PROPOSITION X

De la nature de V orbite décrite par un satellite autour de son centre d’attraction.

Dans le cas de l'égalité (A') de la Proposition /AT*, qui sera celui des planètes, l’orbite est toujours une ellipse; dans le cas de l’inégalité (A"), ou des comètes, la courbe peut être une des trois sections coniques; on donne des caractères propres à le faire reconnaître .

En raisonnant sur l’hypothèse, déjà vaguement émise avant lui, mais que lui seul sut réduire en loi mathématique, d'une force d’attraction dirigée vers le centre du soleil et qui combinée avec une vitesse initiale, maintiendrait les planètes dans

7 (! I»F.S LOIS I)K l'astronomie.

un orbe curviligne, Mcwton n'a pas seulement découvert et démontré, au moyen des deux premières lois de Kepler, que cette force centrale devait être réciproque au carré de la distance : mais remontant à la solution inverse de ce grand problème, c'est-à-dire supposant qu'un corps soumis à une impulsion initiale soit attiré vers un centre fixe par une force accélératrice assujettie à une telle loi, il a montré encore que selon l'intensité relative et la direction de la vitesse initiale, le satellite devait décrire une des trois sections coniques, dont le corps attirant occuperait un des foyers.

11 ne peut entrer dans nos vues de revenir sur ces beaux résultats du calcul, si bien acquis à la science en dehors de toute hypothèse, et que la méthode infinitésimale permet aujourd’hui de résoudre de la manière la plus simple et la plus complète: Mais nous ne pouvons éviter de faire remarquer ce que, sous le point de vue de son a|q>lication réelle, cette solution de pur calcul a dù laisser d’incomplet ou d’incertain ; et nous indiquerons successivement dans diverses propositious comment les différentes lacunes qu’elle laisse encore subsister pourront être remplies dans la théorie de l’éther , dont le caractère distinctif est de faire entrer la considération des vitesses dans la mesure de l’attraction.

D(‘ la solution très-connue du problème dont nous venons de parler on s'est borné ti déduire en effet quelle relation devrait exister entre la vitesse initiale, l'attraction et la distance, pour déterminer l’une des trois natures de courbe. Si l’on désigne par (A l’attraotion totale à l'unité de distance, par / la distance initiale et par « la vitesse au moment originaire, c’est-à-dire au moment où la section conique commence à être décrite, la courbe sera, comme l'on sait, une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon que le coefficient

sera positif, négatif ou nul.

Or il est facile de découvrir, quant à l'usage de cette condition, que la théorie qui considérait l'attraction comme une

MOUVEMEPiTS GÉI^ÉRAUX. 77

qualité absolue des corps, indépendante de leurs vitesses, ne pouvait tirer de la loi seule du mouvement , actnellemeut observé aucune conséquence importante relativement à son état premier et originaire. Que pouvait-on savoir en effet de complet et d’essentiel à l’égard de cette vitesse initiale, qui n’était liée par aucun rapport direct avec les conditions du problème, avec la nature de la force attractive ? L’obligation de la sup^ poser agissante en un point de la trajectoire définititc restait d’ailleurs comme un obstacle infranchissable à toute conjecture portée au delà de son immédiate application.

Les ressources présentées par la théorie de l’éther à l'égard de cet ordre de questions se montrent beaucoup plus étendues : car la loi d’attraction réciproque au cairré de la distance est bien liée dans cette théorie à la vitesse du satellite dans son orbite ; mais elle ne préjuge rien sur les vitesses antérieures ; à l’inverse de la théorie ordinaire, elle y admet donc des variations, et même elle en indiquera le sens. Enfin par la spécialité des lois qu’elle révèle ou qu’elle explique, elle peut faire concevoir les harmonies planétaires comme placées au-dessus de toute cause de perturbation accidentelle. Ces résultats seront exposés progressivement; Imrnons-nous ici à quelques observations relatives à la nature de la courbe qui peut être décrite par les deux différentes classes de corps que définissent nos deux relations caractéristiques d’égalité ou d'inégalité, je veux dire les corps planétaires et les comètes.

Considérons d’abord le cas des conditions d'égalité (A) et (A’) de la proposition précédente, que nous avons affectées par avance aux corps planétaires. Il est facile de voir qu’au point précis où la relation (A) s’établit et où par conséquent la trajectoire commence à être une section conique, les diverses valeurs contenues dans l’expression {a), caractéristique de la courbe, deviennent

I=D; w=u; et [ir=5nîNV“= t mj» d»— i nu*/* d’où, ^ — U* = {ni — i) «* (g').

Il est clair que l’expression ainsi traduite est toujours posi-

78 DES LOU DE l'aSTHOROMIE.

tive, car nous pouvons toujoars prendre l’anité de longneur, qui reste arbitraire, égale au rayon du petit corps, et le coefficient ni — 1 ou — 1, qui donne le signe, est donc nécessairement positif. I>a courbe, dans le cas de corps formés dans des conditions analogues aux planètes et réalisant l’égalité (A), sera donc toujours une ellipse.

Dans l’antre cas, celui des comètes ou de l’inégalité (A"), pour lequel on a seulement [i = ^nNV*, parce que la force d’aspiration est toujours alors la plus petite, il vient

Sous cette forme générale, l’expression ne parait être exclusive d’aucune des trois sections coniques ; l’inégalité (A") va seulement nous servir à préciser les cas oii l’une des trois pourra se rencontrer.

La condition pour que la courbe puisse devenir une para-

bole serait

— U* = 0, ou SI 1 on veut — =- = -j-

nPTV*

Or comme on a par hypothèse la condition — < nu®, il

faudrait donc que l’on eût aussi -j < nu“, ou ni — 1 > 0,

relation identique à celle que nous avons trouvée pour le cas précédent et qui est toujours réalisée : la trajectoire des comètes peut donc être une parabole.

Pour l’hyperbole la condition est — p- < -^ > et comme

le premier membre de cette inégalité est en outre assujetti à être moindre aussi qu’une antre quantité nu*, il suffira qu’il soit moindre que la plus petite des deux ; or la moindre des

deux quantités nu* et ^ est toujours la dernière , car cette

inégaUté se traduit encore par la condition ni — l >0. Donc en vertu de la même condition l’hyperbole sera encore possible.

Quant à l'ellipse, elle est donnée par l’inégalité condition-

MOtVEMEnrS GÉNÉRAUX.

fiNV^

iielle — ^ > — , à laquelle il faut joindre l’inégalité fondawNV*

mentale (A") ou — < nu^. Or de la combinaison de ces

deux inégalités il résulte encore évidemment la même condition ni — 1 > 0 , laquelle est toujours satisfoitc.

Ainsi les trois courbes sont possibles résumons-en les conditions. Pour l’byperbole il faut et suffit que l’on ait au péri-

bélie > pour la parabole — ^ = j ; pour

l’ellipse

uNV* U»

Or des trois conditions ainsi présen-

tées résulte un moyen simple de reconnaître la nature de la courbe décrite par une comète , d’après l’observation de son périhélie. Pour qu’elle décrive une ellipse ou une hyperbole, il faut et suffit que la quantité de force aspiratrice émanée du soleil, que la comète peut absorber suivant son volume et sa distance, soit plus grande ou moindre que le carré de sa vitesse propre divisé par la distance périhélie ; pour qu’elle décrive une parabole, il faut et suffit que ces deux quantités soient égales.

Nous donnerons plus tard le moyen d’évaluer la quantité NV^ d’où dépend la force aspirante du soleil, lorsque nous aurons parlé de ce qu’en astronomie l’on nomme aujourd’hui les masses. Bornons-nous à constater que dans notre théorie, le volume d’une comète étant donné ainsi que sa vitesse et sa distance périhélies, on pourra par des moyens simples reconnaître si elle décrit une parabole , une hyperbole ou une ellipse, si toutefois l’on peut surmonter la difficulté réelle, qui sera d’apprécier exactement son volume ; car il s’agit ici du volume imperméable à l’éther, et il est difficile de savoir si ce volume se rapporte à la nébulosité tout entière ou seulement au noyau central.

DES IX>IS I)B l'astronomie.