LA QUATRIÈME DIMENSION

tiples et le temps psychologique en est peut-être devenue plus claire. Et peut-être a-t-on vu s'entrouvrir la porte par où s'introduira dans la théorie l'idée d'uu Espace-Temps à quatre dimensions. C'est de l'Espace-Temps que nous allons nous occuper maintenant.

Déjà l'analyse que nous venons de faire a montré comment cette théorie traite le rapport de la chose à son expression. La chose est ce qui est perçu; l'expression est ce que l'esprit met à la place de la chose pour la soumettre au calcul. La chose est donnée dans une vision réelle; l'expression correspond tout au plus à ce que nous appelons une vision fantasmatique. D'ordinaire, nous nous représentons les visions fantasmatiques comme entourant, fugitives, le noyau stahle et ferme de vision réelle. Mais l'essence de la théorie de la Relativité est de mettre toutes ces visions au môme rang. La vision que nous appelons réelle ne serait que l'une des visions fantasmatiques. Je le veux bien, en ce sens qu'il n'y a aucun moyen de traduire mathématiquement la différence entre les deux. Mais il ne faudrait pas conclure de Là à une similitude de nature. C'est pourtant ce qu'on fait quand on attribue un sens métaphysique au continu de Minkowski et d'Einstein, à leur Espace-Temps à quatre dimensions. Voyons, en effet, comment l'idée de cet Espace-Temps surgit.

Nous n'avons pour cela qu'à déterminer avec

précision la nature des « visions fantasmatiques » dans le cas où un observateur intérieur à un système S', ayant eu la perception réelle d'une longueur invariable /, se représenterait l'invariabilité de cette longueur en se plaçant par la pensée hors du système et en supposant alors le système animé de toutes les vitesses possibles. Il se dirait : « Puisqu'une ligne A'B' du système mobile S', en passant devant moi clans le système immobile S où je m'installe, coïncide avec une longueur / de ce système, c'est que cette ligne, au repos, serait égale à

— ■• l . Considérons le carré L2 — v r- de

cette grandeur. De combien surpasse-t-il le carré

de / ? De la quantité j • — T , laquelle peut

1 — 7* , • — .Or — , • — mesure

vA-rj 0-s*

précisément l'intervalle de temps T qui s'écoule pour moi, transporté dans le système S, entre deux événements se passant respectivement en A' et B'qui [n'apparaîtraient simultaués si j'étais dans le système S'. Donc, à mesure que la vitesse de S' croit à partir de zéro, l'intervalle de temps T grandit entre les deux événements qui se passent aux points A' et IV etqui sont donnés en S' comme simultanés; mais les choses se passent de telle manière que la différence

\ji c2 72 reste constante. C'est cette différence que j'appelais autrefois l2. » Ainsi, prenant c pour unité de temps, nous pouvons dire que ce qui est donné à un observateur réel en S' comme la fixité d'une grandeur spatiale, comme l'invariabilité d'un carré /2, apparaîtrait à un observateur fictif en S comme la constance de la différence entre le carré d'un espace et le carré d'un temps.

Mais nous venons de nous placer dans un cas particulier. Généralisons la question, et demandonsnous d'abord comment s'exprime, par rapport à des axes rectangulaires situés à l'intérieur d'un système matériel S', la distance entre deux points du système. Nous chercherons ensuite comment elle s'exprimera par rapport à des axes situés dans un système S par rapport auquel S' deviendrait mobile.

Si notre espace était à deux dimensions, réduit à la présente feuille de papier, si les deux points considérés étaient A' et B', dont les distances respectives aux deux axes O'Y' et O'X' sont x\, y\ e1 a ■',, >/.,, il est clair que nous aurions

7JBl* = {x'2—x't? + (y'2—y'iji

Nous pourrions alors prendre tout autre système d'axes immobiles par rapport aux premiers et donner ainsi à 'i.'.,yi,.yj des valeurs qui seraient généralement différentes des premières :

l,i somme des deux carrés (./■' — / , ' et {//', — //', demeurerait la même, puisqu'elle sérail toujours

égale à Â7!72. De même, dans un espace à trois dimensions, les points A' et B' n'étant plus supposés alors dans le plan X'O'Y' et étant cette fois définis par leurs distances ai, yi,*i, £«,?!,*£ aux trois faces d'un trièdre trirectangle dont le sommet est 0', on constaterait l'invariance de la somme

C'est par cette invariance même que s'exprimerait la fixité delà distance entre A' et B' pour un observateur situé en S'.

Mais supposons que notre observateur se mette par la pensée dans le système S, par rapport auquel S' est censé en mouvement. Supposons aussi qu'il rapporte les points A' et B' à des axes situés dans son nouveau système, se plaçant d'ailleurs dans les conditions simplifiées que nous avons décrites plus haut quand nous établissions les équations de Lorentz. Les distances respectives des points A' et B' aux trois plans rectangulaires se coupant en S seront maintenant xuyuzù xt1yt,zt. Le carré de la distance A'B' de nos deux points va d'ailleurs encore nous être donné par une somme de trois carrés qui sera

(«2-ffi)2 +.(y>.-yi)> -H*2-*i)2 Mais, d'après les équations de Lorentz, si les deux derniers carrés de cette somme sont identiques aux deux derniers de la précédente, il n'en va pas de même pour le premier, car ces équations nous donnent pour xi et xz respectivement les valeurs

— (x\ + vt') et — -=. {x'% +vt') ; de sorte que

\A-I vA-S

le premier carré sera 5 (x''2 — #'i)2. Nous nous

trouvons naturellement devant le cas particulier que nous examinions tout à l'heure. Nous avions considéré en eflet dans le système S' une certaine longueur A'B', c'est-à-dire la distance entre deux événements instantanés et simultanés se produisant respectivement en A' et B'. Mais nous voulons maintenant généraliser la question. Supposons donc que les deux événements soient successifs pour l'observateur en S'. Si l'un se produit au moment t\ et l'autre au moment l'*, les équations de Lorentz vont nous donner

xt = 1 (x't + vt'i)

x2= , Oz'2+^'2)

de sorte que notre premier carré deviendra

et que notre primitive somme de (rois carrés sera remplacée par

L : (x',-x'K) + v {i\-i\)f + dh-yù2 + (*2-**>2 c5

DUltÉE ET SIMUI.TANKITK. 13

grandeur qui dépend de v et n'est plus invariante. Mais si, dans cette expression, nous considérons

le premier terme p [(x'2— x\)-\-v(t'.2— 1\)]2, qui

nous donne la valeur de {xt — .r,)2, nous voyons1 qu'il surpasse (x't— x[f de la quantité :

1 — c2 Or les équations de Lorentz donnent :

Nous avons donc

(a.a x,)2 - (*', - ar'^a = c2(<3 - h)2 - c*{t'2 - t'%)*

ou

ou enfin

(x2-or,)2 +(2/3 -2/!)2+ (*a- -i)2-^(/.2 - /02= (*'* -*'iP + (2/'2 - </'<)2 + (*. - "02 - # (*'»- ^)2 Résultat qui pourrait s'énoncer de la manière suivante : Si l'observateur en S' avait considéré, au lieu de la somme de trois carrés

(ar'a - x\f + {y\ - y'tf + (*'a -s',)2

l'expression

où entre un quatrième carré, il eût rétabli, par 1. On fera facilement la vérification.

l'introduction du Temps, l'invariance qui avait cessé d'exister dans J'Espace.

Notre calcul aura paru un peu gauche. Il l'est effectivement. Rien n'eût été plus simple que de constater tout de suite que l'expression

(x.2 - a;')2 + (y2 - ?/,)2 + (h - =.)2 - ^ (t2 - ttf ne change pas quand on fait subir la transformai ion de Lorentz aux termes qui la composent. Mais c'eut été mettre sur le même rang tous les systèmes où sont censées avoir été prises toutes les mesures. Le mathématicien et le physicien doivent le faire, puisqu'ils ne cherchent pas à interpréter en termes de réalité l'Espace-Temps de la théorie de la Relativité, mais simplement à l'utiliser. Au contraire, notre objet à nous est cette interprétation même. Nous devions donc partir des mesures prises dans le système S' par l'observateur en S', — seules mesures réelles attribuai) les à un observateur réel, — et considérer les mesures prises dans les autres systèmes comme des altérations ou déformations de celles-là, altérations ou déformations coordonnées entre elles de telle manière que certaines relations entre les mesures restent les mêmes. Pour conserver au point de vue de l'observateur en S' sa place centrale et pour préparer ainsi l'analyse que nous donnerons tout à l'heure de l'Espace-Temps, le détour que nous venons de faire était donc nécessaire. Il fallait aussi, comme on le verra, établir une distinction entrele cas où l'observateur en S' apercevait simultanés

les événements A' et B', et le cas où il les note successifs. Cette distinction se fût évanouie si nous n'avions fait de la simultanéité que le cas particulier où l'on a tl — /'i = 0; nous l'aurions ainsi résorbée dans la succession; toute différence de nature eût encore été abolie entre les mesures réellement prises par l'observateur en S' et les mesures simplement pensées que prendraient des observateurs extérieurs au système. Mais peu importe pour le moment. Montrons simplement comment la théorie de la Relativité est bien conduite par les considérations qui précèdent à poser un Espace-Temps à quatre dimensions.

Nous disions que l'expression du carré de la distance entre deux points A' et B', rapportés à deux axes rectangulaires dans un espace à deux dimensions, est {xt — x{)î -f (y, — f/J2, si l'on appelle xu y\> x'i> yt, leurs distances respectives aux deux axes. Nous ajoutions que dans un espace à trois dimensions ce serait (xt — xj2 -f (y« — ^i)2+ (s2 — -i)'2- Rien ne nous empêche d'imaginer des espaces à 4, 5, G..., n dimensions. Le carré de la distance entre deux points y serait donné par une somme de 4, 5, 6... h carrés, chacun de ces carrés étant celui de la différence entre les distances des points A' et B' à l'un des 4,5, 6... n plans. Considérons alors notre expression

(x, -* ,)2 + [y, - y,)2 + (h -*«)"- c2 (t, - <<)2 Si la somme des trois premiers termes était inva-

rianle, elle pourrait exprimer l'invariance delà distance, tellequenouslaconcevions dans notre Espace à trois dimensions avant la théorie de la Relativité. Mais celle-ci consiste essentiellement à dire qu'il faut introduire le quatrième terme pour obtenir l'invariance. Pourquoi ce quatrième terme ne correspondrait-il pas à une quatrième dimension? Deux considérations semblent d'abord s'y opposer, si nous nous en tenons à notre expression de la distance : d'une pari, le carré (t2— t^* est précédé du signe moins aa lieu du signe plus, et d'autre part il est affecté d'un coefficient c2 différent de l'unité. Mais comme, sur un quatrième axe qui serait représentatif du temps, les temps devraient nécessairement être portés comme des longueurs, nous pouvons décréter que la seconde y aura la longueur c : notre coefficient deviendra ainsi l'unité. D'autre part, si nous considérons un temps - tel qu'on ait / = x l/^T, et si, d'une manière générale, nous remplaçons t par la quantité imaginaire x l/ZTJ, notre quatrième carré sera — t 2, et c'est bien alors à une somme de quatre carrés que nous aurons affaire. Convenons d'appeler \x, Ay, As, Ax les quatre différences xt — xt, yt — yl} zt — zif t., — xl} qui sont les accroissements respectifs de x, y, s, x quand on passe de xt à x,, de //, ky2, de z, à z„ de t, à tj, et appelons A\ l'intervalle entre les deux points A' et B'. Nous aurons :

Et dès lors rien ne nous empêchera de dire que s est une distance, ou mieux un intervalle, dans l'Espace et le Temps à la fois : le quatrième carré correspondrait à la quatrième dimension d'un continu Espace-Temps où le Temps et l'Espace seraient amalgamés ensemble.

Rien ne nous empêchera non plus de supposer les deux points A' et B' infiniment voisins, de telle manière que A'B' puisse aussi bien être un élément de courbe. Un accroissement fini tel que A# deviendra alors un accroissement infinitésimal dx, et nous aurons l'équation différentielle :

ds* = dx° + dy- 4- d:2 -j-cfr2 d'où nous pourrons remonter par une sommation d'éléments infiniment petits, par ^< intégration », à l'intervalle s entre deux points d'une ligne cette fois quelconque, occupant à la fois de l'Espace et du Temps, que nous appellerons AB. Nous l'écrirons :

s= f l/cte2 + rfy'-» + tf*'2 + dx*

expression qu'il faut connaître, mais sur laquelle nous ne reviendrons pas dans ce qui va suivre. Il vaudra mieux utiliser directement les considérations par lesquelles on y a été conduit '.

1. Le lecteur quelque peu mathématicien aura remarqué que 1'expressiori dsi = dx^ + dyi + dz^ — c8d<2 peut être considérée telle quelle comme correspondant à un Espace-Temps hyperbolique. L'artifice, ri-dessus décrit, de Miukowski consiste à donner à cet Espace-Temps la forme euclidienne par la substitution de

la variable imaginaire cl y — 1 à la variable t.

LE TEMl'S JOINT A L'ESPACE. 199

On vient de voir comment la notation d'une quatrième dimension s'introduit pour ainsi dire automatiquement dans la théorie de la Relativité. De là, sans cloute, l'opinion souvent exprimée que nous devons a cette théorie la première idée d'un milieu à quatre dimensions englobant le temps et l'espace. Ce qu'on n'a pas assez remarqué, c'est qu'une quatrième dimension d'espace est suggérée par toute spatialisation du temps : elle a donc toujours été impliquée par notre science et notre langage. Môme, on la dégagerait sous une forme plus précise, en tout cas plus imagée, delà conception courante du temps que de la théorie de la Relativité. Seulement, dans la théorie courante, l'assimilation du temps à une quatrième dimension est sous-entendue, tandis que la physique de la Relativité est obligée de l'introduire dans ses calculs. Et cela tient au double effet d'endosmose et d'exosmose entre le temps et l'espace, à l'empiétement réciproque de l'un sur l'autre, que semblent traduire les équations de Lorentz : il devient ici nécessaire, pour situer un point, d'indiquer explicitement sa position dans le temps aussi bien que dans l'espace. Il n'en reste pas moins que L'Espace-Temps de Minkowski et d'Einstein est une espèce dont la spatialisation commune du Temps dans un Espace à quatre dimensions est le genre. La marche que nous avons à suivre es! alors foute tracée. Nous devons commencer par chercher ce que signifie, d'une manière

générale, l'introduction d'un milieu à quatre dimensions qui réunirait temps et espace. Puis nous nous demanderons ce qu'on y ajoute, ou ce qu'on en retranche, quand on conçoit le rapport entre les dimensions spatiales et la dimension temporelle à la manière de Minkowski et d'Einstein. Dès maintenant on entrevoit que, si la conception courante d'un espace accompagné de temps spatialisé prend tout naturellement pour l'esprit la forme d'un milieu à quatre dimensions, et si ce milieu est fictif en ce qu'il symbolise simplement la convention de spatialiser le temps, il en sera ainsi des espèces dont ce milieu à quatre dimensions aura été le genre. En tout cas, espèce et genre auront sans doute le même degré de réalité, et l'Espace- Temps de la théorie de la Relativité ne sera probablement pas plus incompatible avec notre ancienne conception de la durée que ne l'était un Espace-et-Temps à quatre dimensions symbolisant à la fois l'espace usuel et le temps spatialisé. Néanmoins, nous ne pourrons nous dispenser de considérer plus spécialement l'Espace-Temps de Minkowski et d'Einstein, quand une fois nous nous serons occupé d'un Espace-et-Temps général à quatre dimensions. Attachons-nous à celui-ci d'abord.

On a de la peine à imaginer une dimension nouvelle si l'on part d'un Espace à trois dimensions, puisque l'expérience ne nous en montre pas une

quatrième. Mais rien n'est plus simple, si c'est un Espace à deux dimensions que nous dotons de cette dimension supplémentaire. Nous pouvons évoquer des êtres plats, vivant sur une surface, se confondant avec elle, ne connaissant que deux dimensions d'espace. L'un d'eux aura été conduit par ses calculs à postuler l'existence d'une troisième dimension. Superficiels au double sens du mot, ses congénères refuseront sans doute de le suivre ; lui-même ne réussira pas à imaginer ce que son entendement aura pu concevoir. Mais nous, qui vivons dans un Espace à trois dimensious, nous aurions la perception réelle de ce qu'il se serait simplement représenté comme possible : nous nous rendrions exactement compte de ce qu'il aurait ajouté en introduisant une dimension nouvelle. Et comme ce serait quelque chose du même genre que nous ferions nous-mêmes sinoussupposions, réduits àtroisdimensions comme nousle sommes, que nous sommes immergés dans un milieu à quatre dimensions, nous imaginerions presque ainsi cette quatrième dimension qui nous paraissait d'abord inimaginable. Ce ne serait pas tout à fait la même chose, il est vrai. Car un espace à plus de trois dimensions est uue pure conception de l'esprit et peut ne correspondre à aucune réalité . Tandis que l'Espace à trois dimensions est celui de notre expérience. Lors donc que, dans ce qui va suivre, nous nous servirons de notre Espace à trois dimensions, réellemnient perçu, pour donner un

corps aux représentations d'un mathématicien assujetti à un univers plat, — représentations pour lui concevables mais non pas imaginables, — cela ne voudra pas dire qu'il existe ou puisse exister un Espace à quatre dimensions capable à son tour de réaliser en forme concrète nos propres conceptions mathématiques quand elles transcendent notre monde à trois dimensions. Ce serait faire la part trop belle à ceux qui interprètent tout de suite métaphysiquement la théorie de la Relativité. L'artifice dont nous allons user a pour unique objet de fournir un support Imaginatif à la théorie, de la rendre ainsi plus claire, et par là de faire mieux apercevoir les erreurs où des conclusions hâtives nous feraient tomber.

Nous allons donc simplement revenir à l'hypothèse dont nous étions parti quand nous tracions deux axes rectangulaires et considérions une ligne A'B' dans le même plan qu'eux. Nous ne nous donnions que la surface de la feuille de papier. Ce monde à deux dimensions, la théorie de la Relativité le dote d'une dimension additionnelle qui serait le temps : l'invariant ne sera plus dx2-\-dy2, mais dx2-\-dy2— c2dt2 . Certes, cette dimension additionnelle est de nature toute spéciale, puisque l'invariant serait dx2-\-dy2-Jr-dt2, sans qu'il fut besoin d'un artifice d'écriture pour l'amener à cette forme, si le temps était une dimension comme les autres. Nous devrons tenir compte de cette dilfércnce ca-

ractéristique, qui nous a préoccupés déjà et sur laquelle nous concentrerons notre attention tout à l'heure. Mais nous la laissons de côté pour le moment, puisque la théorie de laRelativité elle-même nous invite à le faire : si elle a eu recours ici à un artifice, et si elle a posé un temps imaginaire, c'était précisément pour que son invariant conservât la forme d'une somme de quatre carrés ayant tous pour coefficient l'unité, et pour que la dimension nouvelle fût provisoirement assimilable aux autres. Demandons-nous donc, d'une manière générale, ce qu'on apporte, ce que peut-être aussi l'on enlève, à un univers à deux dimensions quand on fait de son temps une dimension supplémentaire. Nous tiendrons compte ensuite du rôle spécial que joue cette nouvelle dimension dans la théorie de la Relativité.

On ne saurait trop le répéter : le temps du mathématicien est nécessairement un temps qui se mesure et par conséquent un temps spatialisé. Point n'est besoin de se placer dans l'hypothèse de la Relativité : de toute manière (nous le faisions remarquer, il y a plus de trente ans) le temps mathématique pourra être traité comme une dimension additionnelle de l'espace. Supposons un univers superficiel réduit au plan P, et considérons dans ce plan un mobile M qui décrit une ligne quelconque, par exemple une circonférence, à partir d'un certain point que nous prendrons pour origine. Nous qui habi-

tons un monde à trois dimensions, nous pourrons nous représenter ]e mobile M entraînant avec lui une ligne MN perpendiculaire au plan et dont la longueur variable mesurerait à chaque instant le temps écoulé depuis l'origine. L'extrémité N de cette ligne décrira dans l'Espace à trois dimensions une courbe qui sera, dans le cas actuel, de forme hélicoïdale. Il est aisé de voir que cette courbe tracée dans l'Espace à trois dimensions nous livre toutes les particularités temporelles du changement survenu dans l'Espace à deux dimensions P. La dislance d'un point quelconque de l'hélice au plan P nous indique en effet le moment du temps auquel nous avons affaire, et la tangente à la courbe en ce point nous donne, par son inclinaison sur le plan P, la vitesse dumobileàce moment1. Ainsi, dira-t-on,la « courbe à deux dimensions »2 ne dessine qu'une partie de la réalité constatée sur le plan P, parce qu'elle n'est (\\x espace, au sens que les habitants de P donnent à ce mot. Au contraire, la « courbe à trois dimensions » contient cette réalité tout entière : elle a trois dimensions d'espace pour nous ; elle serait de lEspaceet-Temps à trois dimensions pour un mathématicien à deux dimensions qui habiterait le plan P et qui,