On fera lacileineut la vérification

rintroduction du Temps, l'iavariance qui avait cessé d'exister dans J'Espace.

Notre calcul aura paru un peu gauche. Il l'est effectivement. Rien n'eût été plus simple que de constater tout de suite que l'expression

ne change pas quand on fait subir la transformation de Lorentz aux termes qui la composent . Mais c'eût été mettre sur le même rang tous les systèmes où sont censées avoir été prises toutes les mesures. Le mathématicien et le physicien doivent le faire, puisqu'ils ne cherchent pas à interpréter en termes de réalité l'Espace-Temps de la théorie de la Relativité, mais simplement à l'utiliser. Au contraire, notre objet à nous est cette interprétation même. Nous devions donc partir des mesures prises dans le système S' par l'observateur en S', — seules mesures réelles attribuables à un observateur réel, — et considérer les mesures prises dans les autres systèmes comme des altérations ou déformations de celles-là, altérations ou déformations coordonnées entre elles de telle manière que certaines relations entre les mesures restent les mêmes. Pour conserver au point de vue de l'observateur en S' sa place centrale et pour préparer ainsi l'analyse que nous donnerons tout à l'heure de l'Espace-Temps, le détour que nous venons de faire était donc nécessaire. Il fallait aussi, comme on le verra, établir une distinction entre le cas où l'observateur en S' apercevait simultanés

les événements A' et B', et le cas où il les note successifs. Cette distinction se fût évanouie si nous n'avions fait de la simultanéité que le cas particulier où l'on a t'^ — ^1 = 0; nous l'aurions ainsi résorbée dans la succession; toute différence de nature eût encore été abolie entre les mesures réellement prises par l'observateur en S' et les mesures simplement pensées que prendraient des observateurs extérieurs au système . Mais peu importe pour le moment. Montrons simplement comment la théorie de la Relativité est bien conduite par les considérations qui précèdent à poser un Espace-Temps à quatre dimensions.

Nous disions que l'expression du carré de la distance entre deux points A' et B,' rapportés à deux axes rectangulaires dans un espace à deux dimensions, est(a'j — XiY 4" (y, — ?/i)^, si l'on appelle .rj, ?/i} -T'i) y il leurs distances respectives aux deux axes. Nous ajoutions que dans un espace à trois dimensions ce serait [x. — ^i)^ -f" (^a — V^' ~\~ ("2 — ^i)^- Rien ne nous empêche d'imaginer des espaces à 4, 5, 6..., n dimensions. Le carré de la distance entre deux points y serait donné par une somme de V, 5, C... n carrés, chacun de ces carrés étant celui de la dilFérence entre les distances des points A' et B' à l'un des i, 5, G... n plans. Considérons alors notre expression

{X. -X ,)^ + {ih - yù' + {'■! - s,)'-c' {t,-t^y Si la somme des trois premiers termes était inva-

riante, elle pourrait exprimer l'invariance de la distance, telle que nouslaconcevions dans notre Espace à trois dimensions avant la théorie de la Kelativité. Mais celle-ci consiste essentiellement h dire qu'il faut introduire le quatrième terme pour obtenir l'invariance. Pourquoi ce quatrième terme ne correspondrait-il pas à une quatrième dimension? Deux considérations semblent d'abord s'y opposer, si nous nous en tenons à notre expression de la distance : d'une part, le carré (^2 — ^1)^ ^st précédé du signe }7ioi/is AU lieu du signe plus, et d'autre part il est all'ecté d'un coefficient c- difl'érent de l'unité. Mais comme, sur un quatrième axe qui serait représentatif du temps, les temps devraient nécessairement être portés comme des longueurs, nous pouvons décréter que la seconde y aura la longueur c : notre coefficient deviendra ainsi l'unité. D'autre part, si nous considérons un temps t tel qu'on ait t =z - l/ITJ, et si, d'une manière générale, nous remplaçons l par la quantité imaginaire - l/^H", notre quatrième carré sera — - 2, et c'est bien alors à une somme de quatre carres que nous aurons affaire. Convenons d'appeler A.x', Ay, Iz, S- les quatre différences x^ — .Xi, y., — !/i, ^i — ^1^ ~i — ~\, qui sont les accroissements respectifs de x, y, z, quand on passe de x, à x.,, de y, à y^, de Zi à 2,, de Ti à -:.,, et appelons A.5 l'intervalle entre les deux points A' et B'. Nous aurons : ^

Et dès lors rien ne nous empêchera de dire que s est une distance, ou mieux un intervalle, dans l'Espace et le Temps à la fois : le quatrième carré correspondrait à la quatrième dimension d'un continu Espace-Temps où le Temps et l'Espace seraient amalgamés ensemble.

Rien ne nous empêchera non plus de supposer les deux points A' et B' infiniment voisins, de telle manière que A'B' puisse aussi bien être un élément de courbe. Un accroissement fini tel que à.x deviendra alors un accroissement infinitésimal dx, et nous aurons l'équation différentielle :

(Is^ = dx- -\- dy- + (/:.2 +dxd'où nous pourrons remonter par une sommation d'éléments infiniment petits, par ^< intégration », à l'intervalle s entre deux points d'une ligne cette fois quelconque, occupant à la fois de l'Espace et du Temps, que nous appellerons AB. Nous l'écrirons :

f Vdx^

dy^ + (/j2 ^ (i^i

expression qu'il faut connaître, mais sur laquelle nous ne reviendrons pas dans ce qui va suivre. Il vaudra mieux utiliser directement les considérations par lesquelles on y a été conduit ' ,

1. Lo Icîcteur qu('l(iuo pou inathc^maficion aura rcniarquô quo l'oxpi-cssion (/*■■-' — (V.r '-i + d.v - 4- rfv 2 — (■"-dl'^ jieut être considérci' Irllo quelle coiniiie corrospondaut à un Espace-Temps hyperbolique. L'ai'tincc, ci-dessus ilécrit, de .MiuUowski consiste à donner à cet Espace-Temps la forme euclidienne par la substitution de la variable imaginaire cl \ -- \ h Va. variable /.

On vient de voir comment la notation dune quatrième dimension s'introduit pour ainsi dire automatiquement dans la théorie de la Relativité. De là, sans doute, l'opinion souvent exprimée que nous devons à cette théorie la première idée d'un milieu à quatre dimensions englobant le temps et l'espace. Ce qu'on n'a pas assez remarqué, c'est qu'une quatrième dimension d'espace est suggérée par toute spatialisation du temps : elle a donc toujours été impliquée par notre science et notre langage. Même, on la dégagerait sous une forme plus précise, en tout cas plus imagée, de la conception courante du temps cpie de la théorie de la Relativité. Seulement, dans la théorie courante, l'assimilation du temps à une quatrième dimension est sous-entendue, tandis que la physique de la Relativité est obligée de l'introduire dans ses calculs. Et cela tient au double efTet d'endosmose et d'exosmose entre le temps et l'espace, à l'empiétement réciproque de l'un sur l'autre, que semblent traduire les équations de Lorentz : il devient ici nécessaire, pour situer un point, d'indiquer explicitement sa position dans le temps aussi bien que dans l'espace. Il n'en rester pas moins que l' Espace-Temps de Minkowski et/ d'Einstein est une espèce dont la spatialisatioii commune du Temps dans un Espace à quaire di-( mensions est le genre. La marche que nous avons^ à suivre est alors toute tracée. Nous devons commencer par chercher ce que signifie, d'une manière

générale, l'introduction d'un milieu à quatre dimensions qui réunirait temps et espace. Puis nous nous demanderons ce qu'on y ajoute, ou ce qu'on en retranche, quand on conçoit le rapport entre les dimensions spatiales et la dimension temporelle à la manière de Minkowski et d'Einstein. Des maintenant on entrevoit que, si la conception courante d'un espace accompagné de temps spatialisé prend tout naturellement pour l'esprit la forme d'un milieu à quatre dimensions, et si ce milieu est fictif en ce qu'il symbolise simplement la convention de spalialiser le temps, il en sera ainsi des espèces dont ce milieu à quatre dimensions aura été le genre. En tout cas, espèce et genre auront sans doute le même degré de réalité, et l'Espace- Temps de la théorie de la Relativité ne sera probablement pas plus incompatible avec notre ancienne conception de la durée que ne l'était un Espacc-et-Temps à quatre dimensions symbolisant à la fois l'espace usuel et le temps spatialisé. Néanmoins, nous ne pourrons nous dispenser de considérer plus spécialement l'Espace-Temps de Minkowski et d'Einstein, quand une fois nous nous serons occupé d'un Espace-et-Temps général à quatre dimensions. Attachons-nous à celui-ci d'abord.

On a de la peine à imaginer une dimension nouvelle si l'on part d'un Espace à trois dimensions, puisque l'expérience ne nous en montre pas une

quatrième. Mais rien n'est plus simple, si c'est un Espace à deux dimensions que nous dotons de cette dimension supplémentaire. Nous pouvons évoquer des êtres plats, vivant sur une surface, se confondant avec elle, ne connaissant que deux dimensions d'espace. L'un d'eux aura été conduit par ses calculs à postuler l'existence d'une troisième dimension. Superficiels au double sens du mot, ses congénères refuseront sans doute de le suivre ; lui-même ne réussira pas à imaginer ce que son entendement aura pu concevoir. Mais nous, qui vivons dans Un Espace à trois dimensions, nous aurions la perception réelle de ce qu'il se serait simplement représenté comme possible : nous nous rendrions exactement compte de ce qu'il aurait ajouté en introduisant une dimension nouvelle. Et comme ce serait quelque chose du même genre que nous ferions nous-mêmes si nous supposions, réduits à trois dimensions comme nousle sommes, que nous sommes immergés dans un milieu à quatre dimensions, nous imaginerions presque ainsi cette quatrième dimension qui nous paraissait d'abord inimag-inable. Ce ne serait pas tout à fait la même chose, il est vrai. Car un espace à plus de trois dimensions est une pure conception de l'esprit et peut ne correspondre à aucune réalité. Tandis que l'Espace à trois dimensions est celui de notre expérience. Lors donc que, dans ce qui va suivre, nous nous servirons de notre Espace à trois dimensions, réellemment perçu, pour donner un

corps aux représentations d'un mathématicien assujetti à un univers plat, — représentations pour lui concevables mais non pas imaginables, — cela ne voudra pas dire qu'il existe ou puisse exister un Espace à quatre dimensions capable à son tour de réaliser en forme concrète nos propres conceptions mathématiques quand elles transcendent notre monde à trois dimensions. Ce serait faire la part trop belle à ceux qui interprètent tout de suite métaphysiquement la théorie de la Relativité, L'artifice dont nous allons user a pour unique objet de fournir un support Imaginatif à la théorie, de la rendre ainsi plus claire, et par là de faire mieux apercevoir les erreurs où des conclusions hâtives nous feraient tomber.

Nous allons donc simplement revenir à l'hypothèse dont nous étions parti quand nous tracions deux axes rectangulaires et considérions une ligne A'B' dans le même plan qu'eux. Nous ne nous donnions que la surface de la feuille de papier. Ce monde à deux dimensions, la théorie de la Relativité le dote d'une dimension additionnelle qui serait le temps : l'invariant ne sera plus dx--\-cly^^ mais dx~-hdt/~ — c'dt-. Certes, cette dimension additionnelle est de nature toute spéciale, puisque l'invariant serait f/o(7-+r/y2| ^^2^ gans qu'il fût besoin d'un artilice d'écriture pour l'amener à cette forme, si le temps était une dimension comme les autres. Nous devrons tenir compte de cette différence ca-

ractéristique, qui nous a préoccupés déjà et sur laquelle nous concentrerons notre attention tout à l'heure. Mais nous la laissons de côté pour le moment, puisque la théorie de laUdativitc elle-m«'Mne nous invite à le faire : si elle a eu recours ici à un artifice, et si elle a posé un temps imaginaire, c'était précisément pour que son invariant conservât la forme d'une somme de quatre carrés ayant tous pour coeflicient l'unité, et pour que la dimension nouvelle fût provisoirement assimilable aux autres. Demandons-nous donc, dune manière générale, ce qu'on apporte, ce que peut-être aussi l'on enlève, à un univers à deux tlimensions quand on fait de son temps une dimension supplémentaire. Nous tiendrons compte ensuite du rôle spécial que joue cette nouvelle dimension dans la théorie de la Relativité.

On ne saurait trop le répéter : le temps du mathématicien est nécessairement un temps qui se mesure et par conséquent un temps spatialisé. Point n'est besoinde se phaccrdansThypothèse dola Relativité : de toute manière (nous le faisions remarquer, il y a plus de trente ans) le temps mathématique pourra être traité comme une dimension additionnelle de l'espace. Supposons un univers supcrliciei réduit au plan P, et considérons dans ce plan un mobile M ([ui décrit une ligne quelconque, par exemple une circonférence, à partir d'un certain point que nous prendrons pour origine. Nous qui habi-

tons un monde à trois dimensions, nous pourrons nous représenter le mobile M entraînant avec lui une ligne MN perpendiculaire au plan et dont la longueur variable mesurerait à chaque instant le temps écoulé depuis l'origine. L'extrémité N de cette ligne décrira dans l'Espace à trois dimensions une courbe qui sera, dans le cas actuel, de forme hélicoïdale. Il est aisé de voir que cette courbe tracée dans l'Espace à trois dimensions nous livre toutes les particularités temporelles du changement survenu dans l'Espace à deux dimensions P. La distance d'un point quelconque de l'hélice au plan P nous indique en effet le moment du temps auquel nous avons afiFaire, et la tangente à la courbe en ce point nous donne, par son inclinaison sur le plan P, la vitesse du mobile à ce moment ' . Ainsi, dira-t-on, la « courbe à deux dimensions » ~ ne dessine qu'une partie de la réalité constatée sur le plan P, parce qu'elle n'est qu espace, au sens que les habitants de P donnent à ce mot. Au contraire, la « courbe à trois dimensions » contient cette réalité tout entière : elle a trois dimensions d'espace pour nous; elle serait de TEspaceet-Temps à trois dimensions pour un mathématicien à deux dimensions qui habiterait le plan P et qui,