PROBLÈME

Trouver la formule de F aplatissement terrestre, ou en généré le rapport entre les deut axes d’une - planète soumise à la rotation.

J’im^ne, comme on le fmt à l’ordinaire, un canal recourbé aboutissant au pôle et à l’équateur, et dont lea deux branches se joignent à angle droit au centre de la terre, supposée à l’état fluide (*). Mais au lieu de supposer ces branches cylindrique, je leur donne la forme de .secteurs, ou si l’on veut, celle de cônes touchant au centre parleu r sommet et sous-tendant par leur base au pôle et à l’équRtear l’unité élémentaire de surface ; de telle sorte qu’en Véiiq du ^léôrème sur l’homogénéité intérieure à. ■

l*j Oo ilii nuuiu renrennânt iidb couche fluide suriisainineiit epaiwe, car ou peut San» rlwnïer r<h|uUibre Milfilifier par la pensée une portion Ht* canaîn. j , ,

BOTATIONS.

contenu dans la Proposition XVDI, si l’on subdivise ces deux branches en petites parties d'égales longueurs par des sections transversales, chacune de ces petites divisions contienne la même quantité de, matière, ce qui réduira la question de masse à line question de longueurs. ' '

Pour traiter le sujet dans toute sa généralité, la condition d’équilibre est que les quantités de mouvement totales imprimées aux molécules dans les deux canaux soirât égales ; c’està-dire que si P indique la pression totale sujr le pôle, E la pression totale sur l’équateur, a et 6 étant les deux demi-axes .de l’équateur et do pôle ou les longueurs des canaux (longueurs qui représentent, comme nous venons de le voir, les quantités de matière elles-mêmes), on doit avoir la condition d’égalité

P6 = Ea (1). ■

Les pressions qui agissent extérieurement sur l’extrémité des canaux, nous les avons indiquéës d^à dans la proposition précédente ; mais il s’agit d’évaluer de plus les forces centriftiges qui, animant individnellément les particules de la colonne équatoriale, viennent en déduction de la pression sur l’équateur. Supposons à cet effet que a est un nombre trè^-grand, et divisons la colonne équatoriale en ce nombre de parties ; chacune d’elles sera animée d’une force centrifuge proportionnée 4 ^ distance au centre (celle de l’équateur étant E, ou plus ^

néralement - ), et la somme des quantités de mouvement pro-

duites par toutes les parties de la colonne, en -sens inver^.,de la pression qui agit sur l’équateur, sera représentée par la siiite

dont la sommation, par le calcul intégral aux différences lihies,

donne pour résultat

•i). Mais si l’on veut que

aSg.a 1

la quantité a soit mise en évidence, il faut rendre l’analyse plus exacte encore, en supposant que chacune des petites divisiofasj au lieu d’étre animée tout entière de la force centrifuge quifagilt à son extrémité, est animée de celle qui agit à lôn point milieu, . ce qui donnera la série

122 UES Lurs DE l'asïruhomie.

dout la somme est ^ a. De sorte que la différence des quantités de mouvement qui agissent daps la colonne équatoriale est égale à Ea(i — ou plus généralement Eu et

Icquation d'équilibre deviendra

P6 = Eo(.-^) (2).

Four eu tirer 1e rapport des axes, U s’agit d’y remplacer P et E par leur valeur. Or si nous tous reportons aux données et aux observations finales de la proposition précédente, il est clair que l’ou peut remplacer P par l’expression

TT a Cu — b) If — I

iH —

en représentant par E la différence de gravité résul-

tant de la distance au centre, et en tenant compte de la pression

complémentaire équatoriale

If — I

E que fait naitre, comme

nous l’avons vu, l’usage de la surface élémentaire I au lieu de la surface élémeutaire n , sur laquelle agissent réellement les forces d’après les nécessités delà figure sphéro'idalcdu corps. Toutes ces valeurs doivmit entrer dans l'expression de P et non pas dans celle de E que nous avons prise pour uuité de comparaison ; P n'est plus en effet pour nous que l’unité de force E, augmentée de la différence polaire.

Mais remarquons de plus qu’en évaluant à — E l’accroissement de gravité qu’apportent à l’équateur les forces de rotation,

on a fait abstraction de la petite pression équatoriale - , effet de ’ 2

la réaction sur l’élément lui-méme, mais qui était détruite par

la force centrifuge qui agit à la surface de l’équateur. Or cette

petite pression n’est détruite que pour l'élément superficiel, elle

n'en doit pas moins être comptée comme agissant sur toute la

nOTATIUNS.

ooloime et portée en augmentation de la pression E à l'équatenr, puisque dans la sommation des forces centrifuges pous tenons compte de la petite force qui lui est contraire. Cela tmd a augmenter la valeur fondamentale de E, ou plutôt à diminuer la différence qui a servi à former^ dans le premier membre, la valeur de P ; la force équatoriale y doit être représentée non

plus par E seulement, mais par.^i — E. Cela posé, l’équation (2) deviendra, en supprimant le signe E commun aux deux membres c

relation qüi, par un focile artifice de calcul, donne pour la valeur de l’aplatissement rapportée à l’axe équatorial :

VÉRIFICATIONS. — Ccttc formule très-simple qui a, compte celle de l’accroissement de pesanteur, l’avantage de donner pour la solution du problème une mesure complètement indépendante, s’applique avec une précision très- satisfaisante aux deux aplatissements directement observables, ceux de Jupiter et de Saturne, et à l’aplatissement terrestre d’une manière suffisamment concordante avec la moyenne des eUipticités si variables que l’on peut déduire de la mesure des arcs de méridien.

Pour Jupiter, le rapport z de la gravité à la force centrifuge sous l’équateur est égal à 12,15 ; la formule donne donc pour l’aplatissement ou sensiblement-;^; or l’observation apprend que l’aplatissement de Jupiter est environ

Pour Saturne, z = 5,56 ; la formule donne à très-peu près ^ ; or d’après des observations assez incertaines l’aplatissement de cette planète parait être d’environ g : l’approximation semblera donc ici un peu plus éloignée ; elle l’est moins encore cependant que les données de la tliéorie ordinaire, qui ne fournissent que des limites ; on verra d’ailleurs plus loin que cet écart de l’observation pouirait bien n’ètre qu’apparent et tenir à une dépression, polaire, invisible dans les profils: c'est cc qui pa-

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DES LOIS DE l’astronomie.

raltra plus vraisemblable lorsque nous aurons traité de la courbure des surfaces tournantes (Proposition XXIV), et montré qu’il existe suivant tonte apparence une dépression aux pôles dans le cas des fortes rotations.

La rotation observée dans la planète Mars conduit à z = 230 ce qni donne pour l’aplatissement ; il sermt difScilé de le comparer à un résultat d'observation : car les (d)servations qui donnent l’aplatissement de Mars sont plus qu’incertaines. Herschel a cru pouvoir conclure des siennes le rapport mais, comme Laplace le remarque, cette apparence est trèsprobablement produite par les phases très-sensibles de cette planète. L'a aplatissement aussi considérable semblerait en effet très-peu en rapport, dans toute théorie, avec la valeur de la' force centrifuge de Mars, déduite du temps de sa rotation ; et de plus, la comparaison semble montrer qu'il y a dans les rotations planétaires une sorte de progression en rapport avec les distances au soleil et le volume des planètes dont nous essayerons plus tard de montrer les causes : l'aplatissement répond bien à cette progression.

Quant à la Terre, où z = 289, l’a[datis8ement donné par la formule est d« ; si l'on réfléchit aux ellipticités si diverses fournies par la mesure des arcs de méridien, et qui vont jusqu’à on< jugera fadilement qu’il reste autant de probabi-

lité pour que le, véritable nombre ' s’approche plutôt de que de chifffe adopté par Laplace et qui est d’ailleurs peu différent du nôtre. Lé résultat de Laplace a été fourni à cet illustre géomètrè par le calcul de l’action de l'équateur tertéstre sur la lune et sa comparaison avec l’observation des in^lités lunaires : mais cette métliode, intimement liée à l'hypothèse de l'attraction moléculaire, est, au point de vue de l’aplatissement terrestre, entachée d'uné sorte de pétition de principe. Car si cette hypothèse elle-^même n'est pas exacte, l'action de l’équateur terrestre peut n’être point telle que l’indique la théorie Ordinaire, 'ou n’ètre point liée à l’aplatissement de la même manière que l'indiquerait cette théorie (*). ■ -.W' b '♦

(*) La préceœion itea équinole* et la nutation ilc l'axcilo la terre dépendent aussi

BOTATlOnS.

Au reste les comparaisons précâledles montrent qu’en géné-. rai notre formule donne des résultats on peu forts. Cela tient, nous le pensons, à ce que dans le premier membre de l’équation (3) la force E, qui affectait tous les termes, n'était pas pour tous exactement la même que dans le second membre ; ainsi

elle était un peu moindre pour le terme E, qui ne se

rapporte guère qu’à la masse de translation ; en le rapportant à la masse totale nous l’avons donc quelque peu augmenté, et par conséquent avec lui la pression qui pèse sur le pdle. Ceei sera éclairci encore mieux dans le scholie suivant.

SCHOLIE.

r oneordance des deux formules de l’aplatissement et de Vaecroissement de pesanteur, et virifkaiion du théorème sur l'équilibre des forces de figure.

Les çonsidérations que nous avons exposées à la fin de la proposition précédente, au sujet de l’accroissement de pesanteur de l’équateur au pôle et sur l’équilibre (ks forées qui naissent de la forme du corps tournant, nous fournissent ici une autre sorte de vérification d’autant plus précieux, qu’elle dqit servir à confirmer la solution de l’iraportaqt problème auquel nous nous reportons. Si en effet dans l’équation (3), qui ndus a servi à calculer d’une manière exacte et complète l’aplatissement du sphéroïde, on introduit la condition de l’égalité des forces de figure telle que nous l'avons présentée dans la proposition précédente ou

de l’aplalissement terreatre, mais par un principe de calcul qui, se ratlacfaant beaucoup plus dtroitement aux lois générales de l'attraction des corps, n’est de nature à porter par lui-même ni atteinte ni confirmation à notre théorie. Il est remarquable toutefois qu'il indique pour l'aplatissement de la terre (Laplace, Exposition du système du monde, liv. IV, cliap. IV)laiin)ite , beaucoup plus rapprochée de notre nombre ^ que du cliifTre ji; qui a été adopte par Laplace d’après sa tlt^rie de la lune. ‘

120 I»ES LOIS BE l'astronomie.

cette équiitioii (^) se réduit à la forme très-simple

aToù l’oD tire une valeur de l'aplatissement très-approchée de la précédente :

L'égalité (5) elle-mèmc fournit une valeur seasiblement identique

» /■ #1 TÇ —, 1

2ï -t-ir — I ' '

Les différences légères qui existent entre les résultats de ces trois formules tiennent sans doute à une circonstance délicate, d’une importance peu considérable d’ailleurs, celle de savoir dans quel membre de l’équation l’on doit tenir compte de la £

petite pression - . Car si cette petite pression était portée dans

le second membre de l’équation (3) débarrassée des forces de figure, elle devient

d’où l’on tire, comme dans la valeur (4) :

Quant à régalité'(5), elle donnerait aussi une valeur égale, si l’on tenait compte de deux forces polaires que l’on a négligées pour la clarté du calcul et dont la somme est sensiblement égale

à , qu’il faudrait ajouter au premier membre de l’équation (5) :

ce qui revient sensiblement à diminuer de \ les deux termes de

la valeur (7), et par conséquent l’amène a devenir réellement identique en résultat avec notre expression (4).

Concluons donc que les trois valeurs de l’aplatissement sont réellement les mêmes, et sensiblement égales en résultat à la valeur (4) ou

BOTATIOBS,

a — 6 iT — I

a az-f-ic

De là il y a lieu de conclure aussi l’égalitd réelle entre les forces de figure, que de simples considérations philosophiques nous avaient fait préjuger dans la proposition précédente ; et par suite nous en conclurons la rigueur du chiffre de l'accroissement de pesanteur que nous avons trouvé et qui est rigoo- • reusement conforme aux observations du pendule :

Ainsi donc de trois manières diverses nous arrivons à un même résultat, toutes trois concourant vers une expression simple à la fois et véridique de l'aplatissement planétaire. Et de la concomitance de ces trois résultats ne dépend pas seulement la solution du problème qui est ici en question, mais encore le dénoûment séparé d’une question demeurée jusqu’ici sans solution directe, à savoir, l'accroiuement de pesanteur de l'iquateur au pôle, dont la valeur trouve ici, comme nous l'avions promis, une pleine confirmation, et qui est ainsi résolue par notre méthode d’une manière indépendante, avec une précision et une simplicité inespérées.

proposition XXIII.

V accroissement de pesanteur pour chaque parallèle, de FéqUaleur au pôle de la terre, suit la loi directe des carrés du sinus de la latitude.

La résolution do problème de l’aceroissement de pesanteur . ne serait pas complète si , se bornant à trouver sa quantité totale entre le pèle et l'équateur, on négligeait de rechercher la loi qu'il suit pour les diverses latitudes, loi que l’ensemble des observations du pendule porte à formuler avec une simplicité à laquelle il serait précieux que la théorie pût atteindre. Nous, y sommes parvenus par une considération particulière qui ne

l'28 DES LUIS DE l’aSTBONOMIE.

nous satisfait pas complètement, parce qu’elle ressort plutôt d'ùnc sorte d'induction d'analopie que d’an raisonnement rigoureux : nous allons néanmoins l’exposer, & cause de sa simplicité, et sinon comme une solution réelle et analytique du problème, du moins comme une assez heurease vérification des données expérimentales.

Pions avons trouvé précédemment que la pression totale produite par l’action des forces de rotation à distance était pour le K E

pMe ^ ^ 5 è l’équateur — - , pression que la nécessité de la

forme fait exercer sur une surface élémentaire égale à Je remarque qne la moitié de l’élément équatorial étant située dans un hémisphère et la moitié dans l’autre, si l’on ne considérait comme faisant équilibre à la demi-colonne polaire que la zone éqnatoriale d’un seul hémisphère, ce qui semble admis-

TT

sible, l’élément de surface à 1 équateur ne serait plus que

Or si, dans une telle répartition de l’équilibre, nous appliff* E

quons la pression — à ce demi-élément seul, la pression sur

l’unité de surface serait, à l’équateur comme au pôle, n

Transportons la même considération à un parallèle quelconque, les .lois de l’analogie portent nécessairement à conclure que la pression sur l'unité de surface ainsi obtenue étant la même au pôle et à l’équateur, sera égale partout, et qne par conséquent

sa valeur, sur le parallèle de latitude L, sera toujours k -•

P Mais il est facile de voir que dans cette

manière de considérer l’équilibre des colonnes fluides, nous avons, pour chaque

demi-éléments opposés M et N, du même méridien, à celle des deux demi-éléments voisins M et M', pour équivaloir à la pression exercée sur l’élément polaire P; or cette circonstance est importante , attendu l’influeacc mutuelle

HOTATIONS. 129

des parties voisines dont ont est obligé de tenir compte en rap- (Mrtant à l'unité de surface la pression exercée sur la surface élémentaire -, ainsi que nous l’avons indiqué dans la dernière partie de la Proposition XXI. Telle sera donc la cause qui" ‘ viendra rompre l'uniformité de la pression à laquelle cette nou- .vclle considération paraissait nous conduire. Or son influence est facile à apprécier : il faut de cette pression uniforme retrancher l’effet d’un voisinage qui n’existe plus, c’est-à-dire, l’effet produit par le demi-élément M' que nous supprimons dans le nouveau calcul, et dont nous avions tenu compte en premier lieu dans ce que nous avions appelé l’équilibre des forces de figure. Cet effet n’est autre que l’impulsion centrifuge du demiélément M' : à l’équateur il est égal à la force centrifuge équa-

toriale - multipliée par la surface du demi-élément c’est-

à-dire à ^ IV - , ce qui est parfaitement conforme à la réalité;

c’est en effet cette quantité qu’il faut retrancher de la pression polaire ponr obtenir la vraie pression équatoriale. Nous appliquerons donc le même calcul à l’élément du parallèle de latitude L, mais avec une nécessaire modification. A cette lati-

tude la force centrifuge est - cos L; quant à la surface du

demi-élément, sa grandeur sera moindre - que pour l’équateur, attendu que nous considérons T ensemble (T une zone faisant de tontes parts équilibre à la colonne polaire, et que chacune de ces zones doit être divisée comparativement au cercle équatorial en un nombre égal de parties ; que par conséciuent la grandeur de chaque partie, ou élément utilement agissant dans cet ensemble, est avec l’élément équatorial dans le rapport du cosinus de la latitude au rayon de la sphère. La surface du demi-élément ne produira donc , com|)arativement à celui de l’équateur, qu’on effet égal à cosL; multipliant par la force centrifuge du parallèle, on en conclura que la quantité à retran-

cher de la pression uniforme, pour la latitude L, e-st \ et mettant en regard les deux résultats, l’on aura ainsi :

» -Ecos^L;

DES LOIS DE l'aSTROKOHIE.

PressioL réelle “ L. . . ^ E - i ^ Ecos* L,

sur l’nnité de surface ; ^ l’équateur..:.. -E — i-E.

La différence est (i — cos^L), et par conséquent son

rapport avec la gravité équatoriale E sera sin^L. Il est donc

égal à l'accroissement total de pesanteur entre l’équateur et le l>ôle, multiplié par le carré du sinus de la latitude. Ainsi les accrois.scments de la pesanteur, rapportés à la gravité équatoriale prise pour unité, sont proportionnés au carrt‘ du sinus, on ce qui est la même chose, la diminution de la pesanteur à partir du pcMe est proportionnée au carré du cosinus de la latitude : c’est en effet ce qui a été reconnu expérimentalement par l’ensemble des variations dans la longueur du pendule aux divers points du méridien terrestre.

L’induction par laquelle nous venons de parvenir à cette vérificatiou n’a point sans doute la rigueur complète d’un raisonnement géométrique ; elle a l’avantage seulement de mener par une voie simple à un résultat conforme à la vérité, et de montrer que nos principes et notre métliode, sans être jKirvenus au point de perfection où pourrait les conduire une main plus savante, ne se refusent toutefois dès maintenant à aucune dcs^*. grandes lois fournies par l’observation directe.