PROBLÈME

Assigner les causes et la vraie valeur de t augmentation de pesanteur, de l’équateur aux pôlés de la terre.

Iài valeur de C accroissement total se présente sous la

forme très-simple^-, 7. étant le rapport de la gravité à la

force, centrifuge sur C équateur : pour la Terre, l’application de cette formule conduit au chiffre, de ou o,oo54, identique avec le résultat des observations du peiuîtde.

Les variations progressives dans la longueur du pendule à secondes aux diverses latitudes indiquent clairement un accroissement de la pesanteur, de l’équateur aux pôles de la terre, et donnent la mesure rigoureuse de cette augmentation , que les plus récentes évaluations font égale dans sa totalité à 0,0054 ou 7 ^ de la pesanteur équatoriale, et indiquent de plus être proportionnée au carré du sinus de la latitude.

ROTATIOHS.

Dans la Uiéorie de l'attraction newtonienne ce phénomène relève de deux causes : la force centrifuge d'une part , qni diminue la gravité équatoriale; de l'autre l'amoindrissement de la, distance qui sépare les pèles du ceutre attirant , par suite de l'aplatissement du sphéroïde. L'ellipticité et l'accroissement de |)csanteur sont donc liés, dans cette théorie, par une solidarité mutuelle très-étroite ; et les recherches des géomètres appliquées à cette hypothèse de l'attraction particulaire n'ont pu avoir cet heureux résultat , de dormer au problème de l'accroissement de pesanteur une solution immédiatement vérifiable par les indications incontestables du pendule et par conséquent indépendante de toutes les inaM-titudes qui s’attachent à la mesure directe des arcs du méridien. Les résultats numériques fournis par cette relation des deux problèmes forçant d’ailleurs de renoncer à la loi si simple de l’homogénéité , il a fallu recourir à diverses hypothèses plus ou moins arbitraires sur la distribution des densités dans l’intérieur du globe, et l'on n'a pu ainsi sauver une difficulté que par une incertitude.

La théorie de l'étlier, au contraire, priante ici un caractère différent sous le rapport des causes et sous celui des résultats. Aux deux causes que nous venons de rappeler elle en ajoute une troisième , qui imprime précisément au phénomène son caractère distinctif et principal; cette cause, qui est l’impulsion produite dans l’éther par les forces centrifuges , ne dépend de l’aplatissement que d’une manière à peu près négligeable; elle est antérieure à toute déformation du corps tournant , et il arrive que par suite d’une compensation des forces qui naissent de cette déformation même , elle demeure seule pour donner à la formule sa vraie valeur , qui est précisément égale à celle que fournissent les observations du pendule. Cette précieuse vérification viendra du reste se présenter d’elle-mème par le calcul , lorsque nous aurons fait connaître la nature et le mode d'action de ces forces particulières à la tliéorie de l'éther , et exposé les principes sur lesquels repose la solution qui lui est propre.

Nous avons expliqué déjà eomment , dans le mouvement de rotation planétaire, chaque élément de la surface tournante imprimant à l’éther une certaine impulsion centrifuge , déter-

DES LOIS DE L’ASTBO?iOMIK.

mine de toutes parts une réaction du fluide vers le vide formé ^ par ec déplacement incessant, absolument comme il arriverait si cette partie de la suiYacc était un petit corps indépendant, se transportant dans l’espace d'un mouvement circulatoire autour de l'axe de rotation. Cette réaction (générale du fluide déterminée par le mouvement d'un élément particulier du corps, se fera donc sentir sur tout le reste de sa surface , comme pour le mouvement de translation, mais avec ce caractère particulier, que l'énergie en sera variable suivant la loi des distances de chaque point à iélèment que l'on considère, car celui-ci doit être regardé comme un centre de mouvement individuel. C’est là un caractère tout différent de la rt-action du fluide déterminée par la translation du corps entier, laquelle produit une pression uniforme sur tous les points de la surface. I.a rotation ajoute, comme on vient de le voir, à cette pression, mais elle y ajoute d'une manière doublement inégale, dont le calcul peut évaluer les variations locales, puisque la loi en est connue. Nous nous proposttas ici d'examiner quel est le surcroit de pression , et par conséquent de gravité , imprimé par cette cause aux deux points les plus distincts de la surface terrestre , c’est-à-dire à un élément du pôle et à un élément de l'équaleur.

Il y a lieu de faire au préalable uue observation importante, parce qu’elle nous permet de simplifier immédiatement le problème : c’est que les petites forces considérées ici existent par elles-mêmes indé])endammcnt de toute déformation du coqis sous l'empire de la rotation; que cette déformation ne doit exercer sur leurs différences locales d’intensité qu’une influence négligeable, et que par conséquent nous pouvons saas inconvénient, dans l'étude de cette première action , conserver au corps la forme sphérique, d'où résultera pour le calcul une notable simplification. Il ne s’agit pas ici en effet des variations d’une grande force comme la pesanteur totale, par l’effet des diverses distances au centre de la terre ; il ne s’agit que des variations de petites forces , qui ne sont d^à que de faibles fractions de la jiesanteur : leurs différences par suite de l’aplatissement pourraient donc être considérées comme du second ordre et négligt^ comme telles, quand bien même

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elles ne s’amoindriraient pas ' encore par nnflnence des distances. ‘ ' ■

Cela posé, j'aborde le problème , et je commence par recher cher le surcroît de pression que produit sur le pôle la somme des réactions qui dépendent des forces centrifuges de tous les points de Ja sphère.

P , Soit PMEP'N uu méridien de la terre

supposée sphérique , et PP' Taxe polaire; sélt R la valeur du rayon, E lu gravité à l’équateur agissant sur Pu-' nité élémentaire de surface; soit aussi

généralement - le rapport de'la force

eentrihige à la gravité sur l’équateur, rapport égal pour la terre’n 5 ^. Prenons un élément quelconque M placé à la latitude variable L, et soit dL l’arc infiniment petit qui> forme cet élément. La force centrifuge qu’il tend à imprimer à l'éther dans son E

mouvement est cos L; et pour avoir l’impulsion produite

parla wne entière, de hauteur inllniment petite, que décrit l’élénaent dans sa. révolution, il faut multiplier cette force par la surface de l’anneau différentiel, qui est 2ir.RcosL.RdL; ce qui donne pour la somme des forces émanées de toute la ïone

airR* - cos^ïi.dL.

La . réaction de pression que chacune de ces forces produira sur le pôle P est égale à la force mèdle divisée par le carré de la distance. Or il est facUe de voir que pour lin parallèle MM situé dans l’hémisphère Ic plus voisin dq pôle P, le carré de la distance, ou PM , est égal i\ R* cos^'L ^ 1 - R* (< — sin L)* ; dans l’hémisphère le plus éloigné l’on a PM' =R* cos* L-|-R*(i -t-sin L)’. L’intégrale de tontes les réactions émanées des différents points de la sphère entière pourra donc être mise sons la forme