L'EFFET TRANSVERSAL-LONGITUDINAL. 18B

longueurs est égale à — ^= , puisque la liirne

iotale OjÂ,0, représente le même temps que la ligne 0,B,Oi, on voit que O/Ai a pour longueur

Quant à l'espace franchi par l'appareil

dans l'intervalle de temps compris entre les moments Oi'et A,, on l'évaluera tout de suite en remarquant que cet intervalle est mesuré par le retard de l'horloge située à l'extrémité d'un des bras de l'appareil sur l'horloge située à l'autre, c'est-à-dire

par — ^ -; . Le chemin parcouru est alors

^- — . Et par conséquent la longueur du

bras, qui était / au repos, est devenue

c'est-à-dire ^ \/ 1 — ^ • Nous retrouvons bien ainsi

la « contraction do Lorentz ».

On voit ce que signifie la contraction. I/identification du temps avec la ligne de lumière fait que le mouvement du système produit un double effet dans le temps : dilatation de la seconde, dislocation

de la simultanéité. Dans la différence

l Iv'-

V/^ oV7

le premier terme correspond à l'effet de dilatation, le second à l'effet de dislocation. Dans un cas comme dans l'autre on pourrait dire que le temps seul (le temps fictif) est en cause. Mais la combinaison des effets dans le Temps donne ce qu'on appelle une contraction de longueur dans l'Espace.

On saisit alors dans son essence même la théorie de la Relativité restreinte. En termes familiers elle s'exprimerait ainsi : « Étant donné, au repos, une coïncidence de la figure rigide d'espace avec la figure souple de lumière, étant donné, d'autre part, une dissociation idéale de ces deux figures par l'effet d'un mouvement que la pensée attribue au système, les déformations successives de la figure souple de lumière parles diverses vitesses sont tout ce qui compte : la figure rigide d'espace s'arrangera comme elle le pourra. » Par le fait, nous voyons que, dans le mouvement du système, le zigzag longitudinal de la lumière doit conserver la même longueur que le zigzag transversal, puisque l'égalité de ces deux temps prime tout. Comme, dans ces conditions, les deux lignes rigides d'espace, la longitudinale et la transversale, ne peuvent pas elles-mêmes rester égales, c'est l'espace qui devra

LEFFET TRANSVERSAL-LONGITUDINAL. 187

céder. Il cédera nécessairement, le tracé rigide en lignes de pur espace étant censé n'être que l'enregistrement de l'efiet global produit par les diverses modifications de la figure souple, c'est-à-dire des lignes de lumière.

Comment s introduit ridée d'une quatrième dimension. — Comment Vimmohilité s'exprime en termes de mouvement. — Comment le temps s'amalgame avec l'espace. — La conception générale d'un Espace-Temps à quatre dimensions. — Ce quelle ajoute et ce qu'elle enlève à la réalité. — Double illusion à laquelle elle nous expose. — Caractère tout particulier de cette conception dans la théorie de la Relativité. — Confusion spéciale où Von riscjue ici de tomber. — Le réel et le virtuel. — Ce que représente effectivement V amalgame Espace-Temps,

Laissons maintenant de côté notic figure de lumière avec ses déformations successives. Nous devions nous en servir pour donner un corps aux abstractions de la théorie de la Relativité et aussi pour dégager les postulats qu'elle implique. La relation déjà établie par nous entre les Temps mul-

LA QIATRIÈME DIMENSION. 189

tiples et le temps psycliolog-iqiie en est peut-être devenue plus claire. Et peut-être a-t-on vu s'entrouvrir la porte par où s'introduira dans la théorie l'idée d'un Espace-Temps à quatre dimeosions. C'est de l'Espace-Temps que nous allons nous occuper maintenant.

Déjà l'analyse que nous venons de faire a montré comment cette tiiéorie traite le rapport de la chose à son expression. La chose est ce qui est perçu; l'expression est ce que l'esprit met à la place de la chose pour la soumettre au calcul. La chose est donnée dans une vision réelle; l'expression correspond tout au plus à ce que nous appelons une vision fantasmatique. D'ordinaire, nous nous représentons les visions fantasmatiques comme entourant, fugitives, le noyau stable et ferme de vision réelle. Mais l'essence de la théorie de la Relativité est de mettre toutes ces visions au même rang-. La vision que nous appelons réelle ne serait que l'une des visions fantasmatiques. Je le veux bien, en ce sens qu'il n'y a aucun moyen de traduire mathématiquement la diiïérence entre les deux. Mais il ne faudrait pas conclure de là à une similitude de nature. C'est pourtant ce qu'on fait quand on attribue un sens métaphysique au continu deMinkowski et d'Einstein, à leur Espace-Temps à quatre dimensions. Voyons, en effet, comment l'idée de cet Espace-Temps surgit.

Nous n'avons pour cela qu'à déterminer avec

précision la nature des « visions fantasmatiques » dans le cas où un observateur intérieur à un système S', ayant eu la perception réelle d'une longueur invariable /, se représenterait l'invariabilité de cette longueur en se plaçant par la pensée hors du système et en supposant alors le système animé de toutes les vitesses possibles. Il se dirait : « Puisqu'une ligne A'B' du système mobile S', en passant devant moi dans le système immobile S où je m'installe, coïncide avec une longueur / de ce système, c'est que cette ligne, au repos, serait égale a

:• / . Considérons le carré L- = -• l- de

cette grandeur. De combien surpasse-t-il le carré de / ? De la quantité j ' ~^ » laquelle peut

s écrire c- I — =^= ■ —, \ .Or — . • -^ mesure

précisément l'intervalle de temps T qui s'écoule pour moi, transporté dans le système S, entre deux événements se passant respectivement en A' et B'qui m'apparaitraient simultanés si j'étais dans le système S'. Donc, à mesure que la vitesse de S' croit à partir de zéro, l'intervalle de temps T grandit entre les deux événements qui se passent aux points A' et W etqui sont donnés en S' comme simultanés; mais les choses se passent de telle manière que la différence

L- — c^ T2 reste constante. C'est cette diCférence que j'appelais autrefois /-. » Ainsi, prenant c pour unité de Temps, nous pouvons dire que ce qui est donné à un observateur réel en S' comme la fixité d'une grandeur spatiale, comme l'invariabilité d'un carré /^, apparaîtrait à un observateur fictif en S comme la constance de la différence entre le carré d'un espace et le carré d'un temps.

Mais nous venons de nous placer dans un cas particulier. Généralisons la question, et demandonsnous d'abord comment s'exprime, par rapport à des axes rectangulaires situés à Tintéricur d'un système matériel S', la distance entre deux points du système. Nous chercherons ensuite comment elle s'exprimera par rapport à des axes situés dans un système S par rapport auquel S' deviendrait mo])ilc.

Si notre espace était à deux dimensions, réduit à la présente feuille de papier, si les deux points considérés étaient A' et B', dont les distances respectives aux deux axes O'Y' et O'X' sont a:',, //', et.r'., //j, il est clair que nous aurions

Nous pourrions alors prendre tout autre système d'axes immobiles par rapport aux premiers et donner ainsi à ,r',,a:ô,yî,y2 des valeurs qui seraient généralement différentes des premières : la somme des deux carrés (.r'. — j-,)' et (yo^^;'/,)^ demeurerait la même, puisqu'elle serait toujours

égale à a'B'~. De même, dans un espace à trois dimensions, les points A' et B' n'étant plus supposés alors dans le plan X'O'Y' et étint cette fois définis par leurs distances x\^y\,z\,x,,y'.,,z'^ au\ Irois faces d'un trièdre trirectangle dont le sommet est 0', ou constaterait l'invariance de la somme

(1; (a,-',-x',r^ + (!/'2-2/Vi- + (^'2-=S)-

C'est par cette invariance même que s'exprimerait la fixité delà distance entre A' et B' pour un observateur situé en S'.

Mais supposons que notre observateur se mette par la pensée dans le système S, par rapport auquel S' est censé en mouvement. Supposons aussi qu'il rapporte les points A' et B ' à des axes situés dans son nouveau système, se plaçant d'ailleurs dans les conditions simplifiées que nous avons décrites plus haut quand nous élablissions les équations de Lorentz. Les distances respectives des points A' et B' aux trois plans rectangulaires se coupant en S seront maintenant j-,, y,,:;,; x^,i/i,z.,. Le carré de la distance AH' de nos deux points va d'ailleurs encore nous être donné par une somme de trois carrés qui sera

(2) {x,-x^y^ + (y-2-uO- + (^-2--^i)'

Mais, d'après les équations de Lorentz, si les deux derniers carrés de cette somme sont identiques aux deux derniers de la précédente, il n'en va pas de mrme pour le premier, car ces équations nous donnent pour .r, et x^ respectivement les valeurs

{x\^vt') et — -=i {x-, 4- vt') ; de sorte que

le premier carré sera 5 (x'o — x't)-. Nous nous

trouvons naturellement devant le cas particulier que nous examinions tout à l'heure. Nous avions considéré en efïet dans le système S' une certaine longueur A'B', c'est-à-dire la distance entre deux événements instantanés et simultanés se produisant respectivement en A' et B'. Mais nous voulons maintenant généraliser la question. Supposons donc que les deux événements soient successifs pour l'observateur en S'. Si l'un se produit au moment t[ et l'autre au moment /., les équations de Lorentz vont nous donner

de sorte que notre premier carré deviendra

ct que notre primitive somme de trois carrés sera remplacée par

(3) — L^ [{x'2-x'^)-hv(l'o-l',)ri + (,,^-y^f-{.i3^-:.^)i

niRKK ET SIMULTANÉITÉ. 13

grandeur qui dépend de v et n'est plus invariante. Mais si, dans cette expression, nous considérons

le premier terme 5 [(^'2— ^'h) + i'(<'2— <'i)]^> qwi

nous donne la valeur de {x, — fi)^, nous voyons' qu'il surpasse [x'^ — x'iY de la quantité :

Or les équations de Lorentz donnent :

Nous avons donc

{X., - x^T' - {x'.2 - x\f = c2(<2 - «0- - C2(<'2 - ''1)" ou

{X2 — Xi)2 — e- {h— 1 1)2 = {X'o — a?'i)2 — C2 (/'o — <'/)2

OU enfin

(^o-a;,)2 +(2/, -y,)'+ (^2- z,f-cm., - t,)^= {x.,-x',Y + {y'2 - y',)' + (='. - ^^'i)2 - c2 il',- t',y^ Résultat qui pourrait s'énoncer de la manière suivante : Si l'observateur en S' avait considéré, au lieu de la somme de trois carrés

{X', - x\f + [y', - y\f + (^'2 -3',)2 l'expression

(xo' -x\)-^ + [y'. - y\f 4- {z'., - z\r- - (-2 (<', - t\f OÙ entre un quatrième carré, il eût rétabli, par