PROPOSITION IX

On reprend avec plus de détails le. sujet traité dans la Pwposition VIP, et Fan démontre, que quels que soient, à F origine du mouvement, le sens et la valeur relative de la vitesse (F un satellite par rapport à son astre attirant considéré comme fixe, une relation persistante d'équilibre finira toujours par s'établir entre tes deux forces cF aspiration et d'impulsion qui agissent sur le corps satellitaire-, en conséquence, la force de gravitation qui l'anime finira toujours aussi par se constituer en la loi inverse du carré de la distance et y persistera dès lors indéfiniment.

Mais parmi les corps satellitaires iFun meme astre il existe deux classes distinctes pour lesquelles les conditions de cet équilibre final sont différentes et correspondent , pour les uns à une condition d'égalité, pour les autres au contraire à une condition persistante d'inégalité. Dans le. système dont le soleil est le centre, ces deux classes sont celles des planètes (F une part, des comètes de. F autre.

’ Appliquant aux faits réels de l'astronomie les prineipes généraux énoncés dans le livre précédent, je dois entrer iei dans le détail d’une question que je n'ai fait qu’effleurer dans la Proposition VIP ; et reprenant plus rigoureusement l'étude

MOi;VËHEI>TS (;E^EnAUX.

de la lui d'attraction entre un astre et son satellite, je m'arrêterai de nouveau à l'exaineii du rapport des deux forces qui s'exercent sur les deux hémisphères opposés du corps satelli-

taire, savoir, la force d'aspiration tn d’une part, et celle

d’impulsion de l’autre, v u'exprimaiit plus ici que la vitesse relative du satellite par rapport au centre attirant considéré par abstraction comme centre fixe.

Quelle que soit l’origine du mouvement de ce corps satellitaire, on peut supposer, on doit même supposer, pour se placer dans le cas le plus général, que les forces dont nous [larlons sont primitivement inégales : comme on l'a vu, il doit alors obéir à la plus petite. Mais par le changement progressif de la vitesse et de la ^i'^tanee, cet état se modifiera et le rapport des deux forces prendra ainsi une variation progressive, dont nous allons trouver l'état final. Il ^icut sc présenter, relativement aux vitesses originaires, plusieurs cas que nous grouperons en deux principaux, parce qu’ils mènent à deux conditions distinctes de mouvement régulier persistant, et qu’ils caractérisent deux classes de corps qu’U est d’autant plus important de distinguer, que la théorie les a confondus jusqu'ici dans une similitude plus absolue, malgré les différences qu'ils présentent dans l’hannonic générale des mouvements célestes.

En premier lieu nous supposerons qu’à l’origine la plus petite des deux forces est celle d’impulsion Dans ce cas

l’attraction n’est [las encore réciproque au carré de la distance; nous allons voir comment elle le deviendra. Il peut se présenter en effet deux circonstances à ce moment originaire : ou le corps satellitaire tendra à s’éloigner de l’astre attirant, ou il tendra à s’en rapprocher. S’il tend à s’éloigner, la géométrie montre facilement que la distance D, augmentant plus que proportionnellement à la diminution do la vitesse v, et la vitesse V étant supposée constante, la force ^no^, d’abord plus

NV

faible, finira par égaler la force aspirante -^> nous tombons sur le cas analysé dans la Proposition VU", où la loi

DES LOIS DE l'aSTBOHOMIE.

inverse du carré de la distance s’établit définitivement sous la condition de l'éqnation

4ne»cos>y = in^ (A'),

équation qui pour y = o, on aux apsides, admet comme cas particulier cette égalité plus simple :

NV

Il est même facile de voir que dans l’hypothèse admise, réalité (A) sera la première atteinte , et que par conséquent le mouvement régulier elliptique doit commencer à l’une des apsides de la courbe définitive que décrira le satellite.

Si an contraire le corps satellitaire tend originairement à se rapprocher de l’astre attirant, alors la vitesse tangentielle augmentant par l’attraction en même temps que la distance diminue. l’inégalité entre les deux forces d’aspiration et d’impulsion doit s’augmenter aussi progressivement : le satellite se rapprochera donc incessamment de l’astre attirant, jusqu’à ce qu’il arrive de deux choses l’une, ou qu’il finisse par tomber sur lui, comme font sur notre terre les bolides nommés aérolithes, ou bien que dépassant la normale menée du centre attirant à la direction de sa vitesse linéaire, il commence à s’éloigner de ce centre, ce qui le fera rentrer dans le cas précédemment traité.

Donc 1° dans le cas où originairement la force vive d’tmpulsion rétultant de la vileese propre du satellite sera moindre que la force d’aspiration imanie de l'astre attirant, il arrivera toujours, St le satellite ne finit point par tomber sur cet astre, que l'attraction deviendra, d’une manière permcmente, inversement proportionnelle au carré de la distarux, sous la condition d’ègaliti que nous avons désignée par l’équation (A'), admettant comme valeur première la condition plus simple désignée par (A), gui correspond à l'une des apsides de la courbe définitive.

Passons à l’autre cas, important aussi, où originairement

NV

c’est la force d’aspiration qui est plus faible que la

MOtiVEMKI'iTS UtMÜIIALX.

force d’impulsion ^nv^. Ici l'attraction est immédiatement eu raison inverse dn carré de la distance, la loi de Newton est donc toute établie et persistera de même indéfiniment. Mais ce cas présente pour nous une circonstance pleine d'intérêt et tout à fait caractéristique : c’est que si l’on met l'inégalité supposée entre les forces sous la forme

tnt'» cos» Y > in (A")

(en partant du cas particulier de y = o» ou cosy = I) , cette inégalité persistera indéfiniment, en vertu du principe des aires énoncé au commencement de la Proposition VU", et d’après lequel le produit D» c» cos» y demeure constant dans des temps égaux.

Donc, 2° quand à t origine du mouvement la force d'impulsion du satellite est plus grande que la force d'aspiration émanée du centre attirant, l'attraction demeurera bien d'une manière indéfinie conforme à la loi de Newton, c'est-à-dire réciproque au carré de la distance ; mais l'inégalité originaire des forces persistera aussi d'une manière indéfinie, et les équations de condition désignées ci-dessus par (A) et (A') ne seront jamais satisfaites (*).

•Ainsi la considération des deux cas dt^ignés sons les §§ l’ et 2° nous conduit à l’existence de deux classes bien distinctes de corps satellitaires, caractérisées par deux relations très-différentes de leur vitesse relative avec la vitesse et le volume du corps attirant. Ces deux classes de corps, dans notre système planétaire, n'ont pas encore été suffisamment distinguées par la théorie : dans notre méthode leur séparation est complète et trancht^, et le principe de tontes leurs différences est renfermé dans les deux relations que nous venons de citer. On peut prévoir dès maintenant et la suite montrera que la première de

(*) Ce secand ce* n’nt pa« afaiolu , c’est-à-dire qu’il peut arriver des cirtwaslanocs de vitesse et de direction uii il rentre dans le premier que nous avons traité; mais peu importe , il nous siirTit ici que ce second cas puisse exister, et qu'il ; ait des corps pour lesquels l’inégalité (à”) persisté indéfiniment. Cela siitnt |>oiir distinguer la classe des comètes de relie des cor|M plaiiélaires.