PROPOSITION XI

Lm troisième loi de Kepler, saeoir, que Us carrés des temps des nU'olutions des planètes sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites, loi qui dans la méthode ordinaire nest autre chose qu'un fait d'observation, devient au contraire une conséquence rationnelle de la théorie (U l’éther pour les systèmes de corps qui satisfont à f égalité (A) de la Proposition IX‘, lorsqu’au lieu de les supposer emportés dans l’ espace dé un mouvement linéaire égal et parallèle à celui de leur astre attirant, on les assujettit à la condition, effectivement réalisée dans la nature, de circuler avec lui d un mouvement angulaire égal autour d’un autre centre commun.

On indique à ce sujet un principe propre à la théorie de Fetlier, savoir, que la qiuintité d! attraction perçue par un satellite est proportionnée, à ht différence absolue entre sa vitesse linéaire et celle de son astre attirant autour du centre commun, quel que soit le signe de cette différence. Cette considération , qui sera féconde en résultats ultérieurs , conduit immédiatement à la véritable relation entre les vitesses moyennes , les volumes et la distance dun astre et de son satellite, dans les conditions réelles du système planétaire.

Il est temps d’apporter aux formules des Propositions VII et IX une modification nécessaire et de jiarvenir, par une considération essentielle que nous avons passée jusqu’ici sous silence, à la vérification d’un des plus importants tliéoi-èiiies de l’astronomie planétaire. L’égalité en effet que nous avons désignée par (A) dans ces propositions , si elle était eonservée dans sa forme absolue, conduirait à la constance du produit rW pour

mouvements’ GÉNÉBAL'I.

tous les satellites d’un même astre, résultat sensiblement différent de la troisième loi de Kepler, d’après laquelle c’est le pro-

duit

; OU v-a qui est constant, ( indiquant le temps de

la révolution et a le demi-grand axe de l’orbite.

C’est que pour simplifier les idées dans un premier aperçu, nous nous sommes placés dans une condition un peu différente de celle qui est réalisée dans le système planétaire. Pour n’avoir à considérer que la vitesse relative du satellite, nous l’avons supposé animé h chaque instant d'une vitesse pour ainsi dire latente, égale et parallèle à la vitesse absolue de l’astre central, qui devenait ainsi relativement fixe. Mais cette condition n’est point réalisée dans le système planétaire, pentétre même n’est-elle point réalisable. Chacun des systèmes de satellites que nous connaissons est emporté en effet, avec la planète dont il dépend, dans un mouvement de ârculation autour du centre général, le soleil , et l’ensemble des planètes ellesmêmes est emporté avec le soleil , an moins est-il naturel de le penser, autour d’un antre eentre commun que l’avenir fera sans doute connaître. La circulation en on mot parait être le caractère général des mouvements célestes. Or il est très-facile de comprendre qu’une double circulation ne peut lais.ser réaliser la condition d’une vitesse linéaire toujours égale entre un astre et son satellite relativement à leur centre commun. Prenons l’exemple d'une planète et de son satellite autour do soleil : aux oppositions, le satellite a plus de chemin à parcourir que la planète pour on même espacement angulaire, et pour le décrire dans le même temps il faut que sa vitesse linéaire soit plus grande ; aux conjonctions la vitesse solaire du satellite est moins grande que celle de la planète par la raison justement contraire ; ce n'est qu’aux quadratures que l’on peut attribuer à ces deux corps une vitesse égale de translation autour do soleil , car leurs rayons vecteurs solaires sont alor sensiblement égaux (’).

^ (*) Noui n’entendoos pu faire enlrer ici en considération la différence de ritesse

ÿ qui résidie de la variation do raltraclion solaire avec la distance ; cela se rapporte

"au problème des {lertorbalions ou des trois corps, et forme un sujet à pari , que

82 DM LOIS DE L’âSXnOISOMIC. '

ür (loiiü les considérations auxquelles nous nous sommes livrés pour obtenir la persistance de la loi d’attraction réciproque au carré de la distance, la fixité relative de l’astre attirant était obtenue en décomposant la vitesse totale du satellite eu denx parties dont l’une fût toujours égale à celle du premier astre ; mais nous venons de voir au contraire que dans te mouvement circulatoire simultaué l’égalité des vitesses linéaires est impossible ; l’égalité n’existe que dans les vitesses angulaire!. Il s’agit d'examiner quelle influence cette circonstance peut avoir sur les conditions de l’attraction : cette analyse se rattache à des considérations assez délicates , qui ont besoin d’étre suivies avec quelque attention, parce qu’elles sortent complètement du point de vue ordinaire.

^ L’attraction a toujours été regardée, depuis Newton, comme une force pour ainsi dire métaphysique , qui dans l’exercice de son action n’admet ni le temps, ni l’espace, ni l’impénétrabilité. 11 n’en est pas de même dans notre méüiode; l’aspiration qu’exerce un astre en mouvement sur les corps qui l'environnent est, dans la théorie de l’éthcr, un e^t éminemment matériel, et successif comme le déplacement qui le produit. La quantité relative qui en est perçue par le satellite est donc une dépendance de la vitesse; mais, et ceci est une remarque digne du plus grand intérêt, cette quantité d’aspiration perçue dons un temps donné n’est point proportionnée à la vitesse du corps attirant ni à celle du corps attiré ; elle est proportionnée à leur différence de vitesse autour du centre commun de circulation.

. Je m’explique.

'A chaque déplacement linéaire de son diamètre, le corps at- ‘ tirant, la planète, envoie pour ainsi parler ses ondes aspirantes ■ I dans tont l’espace ; toutefois si le satellite, à part son mouvement

BOUS écartons en ce moment, pour nous maintenir dans irs conditions élémentaires de l'astronomie. Nous y reviendrons un peu plus tard , à un point de vue de simpliOcation; mak quelque intérêt qn’il puisse avoir pour l'astronomie positive , ce '* sujet ue formerait ici qu’uoe complication inutile et presque étrangère ê l'objet ’ foodamental , lequel concerne la vitesse partielle que l'on peut nttribuer an satel- * lile pour que son astre attirant puisse être considéré comme relativement fixe dans l'ensemble du système.

UOUVIMETTS CÉ;\ÉIUUX. 83

relatif dans sou orbite, se transportait autour du centre conunun d'un mouvement égal et parallèle à celui de la planète, U ne percevrait jamais que les aspirations dirigées suivant la normale à la direction de ce mouvement, et par conséquent il percevrait dans des temps égaux des quantités d’ondes aspirantes toujours égales, en supposant la planète douée d'une vitesse sensiblement constante. Mais si, pour réaliser des déplacements angulaires égaux par rapport au centre commun , on doit imaginer que le satellite se transporte linéairement plus vite ou moins vite que la planète , il recueillera sur sa route non-seulement les aspirations normales au mouvement de celle-ci , mais encore d’autres aspirations voisines, parmi celles qui concourent simultanément vers la planète de tous les points de l’espace ; car soit que sa vitesse, soit moindre on plus grande que celle de l’astre attirant, ces ondes aspirantes se déplacent alors relativement à lui ou bien il se déplace relativement à elles. D’où il est facile de conclure que la quantité d’aspiration perçue est ainsi toujours augmentée , et qu’elle est proportionnée à la différence de vitesse autour du centre commun, quel que soit le signe de cette différence.

Il s’agit maintenant d’apprécier riufluence de ce résultat sur le mouvement moyen du satellite, car c’est à ce moyen mouvement que s’appUque le théorème de Kepler. L'inégalité de vitesse par rapjjort au centre commun passant, pendant la n-volution totale du satellite autour de la planète, par deux valeurs milles, les quadratures, et par deux maxima sensiblement égaux an signe près, ce qui ne change pas, ainsi qu’on vient de le voir, le sens positif de l’action , il est facile de rcconnaitrc que la quantité d’attraction perçue moyennement par chaque satellite d’une même planète est proportionnée a la moitié de la difTérence maximum, ou de celle qui a lieu à l’opposition par exemple : condition qui' traduite en calcul suffirait d’ailleurs pour comparer entre elles les attractions des divers satellites d’une même planète. Si l'on veut toutefois faire une comparaison plus étendue , où par exemple la vitesse du cimtrc attirant suit susa'ptiblc de valeurs diverecs, il faut rap[H)rter cette difféireiice de vitesse à celle de la planète prise pour unité, ou

84 DES LOIS DE l'aSTEO^OMIE.

plutôt à son carré, qui est le véritable module de l'attractioii.

Appliquons donc ces considérations et soit, à l’opposition par exemple, A le rayon vecteur de la planète, A - 4 - 5 ralui du satellite, par rapport au soleil; soit encore V la vitesse moyenne de la planète, u celle qui doit être attribuée au satellite pour un égal déplamiicnt angulaire ; il est évident que les vitesses u et V sont entre elles comme les rayons de courbure, que dans le cas actuel nous pouvons supposer se confondre sensiblement avec les rayons vecteurs, ce qui donne :

dou — Tî- = T--rr ()

Tel est le coefficient qui doit affecter la quantité d’attraction perçue dans l’unité de temps par chaque satellite , et par la moitié duquel il faut multiplier par conséquent l’expression NV*

tn qui représentait cette quantité dans nos formules an-

térieures. L’égalité (À) des Propositions VII et IX devient alors ;