PROPOSITION XXIV

' • PROBLrâE.

Trouver C équation de la courbe méridienne des corps plant' taire s soumis à la rotation.

Cette courbe est formée de deux parties tVellipse excentriquement placées et formant ainsi une dépression • vers les pâles.

Nous ne pouvions non plus terminer oc qui se rapporte è la

ROTATIOHS.

question des corps tournants,' sans appliquer notre méthode à la recherciie d'un problème qui semble en être la généralisation la plus complète, bien qu’il ne représente guère qu'une question de pure curiosité : je veux parler de la forme totale qui est affectée par ces corps, et de la nature de leur courbe méridienne. Ce sujet, dans la théorie ordinaire, ressort d'une analyse très-élevée, et ne parait point même admettre de solution directe et al)solue; il est donc intéressant de voir si de l’emploi de principes différents ne ressortira pas nne notable simplification, qui permette d’aborder de front le problème.

Les propositions antérieures montrent avec quelle facilité, eu même temps que justesse, le principe de la moindre action peut s’appliquer à la recherche du rapport des axes et de l'accroissement total de pesanteur de l’équateur au pèle. Cela nous a fait naitre la pensée d’en faire une application .semblable à la reclierche, plus difUcile en apparence, de la courbure générale du méridien. La première application une fois connue et véil^*' fiée, celle-ci va devenir fort simple.

Le principe du calcul consiste, à mettre en équilibre avec la colonne équatoriale une colonne quelconque joignant le centre à un des points de la surface ; et prenant pour inconnue la Ion- ■ gueur même du rayon vecteur correspondant à chaque latitude, parvenir ainsi à ce que l’on nomme l'équation polaire de la courbe, pour la ramener de lè an système des coordonnées ordinaires. Cela posé, nous nous servirons du théorème particulier que nous avons signalé dans les propositions antérieures comme se rattachant au principe de la moindre action, et que nous avons trouvé si bien vérifié par la formule de l'aplatissement, savoir, qu'il y a équilibre entre ce que nous avons nommé les forces de figure, c'est-à-dire entre celles qui sont nécessitées par la forme spliéroidale du corps tournant et celles qui naissent de sa déformation progressive sous l’influence de la rotation. Nous avons vu en effet qu’il en était ainsi entre le pèle et l’équateur, et pour justifier philosophiquement cette heureuse particularité, nous avons dit que la déformation du corps s'effectuant en vertu des forces de rotation individuelles, jusqu’à un certain poiut indépendantes de la forme, développe en même temps un

132 UES LOIS DE L ASTilOnOMIE.

accroissement progressif de la gravité dans les parties polaires qu’elle rapproche dn centre ; qu'en conséquence, par suite du principe de la moindre action, cette déformation doit s'arrêter dès que l'accroissement de gravité qu’elle fait naître est en équilibre avec la partie des forces de rotation qui tiennent à la forme générale, en ne laissant subsister que celles qui en sont en quelque sorte indépendantes et ne sont liées essentiellement qu’à la rotation même.

Noas étendrons maintenant ces princi])cs à la déformation de toutes les ]>arties de la surface et nous en déduirons le rapport de longueur des divers rayons vecteurs avec le rayon équatorial. Mais pour donner au problème une suffisante simplification, et même pour pouvoir le résoudre par ce moyen, il devient nécessaire d'adopter un priiici|)e, probablement rigoureux, mais au moins trt‘s-vraisemblable dans le cas ordinaire d'une rotation modérée, savoir, • qu'aux divers points de la surface tournante la partie de la force attractive qui dé^iend de la translation du corps dans l’espace est toujours proportionnée au carré de la distance au ceulre de figure, c'est-à-dire au carré du rayon vecteur, bien que la pression de l'étlier agisse suivant la normale à la surface et non pas suivant le rayon. » Ce que nous avons dit de la transmission des mouvements dans l’étlier rend oe principe très-facile à concevoir cl complètement rationnel : car la diminution dans l’intensité de* mouvements du fluide ayant lieu en proportion du nombre de molécules étliérées entre lesquelles l’impulsion est à chaque instant partagée, la loi de cette diminution doit par conséquent se rapporter partout au centre * ' * de figure considéré comme centre d’une enveloppe sphérique. ' Cette règle admise, la solution du problème par le principe de la moindre action va se présenter avec une grande simplicité.

Soit &i le point variable du méridien, r la longueur du rayon vecteur OM, L l’angle de la latitude, a et 6 les demi-axes de l'équateur et du iiôle, E la gravité équatoriale. On a vu précédemment qu'il y avait égalité entre l’excès de gravité polaire

résultant de la diminution de distance nu centre, ou 2 ^ E,

nOTATIONS.

et la pression duc aux forces centrifuges — i)- , qui résulte

pour l’équatcor de la transformatiou de la surface élémentaire eu surface I. Si nous étendons cette condition d’équilibre à une latitude quelconque L, comparée avec l’équateur, il y aura

égalité entre l’accroissement de gravité a ^ E et le produit de 7; — 1 par la différence des pressions, dues à la force centrifuge, qui agissent sur l’élément de l'équateur et celui de la-

titude L, où cette force est égale à-^cosL; d’où l’on déduit l'cquation ;

(a— r) — I, ,, ai r(i — cosL).

Or on a déjà entre le pôle et l’équateur (Proposition XXI) :

— b iT — 1

on en conclut

(i — cosL) ,

qui sera l’équation polaire de la courbe méridienne , les axes étant connus, comme on l’a vu précédemment, par le rapport de la gravité à la force centrifuge.

Cette équation rapportée aux coordonnées ordinaires , présente un assez intéressant résultat. Pour cette transformation

l’on a r = y’ , et cos L — ^ ; d'où résulte l’équation

nouvelle

o*îf* + (au 6 — — aa 6 (a — b)x — 0*^ = 0 ,

laquelle appartient à une ellipse. Hais ce qu’il y a de particulier, c’est que cette ellipse n’est pas rapportée à son centre : pour trouver 'la position du centre de cette courbe, il faut transporter l’origine des coordonnées, sur l’axe des x, c’està-dire sur l’axe de l’équateur, à une certain^ distance du centre

général de figure, distance égale a ^ •

En SC coutcnlaul de ce degré d’approximation l’on voit donc

134 DES LOIS 1>E l’aSTHONOMIE.

que la courbe méridienne est formée de deux parties d'ellipse, plus grandes cliacune que moitié, et qui par conséquent viennent SC joindre ou pâle en une dépression ; ce qui du reste est confirmé par la grandeur du (letit axe de l’ellipse, lequel dépasse la valeur de b, étant intermédiaire entre b et 1/ ao6 — 6*.

Tout cela n’est point de la dernière rigueur comme géométrie, mais une fois le principe d’équation admis (et il a été prouvé entre l’équateur et le pôle) , les écarts de détail ne peuvent aller assez loin, à l’égard de rotations comme celles du système planétaire, pour détruire la partie caractéristique du résultat; il n’y a aucun doute, d’ailleurs, qu’à l’égard de ces rotations, les carrés des aplatissements que nous avons négligés par rap{)ort au double de leur première puissance , ne fussent en effet négligeables et propres à donner seulement des complications d’une médiocre importance, étrangères en quelque sorte à la ({uestion : car il est clair que pour des rotations modérées la surface tournante ne saurait être rencontrée par une droite en plus de deux points, excepté dans la dépression polaire; et à ce sujet je dois faire remarquer que notre équation, quoiqu’on apparence du deuxième degré, est en réalité du quatrième par la double relation de signe des lignes trigonométriques avec les coordonnét«, duplicité de relation qu’on peut traduire , si l’on veut, par le changement de centre des deux parties li’cllipse qui forment le méridien entier.

Il demeurera donc constant que le méridien des planètes soumi.scs à la rotation a une courbure sensiblement cUip.soidale, mais que le solide entier n’est point cependant tout h fait un ellipsoïde de révolution; qu’il est engendré par une ellipse excentrique à l’axe et par conséquent laissant autour du pôle une partie aplanie ou même déprimée , d'autant plus étcudue que la rotation est plus considérable ; pour des rotations trèsénergi(]ues, le corps tournant doit prendre une figure discoïde, ou même une figure approchant de celle du tore. C’est là le trait caractéristique , particuber à notre théorie, et tout à fait différent des ré.su1tats ordinaires : je ne sais s’il soin jamais donné de le vérifier expérimentnlemenl.

ROTATIORS.