ensuite a' suffit pour fixer la position de OY et, cela fait, la direction de OZ en résulte.
Connaissant les neuf angles a, 6, etc., on aura (j, y et £ par les équations (24) qui se résoudront par des quadratures. Le mouvement absolu de chaque point sera alors donné par les formules
Xx = \ + X cos a -f- y cos a -j- Z cos a7 yt = T] -|- x cos 6 -\- y cos & z cos 6" zt = £ -f x cos 7 + 2/ cos Tr + z cos y7
On peut étendre la théorie précédente aux forces dites instantanées et obtenir d’une manière analogue les changements brusques de vitesses , dans le mouvement relatif. Par des procédés semblables, on arrive à la formule suivante, qui remplace, dans ce cas, la formule (20)
(aâ) 2 || Jx*+ro(tt(0 — — j +
+ « Ko — w”i ) — * K — wt) J ty +
+ 2/ K~wi) — ® (ü)' — w'i)J 05 | = O.
Dans cette formule l’indice o et l’indice î indiquent respectivement les valeurs de la quantité à laquelle ils sont appliqués au commencement ou à la fin de la percussion. Les intégrales $X dt, JY dt, JZ dt, représentent les composantes parallèles aux axes mobiles, de la quantité de mouvement qui mesure la percussion appliquée directement au point m, dont les coordonnées sont x , y , 5. De plus, un u't , u"t sont les composantes parallèles aux axes mobiles, de la vitesse absolue de l’origine de ces axes et w, o/, w" sont les vitesses angulaires du mouvement de rotation des axes coordonnés respectivement autour des trois axes mobiles des x, des y et des 2. Quant à 8#, %, 8z-, ce sont les projections sur les axes mobiles d’un déplacement virtuel du point m, compatible avec les liaisons du système, en regardant le mouvement relatif comme seul possible. On voit que dans cette formule de même que dans (20), les coordonnées S, TQ, K de l’origine ne s’y trouvent pas non plus que les neuf angles de direction des axes mobiles avec les axes fixes et qu’il n’y entre , à part les vitesses relatives des points et les forces de percussion, que les composantes, parallèles aux axes mobiles, de la vitesse
PRINCIPE DE d’aLEMBERT
absolue de l’origine des axes et les vitesses angulaires autour des trois axes coordonnés.
Propriétés Les propriétés générales du mouvement absolu, con-
générales
du mouvement, nues sous les noms de Principe de la conservation du C°ieSmouvement1S mouvement du centre de gravité , Principe de la conrelatif. servation des aires, et Principe des forces vives , four-
Inlegrales . 1
qu’eiies nissent , comme on sait, dans des cas très -généraux, dans certains cas. des intégrales des équations différentielles du mouvement absolu. Il est donc intéressant de rechercher ce que deviennent ces propriétés dans le mouvement relatif.
Occupons-nous d’abord du premier de ces principes, celui de la conservation du mouvement du centre de gravité.
Or, en appelant, comme nous l’avons fait jusqu’ici, XjjYj , Zj , les composantes, parallèles aux axes mobiles, de la force appliquée au point m(x, y , z) , on sait qu’il doit y avoir équilibre à l’aide des liaisons du système, entre les* forces Xx — ?nX; Yl — mY ; Z1 — mZ, prises pour tous les points. L’équilibre, d’ailleurs, ne serait pas troublé si l’on ajoutait de nouvelles liaisons telles que le tout devînt un corps solide. Si donc nous supposons qu’il n’y ait aucun point fixe ni aucun point assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface , la somme des composantes Xt — mX; YI — mY ; Zx — m Z, parallèlement aux trois axes mobiles, doit être nulle pour chacun d’eux. Appelons a, 6, c les coordonnées du centre de gravité du système dans le mouvement relatif, et M la masse totale ; on aura , à cause de (1 7) :
( suite).
I M ^ — M («2 4- w '")& - M^c+M -^a + MujW 4-
dt dt dt
+ MwV'c + 2Mw" ^ — aMu ^ = SY — MY,
1 dt dt
M — M (w2 -f- w'2)c — M ~ a M ~b -|- Ma/ W 4-
CLv dv dv
+ Mu>V6 -j- üMw -7 2Mw' — = SZj — MZt.
* dt dC
Supposons que l’on connaisse le mouvement des axes, ou au moins les forces Xt, Yn Zn et les vitesses angulaires w, w', ü>", ainsi que la résultante (sX4 , , sZj)
en fonctions du temps. Alors le mouvement relatif du centre de gravité sera déterminé par les trois équations ci-dessus, qui sont linéaires et du second ordre par rapport à a, b, c.
Si les axes tournent autour d’un axe invariable par rapport à eux-mêmes et d’un mouvement uniforme, ces équations seront à coefficients constants. Si les axes n’ont qu’un mouvement de translation sans rotation, le problème se résoudra par des quadratures. S’il n’y a pas de rotation, et que le mouvement de translation soit nul ou bien rectiligne et uniforme, alors le centre de gravité se meut dans le mouvement relatif comme si toute la masse y était concentrée, et que toutes les forces qui agissent sur le système y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes.
Si l’on remplace dans (26) M^, M^-,
respectivement
d?x , , dV ,
par w + m __+etc„.
dH, ,dV ,
par TO+m + elc.;
par TO__+m + etc.)
PRINCIPE DE D’ALEMRERT
et que l’on intègre successivement deux fois de suite chacune de ces trois équations, on aura trois intégrales.
Je passe maintenant au second principe , celui de la conservation des aires.
Supposons que les axes n’aient pas de mouvement de translation , et qu’ils soient simplement animés d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’un d’eux , par exemple de celui des Z. Alors w et w' sont nulles, et est constante. S’il n’y a dans le système, aucun point fixe, ou que , s’il y en a un, celui-ci soit pris pour l’origine des coordonnées, alors la somme des moments des forces Xt — mX, Y1 — mY, Z, — mZ, prise pour tous les points, doit être nulle pour chacun des trois axes. Faisons cette somme pour l’axe des Z, et nous aurons , à cause de (17) :
Supposant qu’en regardant le système comme solidifié , les forces appliquées au système aient une résultante nulle, ou qui passe par l’origine; dans ce cas, 2 ( Xtij — Ytx) = o , et l’équation devient
( d2x d2y\ (\jdy-\-xdx\
lm{yië-xW- w 'kTc — y = °’
ou , en intégrant et appelant G une constante ,
(27) Sm (y jj — x ji) — 2m ( * s + y') = c >
qui est une intégrale du problème.
Passons enfin au troisième principe , celui des forces vives.
Ici je supposerai seulement que les vitesses angulaires w, <*/, w" sont toutes les trois constantes, et que les
axes n’ont pas de mouvement de translation. On tire alors facilement de (17)
2 (Xxdx+\xdy-\-Ztdz)r=:lm
dxd2x + dyd'y + dzd/z dt2
— ü)"2 S m ( xdx -f- ydy) — w-Sm (zdz -f- xdx) —
— t o2'Lm(ydy -j- zdz) -f- wt û'l.m(ydx -f- xdy ) + uu'Zm{xdz-\- + zdx) + <*>'(*>" (*dy + ydz) .
En intégrant et appelant K une constante, on a l’intégrale suivante :
1 £m — ^ ) = K + 2 J S (X,<te+ Y,dÿ+
(28) + Z,dz) -f o)"2Sm(f + i/) + ü)'2Xm(22-f x2) +
I + y2 Sm (»/ -j- z2) — 20010' Zmxy — 210'a tâmzx —
\ — 2<o'to"S myz.
On voit que toutes les fois que l’intégration indiquée dans le second membre pourra s’effectuer, la force vive relative du système ne dépendra que de la position de celui-ci. C’est ce qui aura lieu toutes les fois que les composantes X, , Yt , , etc. , auront des intensités
et des directions indépendantes tout à la fois de la situation des points dans le mouvement relatif et du mouvement des axes.
Par exemple , si l’on examinait ce que devient le principe des forces vives appliqué aux corps pesants, dans leur mouvement apparent à la surface de la terre, en tenant compte de la rotation diurne de celle-ci , la formule (28) serait applicable ; car la direction de la pesanteur, en un point donné , serait invariable par rapport à trois axes fixés dans le globe et tournant avec lui. La relation (28) donnerait alors la correction réelle à faire subir au principe des forces vives en raison du mouvement de rotation diurne de la terre.
Si le mouvement de rotation avait lieu autour de
PRINCIPE DE d’aLEMEERT
l’un des axes, par exemple de celui des Z, alors on aurait w = o et a)' — o , et l’on retrouverait la formule dont on se sert pour calculer le changement de force vive relative dans les roues hydrauliqueshorizontales, comme les turbines.
En résumé, on voit que, dans des cas déterminés, on peut obtenir jusqu’à cinq intégrales des équations différentielles du problème. Ces intégrales supposent que l’on connaisse les forces X,, Yn ZM qui correspondent au mouvement de translation de l’origine , et les vitesses angulaires w, w', J'. Mais si, en outre, l’on connaissait, en fonctions du temps, le mouvement même des axes , à savoir les coordonnées de l’origine Ç, *) , £, et les neuf angles de direction a, 6, y, a', 6', y, a”, 6", y', alors on aurait, dans le mouvement relatif, autant d’intégrales que dans le mouvement absolu , car on transformerait chaque intégrale du mouvement absolu en une intégrale du mouvement relatif, à l’aide des formules
xi = \ -(- X cos a -{- y cos a -j- z cos a", i/j = 7) -)- x cos 6 -[- y cos 6' -| - z cos 6". zy — Ç -f- x cos y -| -y cos y' z cos y".
Je vais maintenant appliquer la théorie précédente à la solution de divers problèmes.
PROBLÈME l .
Étant donnés un certain nombre de corps libres dont les masses sont m, m', m", etc., agissant les uns sur les autres par des forces d'attraction mutuelle , fonctions de leurs distances respectives , trouver le mouvement du système par rapport à T un d’eux , par exemple le corps m, considéré comme fixe.
Ici les axes n’ont qu’un mouvement de translation. Les vitesses relatives des points sont compatibles avec
les liaisons du système, puisqu’il n’y a pas de liaisons. On a donc , en conservant les notations précédentes , et appliquant les formules (20) et (17)
s | (x',-m'^ -m'x}) 3x'+ Y,)sÿ'+
dU 2
etc. | = o.
11 en résulte
d^yr
r''m' df-m'Yt==0
, , drz
z t •— m — — m' Zt = o d^x"
X'\ — m" — ^ — - m"X, == o, etc.
Les équations (29) détermineront les coordonnées relatives des corps en fonctions du temps. En effet , il est facile de voir que les forces X„ Yn Zn X'4, Y't, Z't, X'^, Y"p Z"t, etc., sont toutes exprimables en fonctions des coordonnées relatives des différents points.
Dans la mécanique céleste, on emploie bien ce procédé pour étudier le mouvement des différents corps du système planétaire par rapport à l'un d’eux considéré comme fixe, ou le mouvement des satellites par rapport à, leur planète, et, de cette façon, on fait disparaître trois inconnues qui sont les coordonnées absolues du corps relativement auquel 011 cherche le mouvement des autres, mais ce qui précède démontre que la même
PRINCIPE DE DALEMBERT
réduction aurait lieu quelle que soit la loi suivant laquelle les différents corps agissent les uns sur les autres, pourvu que celle-ci soit exprimée par une fonction des distances respectives des masses entre lesquelles la force s’exerce.
De même aussi, après avoir déterminé le mouvement relatif, on peut en déduire le mouvement absolu du corps central, m, qui est accompagné par l’origine des axes mobiles et, par suite, celui de tout le système. En effet, X„ Yt , Zt étant exprimables en fonctions des coordonnées relatives des différents points, deviennent des fonctions connues du temps, après qu’on a déterminé le mouvement relatif. Appelant donc x1,yl, zx les coordonnées absolues de m, on aura æx, __ de - x‘
de ~ 1
et xx, yx et zx s’obtiendront par des quadratures.
Les mêmes choses étant posées que dans le problème précédent , on suppose que le corps m soit animé , outre son mouvement de translation , d’un mouvement de rotation uniforme , avec une vitesse angulaire w" autour d’un axe partant du centre de gravité de ce corps , et conservant une direction fixe dans l’espace. Ceci établi , on demande le mouvement du système par rapport à des axes dont V origine accompagnerait le corps m ou son centre de gravité , et qui tourneraient fixement avec lui.
En appliquant la méthode générale, et faisant usage des formules (20) et (17), on obtient de suite les équa-
DANS LES MOUVEMENTS RELATIFS. by
tions différentielles du problème, qui sont, en prenant l’axe de rotation pour l’axe des Z
X', — m! — m' X4 + mV'V + 2171 w" = o 1 dt2 1 1 dt
r] W ffrvJ
rx — m —-r — m' Y( -f m' co"y — 2 m' <o" -- = o ai ai
z'i — m’ ——m! Zt=o
d^r1’ du"
X", — m"— ^ m"X, + mW -f 2m"to"
ai ai
d2iï' r/r"
+ m" u"2y" — amV — = o cif a 1
Z", — m"— — m" Zt = 0 , etc.
i dt2
De même que, dans le problème précédent, les forces X„ Y„ Zn X'l5 Y't, Z't, etc., s’expriment au moyen des coordonnées relatives des points, et alors les équations (5o) déterminent le mouvement relatif.
On aurait ensuite aisément le mouvement absolu de l’origine des axes ou du corps m; car, en appelant xt, î/p zx les coordonnées absolues de ce point, on a
= X,cos(ü>"<) — Y,sin (ta"l) = Xtsin(a)'7) + Y(cos(w'7)
On passerait facilement de là au moment absolu du système.
Trois corps libres m,m', m", se meuvent sous l’influence de forces d’ attraction mutuelle , proportionnelles à leurs masses , et qui varient en raison inverse du quatre
PRINCIPE 1)E D’ALEMBERT
de leurs distances respeclives. Trouver le mouvement absolu du système , en simplifiant cette recherche par la considération des mouvements relatifs .
Cette question est, comme je l’ai dit plus haut, celle qui est connue sous le nom de problème des trois corps.
Le principe de la méthode consiste, comme je l’ai déjà expliqué précédemment, à décomposer le mouvement absolu en un mouvement moyen commun avec des axes mobiles, et en un mouvement relatif par rapport à ces axes, et à choisir celui des axes qui est arbitraire, de manière à rendre le mouvement relatif le plus simple possible.
Soient les distances
mm' = f mm " = f m'mv == fr
Soient OX, OY, OZ les axes mobiles.
Appliquons l’équation générale (20) et, en conservant les notations adoptées jusqu’à présent, nous aurons :
— mm'jç 8/'- mm"— S/"— mm'—lf,— m — Sx—
d*y d?z , d*x' • , , dV * ,
-m ïë Sÿ SF' 02“; m W ~m W oy -
dt 2 de de * de
— mXt&r — — wiZt<$£ — m'Xfîx' — m'Yfîy' —
— m’Ztoz' — m"Xt%x" — m'Yfiy" — m"Ztoz'r +
— y uu — £ WW
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i'Yi/wJ 8V o.
PRINCIPE DE D’ALEMBERT
Les variations 8 f, $f'\ 8/^ dépendent de celles des coordonnées relatives, car l’on a :
P — (x - d Y + [y — y'Y + [z — *' y r = (oo - x"r + (y - y"Y + (z- *T f\ = (*' - *7 + (</- 2/")2 + (*'- *7,
D’où l’on tire
ry, (g — ^f) (fa — W) + (y— y') (<*y — 8y') + (g — V) (82 — 82')
y (a?*— x”)(Zx'— %x")+(yr— y") (St/r — %y'')+(z'—z'')(%z'— s*")
Maintenant , pour avoir les équations différentielles du mouvement, il ne reste plus qu’à substituer dans (3 1) , les valeurs précédentes de S/1', %f" et 8/^, et «à égaler à zéro les coefficients de 8j-, 8 y, 82; 8&', 8y', 82'; 8#", 8y", 82". Mais le calcul sera beaucoup simplifié par le choix du mouvement assigné aux axes mobiles.
Entre toutes les manières de déterminer ce mouvement, prenons par exemple le suivant. L’origine de ces axes accompagnera toujours un des corps, soit m; un des plans coordonnés, par exemple celui des ( x , y) passera constamment par les trois corps et l’un des axes coordonnés de ce plan, soit OX, passera continuel* lement par l’un des corps, par exemple par m1. On voit de suite que ce mouvement des axes est toujours possible et il en résulte cette simplification que le mouvement relatif d’un des corps est nul ; que celui du second est rectiligne et que celui du troisième a lieu dans un plan, de sorte qu’on a quel que soit (,
DANS LES MOUVEMENTS RELATIFS. Gl
Ces six variables qui sont maintenant connues, sont remplacées comme inconnues par six autres qui déterminent le mouvement des axes, à savoir : X,, Y„ Z, ; <*>, w', iû" et l’avantage de cette transformation consiste en ce que, comme je l’ai fait observer précédemment, les six coordonnées qui disparaissent, entraient dans les équations du mouvemeqt avec leurs différentielles du second ordre , tandis que X*, Y,, Zt y figurent sans différentielles et w, u\ w" avec leurs différentielles du premier ordre seulement.
On a ainsi , les neuf équations suivantes :
Zt= o.
— ïtl—r, — m
xn [(af — #")2-j-i/"2]3/2 dt
v „dx' ,do>" , ,
•Y. 2W — -X'~- XU)CO=0.
* dt dt
,dx' 'du , ,,
dt ~ dt
