QUATRIÈME CLASSE
Unités de billions ou milliards . . Unités du <0* ordre. 5 Dizaines de billions ou milliards. Unilésdu 4 {'ordre. ‘■7 Centaines de billions ou milliards. Unités du 4 2' ordre.
te
g; On n’a pas besoin d’étendre ce tableau, car on £ compte très-rarement au delà des billions ou îuil- § liards.
Il résulte de ce tableau que dix unités d’un ordre 5: quelconque forment une unité de l’ordre immédiateinent supérieur.
g VALEUR DES CHIFFRES.
S C’est cependant avec les seuls neuf chiffres que tu connais, qu’on parvient à écrire les nombres les £ plus considérables.
Pour cela on est convenu que tout chiffre d’un y nombre exprime des unités dix fois plus grandes
ARITHMÉTIQUE
que relies de l’ordre suivant à droite, et dix foi* plus petites que relie de l’ordre suivant h gauche.
Les neuf premiers nombres de dizaines se représentent donc par les mômes chiffres que les neuf premier* nombres d’unités; mais, afin de bien indiquer, sans écrire le mot dizaine , que ces chiffres expriment des dizaines, on le* place au deuxième rang k gauche, en yant soin , lorsqu’il n’y a pas d’unités simples, de les remplacer par un zéro, qui u’a aucune valeur par lui-même, mais qui sert à indiquer le rang qu’un autre chiffre doit occuper.
Les chiffres ont par conséquent deux valeurs, une valeur absolue quand ils sont seuls, et une valeur relative qui dépend du rang qu'ils occupent quand ils sont joints à d’autres.
Ainsi le chiffre i tout seul veut dire un; mais, si je le recule vers la gauche en y joignant un zéro, i voudra dire une dizaine ou dix ; ainsi au lieu d’é-
i dizaine, a dizaines, 3 dizaines, 4 dizaines, 5 dizaines, 6 dizaines, 7 dizaines, 8 dizaines, 9 dizaines, on écrit:
dix, vingt , trente , quarante , cinquante, soixante, 70, 80, 90.
soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix.
De même, au lieu d’écrire:
I centaine, 2 centaines, 3 centaines, l\ centaines, 5 centaines, 6 centaines, 7 centaines, 8 centaines, 9 centaines.
On place les chiffres des centaines au troisième rang, à gauche en ayant soin, lorsqu’il manque soit des dizaines, soit des unités, de les remplacer par des zéros, et on a :
ioo, 200, 3oo, 4°o, 5oo.
cent, deux cents, trois cents, quatre cents, cinq cents, 600, 700, 800, 900.
six cents, sept cents, huit cents, neuf cents.
Un mille s’écrit 1000
Dix mille 10000
Cent mille 100000
Un million 1000000
Dix millions . . 10000000
Cent millions 100000000
Un milliard ou billion. . . . 1000000000
Dix milliards 10000000000
Cent milliards 100000000000
II s’ensuit que la valeur des chiffres devient de dix en dix fois plus grande à mesure que l’on va de droite à gauche, et que par la même raison la valeur des chiffres devient de dix en dix fois plus petite h mesure que l’on va de gauche à droite.
Ainsi, pour rendre un nombre dix fois, cent fois, mille fois, etc., plus grand, il suffit de mettre après le dernier chiffre un, deux, trois zéros.
De même que pour rendre un nombre terminé par des zéros, dix fois, cent fois, mille fois plus petit, il suffit de supprimer un, deux, trois zéros, etc.
(On exercera l’enfant en lui adressant les questions suivantes qui devront être résolues tantôt de vive voix, tantôt sur l’ardoise.)
i°Quc faut-il ajouter au chiffre 1, pour qu’il représente une dizaine?
2° Comment nommes-tu 2 dizaines?
3° Comment écris - tu G dizaines ?
4° Que représente le chiffre qui est au troisième rang en allant vers la gauche?
5° Combien de zéros faut-il ajouter à un chiffre pour qu’il représente des centaines d’unités?
— des mille?
— des dizaines de mille?
G° Comment écris-tu 100?
— — 3oo?
70 Que fais-tu pour rendre un nombre dix fois, cent fois, mille fois plus grand ?
En retranchant un zéro à ce nombre : 60,000, que restera-t-il ?
En retranchant 2 zéros?
— 3 zéros?
8° A quel rang doit être le chiffre qui représente 1 milliard.
Pour représenter tous les nombres compris entre 10 et 20, il suffit de mettre successivement les neuf chiffres à la place du zéro qui suit 1 dans le nombre 10. Ainsi on écrit :
1 1 pour dix et un, ou onze;
1 2 pour dix et deux, ou douze ;
1 3 pour dix et trois, ou treize ;
■ 4 pour dix et quatre, ou quatorze ;
15 pour dix et cinq, ou quinze;
16 pour dix et six, ou seize;
17 pour dix et sept, ou dix-sept ;
18 pour dix et huit, ou dix-huit;
19 pour dix et neuf, ou dix-neuf;
On arrive ainsi à :
20 pour dix et dix, ou vingt.
ARITHMÉTIQUE
Pour représenter les nombres supérieurs à vingt, il suffit de remplacer successivement le zéro qui suit le a dans le nombre vingt, par chacuu des neuf chiffres. On écrit ainsi :
ai pour vingt-un ; aa pour vingt-deux ; a3 pour vingt-trois; a4 pour vingt-quatre ; a5 pour vingt-cinq ; a6 pour vingt-six ;
37 pour vingt-sept; a8 pour vingt-huit ;
39 pour vingt-neuf.
Puis vient :
30 pour trente.
Les nombres compris entre 3o et 4° sont représentés d’une manière analogue :
3 1 pour trente-un ;
3a pour trente-deux ;
et ainsi de suite jusqu’à
3g pour trente-neuf.
Pour les nombres compris entre 4o et 5o, on a : 4i pour quarante-un;
4a pour quarante-deux ; et ainsi de suite jusqu’à
49 pour quarante-neuf.
Entre 5o et 60 on a :
5i pour cinquante-un;
5a pour cinquante-deux; et ainsi de suite jusqu’à
5q pour cinquante-neuf.
Entre 60 et 70 on a :
61 pour soixantc-un ;
6a pour soixante-deux ; et ainsi de suitejusqu’à
69 pour soixante-neuf.
Entre 70 et 80, on a :
7 1 pour soixante-dix et un, ou soixante-onze ;
7a pour soixante-dix et deux, ou soixante-douze;
73 pour soixante-dix et trois, ou soixante-treize;
74 pour soixante-dix et quatre, ou soixante-qua-
torze ;
75 pour soixante-dix et cinq, ou soixante-quinze ;
76 pour soixante-dix et six, ou soixante-seize;
77 pour soixante-dix et sept, ou soixante-dix-sept;
78 pour soixanUMiix et huit, ou soixante-dix-huit;
79 pour soixante-dix et neuf, ou soixante-dix-neuf. Entre 80 et 90, on a :
81 pour quatre-vingt-un ;
8a pour quatre-vingt-deux ; et ainsi de suite jusqu’à ,
89 pour quatre- vingt-neuf.
Entre 90 et 1 00 , on a :
91 pour quatre-vingt-dix et un , ou quatre-vingtonze ;
ga pour quatre-vingt-dix et deux, ou quatre-vingtdouze ;
g3 pour quatre-vingt-dix et trois, ou quatre-vingttreize ;
g4 pour quatre-vingt-dix et quatre, ou quatre-vingtquatorze ;
gj pour quatre-vingt-dix et six , ou quatre-vingtquinze;
96 pour quatre-vingt-dix et six, ou quatre-vingt-
seize ;
97 pour quatre-vingt-dix et sept, ou quatre-vingt-
dix-sept ;
98 pour quatre-vingt-dix et huit, ou quatre-vingt-
dix-huit ;
99 pour quatre-vingt-dix et neuf, ou quatre-vingt-
dix-neuf.
Les nombres compris entre les centaines s’écrivent au moyen des neuf chiffres qu’on met à la place des deux zéros :
Entre 100 et aoo,on a:
10 1 pour cent un ;
10a peur cent deux ; et ainsi de suitejusqu’à
109 pour cent neuf; puis 1 10 pour cent dix ;
1 1 1 pour cent onze;
1 1 a pour cent douze ; et ainsi de suitejusqu’à
1 19 pour cent dix-neuf ; puis lao pour cent vingt ;
lai pour cent vingt-un ; jusqu’à 129 pour cent vingt-neuf ; puis i3o pourcent trente;
1 3 1 pour cent trente-un ; et ainsi de suite jusqu’à
1 89 pour cent trente-neuf ; i4o, cent quarante; i4>, cent qnarante-mi; et ainsi de suite jusqu’à 1 4g, cent quarante-neuf ;
i5o, cent cinquante; 1 5 1 , cent cinquante-un; et ainsi de suitejusqu’à 1 jg, cent ciiiqnante-neuf;
160, cent soixante; 161, cent soixante-un , et ainsi de suite jusqu’à 169, cent soixante-neuf;
170, cent soixante-dix ; 171, cent soixante-onze; et ainsi de suite jusqu'à 179, cent soixante-dix-neuf;
1 80, cent quatre-vingts ; 1 8 1 , cent quatre-vingtun ; et ainsi de suite jusqu’à 189, cent quatre-vingtneuf; puis 190, cent quatre-vingt-dix; 191, cent quatre-vingt-onze; et ainsi de suite jusqu'à 199, cent quatre-vingt-dix-neuf.
ARITHMÉTIQUE
Pour écrire en chiffres le nombre compris entre
200, deux cents, et 3oo, trois cents, on remplace les zéros de 200 par les neuf chiffres, absolument de la même manière qu’on a remplacé les deux zéros de 100. On a ainsi tous les nombres dont les noms commencent par deux cents et finissent par lés nom» des quatre-vingt-dix-neuf premiers nombres, comme
201 , deux cent 1111 ; 202, deux cent deux, etc. ; 299, deux cent quatre-vingt-dix-neuf.
On écrit de même tous les nombres de3oo, trois cents, à 399, trois cent quatre-vingt-dix-neuf; de 4oo, quatre cents, à 499-» quatre cent quatre-vingtdix-neuf; de 5oo,cinq cents, à 699, cinq cent quatrevingt-dix-neuf; de 600, six cents, à 699, six cent quatre-vingt-dix-neuf ; de 700, sept cents, h 799, sept cent quatre-vingt-dix-neuf ; de 800, huit cents, à 899, huit cent quatre-vingt-dix-neuf; de 900, neuf cents, à 999, neuf cent quatre-vingt-dix-neuf, le plus grand des nombres qui ne renferment que des centaines, des dizaines et des unités simples.
Un mille.
Deux mille. .
Trois mille. .
Quatre mille.
Cinq miilc. .
3ooo
4ooo
5ooo
Six mille.
Sept mille. .
Huit mille. • Neuf mille. .
I.cs nombres de mille se représentent chacun par un des neuf chiffres suivi de trois zéros :
Pour écrire les nombres compris entre les mille, on remplace, suivant qu’il est nécessaire, un, deux ou trois zéros par les neuf chiffres.
Ainsi le nombre mille quatre s’écrit io<>4 ; trois mille quarante, 3o4o ; cinq mille sept cents, 6700, etc.
Les dizaines de mille s’écrivent au moyen des neuf chiffres suivis chacun de quatre zéros; les centaines de mille, au moyen des neuf chiffres suivis chacun de cinq zéros. Pour les nombre» intermédiaires, on remplace les zéros par les neuf chiffres.
Ainsi :
Quarante mille s’écrit 4 0000
Six cent mille 600000
Vingt-quatre mille dix-neuf 2.4019
Trois cent six mille sep cent neuf. . . 306709 Neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille
neuf cent quatre-vingt-dix-neuf. . . 999999 I -es millions, les dizaines de millions , les centaines de millions, formant la 3® classe, se représentent par les neuf chiffres suivis chacun de six, sept ou huit zéros; les nombres intermédiaires s’écrivent en remplaçant les zéros par les neuf chiffres.
Exemple.
Cinq cent quatre millions vingt-neuf mille quatre s’écrit 504029004
Los billions ou milliards, formant la 4* classe, se représentent par les neuf chiffres suivis de neuf, dix ou onze zéros ; les nombres intermédiaires s’écrivent en remplaçant les zéros par les neuf chiffres.
Exemple.
Trois cent vingt-six billions ou milliards neuf mille sept cent trente-six s’écrit. . 326000009736
On compte bien rarement au delà des billions, il est donc inutile de s’occuper des nombres des classes supérieures à celle-ci.
Pour lire un nombre écrit, il faut : 1* le partager, par la pensée ou par des virgules placées en haut, en tranches ou groupes de trois chiffres, en allant de droite à gauche, la dernière tranche à gauche pouvant contenir moins de trois chiffres ; 20 lire, en commençant par la gauche, chaque tranche séparément, comme si elle était seule, en donnant à la tranche qu’on lit le norn de la classe qu’elle représente.
Exemple :
On exprime chaque tranche comme si elle était seule et suivie du nom qu’elle porte. Dans l’exemple précédent, il faut donc dire : Quarante-cinq billions , six cent soixante-treize millions, quatre cent quatrevingt-un mille, deux cent dix-sept unités.
Pour écrire un nombre dicté de vive voix, il faut représenter successivement chaque classe d'unités, comme si elle était seule, en commençant par la plus forte. Ainsi, si je te dicte le nombre six cent quarantecinq , tu remarqueras qu’il se compose de cinq unités, de quatre dizaines, et de six centaines. Tu placeras donc le chiffre 5 au premier rang, le chiffre 4 au second, et enfin le chiffre 6 au troisième, et lu auras(’>43. Tu peux l’écrire également en commençant par les centaines et allant de gauche à droite.
Je vais te dicter quelques nombres pour voir si tu sauras les écrire.
ARITHMETIQUE. 9
Cent soixante-dix-neuf. 179 £
Cinq cent huit. . . • 5o8 «g
Neuf cent quatre-vingt-dix-neuf. . . . 999 -r
Mille quatre. . * km>4 3*
Neuf mille six cent treute gG3o
Quatre cent mille cinquante. ..... 4000^° 32
Décompose-les comme je te l’ai enseigné. Pour le x premier nombre par exemple, tu as trois chiffres, T:z 1 centaine, 7 dizaines et 9 unités ; pour le second ^ tu n'en as que deux, 5 centaines et 8 unités; mais, X afin que te* centaines soient h leur rang, tu as soin de ï: remplacer les dizaines par un zéro : de même, dans X mille quatre , tu ne trouves que i mille et 4 unité* ; g mais, pour que ton chiffre i représente mt//c, tu rem- 2^ places les dizaines et les centaines par des zéros : de ^ même pour le dernier nombre.
Et si tu dois écrire trente billions ou milliards sept cent six millions quarante-huit mille cinq, tu commenceras par le chiffre des milliards :
3o milliards;
Puis celui des millious :
706 millious;
Puis les mille dout tu remplaces la centaine par un zéro :
048 mille;
Puis enfin les unités simples sans dizaines ni centaines, dont les zéros tiennent aussi la place: ooj unités.
Tu trouves : 30,706,048,000.
A IllTHMF.TlyL’K»
t e t’ai expliqué ce que c'est que l’addition, i J ; en le le faisant exécuter avec des nombres i : composés duni'^s seulement : si maintenant lu veux additionner un seul chiffre avec un nombre qui en a plusieurs, tu ajouteras le chiffre aux unités du nombre le plus grand; si la somme des unités n’est composée que d’un chiffre, tu mettras ce chiffre à son rang d'unité sans rien changer aux dizaines.
Ainsi 32 et 5. J’ajoute 5 à 2 et j’ai 37, que tu figureras ainsi :
plus 5
Passant i la colonne des dizaines, tu dis : i de retenu, ou une dizaine, et 4 font 5, et 5 font îo, et 6 font tf>; tu poses 6à la colonne des dizaines, et le t, qui représente dix dizaines ou une centaine, lu l’écris & la gauche du 6, et tu écris ainsi ton addition :
S’il s’agit de nombres composés d’unités, de dizaines et de centaine s, c’cst-i-dire ayant trois chiffres, par exemple :
font 37
Si lu avais à additionner 47 et 8, tu dirais : 7 et 8 font i5, ou une dizaine et 5 unités; lu placerais le chiffre 5 sous les unités, lu retiendrais 1, que tu ajouterais au chiffre 4, qui représente les dizaines, ce qui te donnerait un total de 55, et tu écrirais ainsi celte addition :
plus 8
font 55
S’il s’agit de nombres composés d’unités et de dizaines, c’est-à-dire ayant deux chiffres, par exemple 48, 57, f>3 ; tu les écris les uns sous les autres en tirant une ligne sous le dernier pour séparer le total, et tu dis, en commençant par les unités, c’est-à-dire toujours par la droite : 8 et 7 font i5, et 3 fout 18; tu poses 8 sous les unités et lu retiens 1, qui représente une dizaine.
SS
tu procèdes de même en disant : 3 unités et 8 font 1 1, et 4 font i5 ; tu poses 5 au rang des unités , en retenant 1.
Passant à la colonne des dizaines , tu dis : 1 de retenu et 5 font 6, et 3 font 9, et 6 font i5 ; tu poses 5 au second rang, sous les dizaines, et tu retiens i,*qui représente une centaine.
Passant à la colonne des centaines, tu dis: Une centaine retenue et 2 font 3, et 4 font 7, et 8 font i5; tu poses 5, et lu ajoutes à côté le 1 qui représente un mille. Voici ton opération :
Voici maintenant l'opération à quatre chiffres :
43ai
1" colonne de droite. 1 et 2 font 3, et 1 font 4; je pose 4 sous le 1 .
2* colonne de droite. 2 et 2 font 4, et 6 font 10; je pose o sous le 6} et je retiens 1 que je porte à la colonne suivante.
3* colonne de droite. 1 que j'ai retenu et 3 font 4. et 1 font 5, et 4 font 9; je pose le 9 sous le 4-
4* colonne de droite. 4 et 5 font 9, et 3 font 12; je pose 12, et j'ai pour total :
12904 (douze mille neuf cent quatre).
Voici une addition à cinq chiffres :
1" colonne de droite. 9 et 3 font 12, et 4 font 16, et 6 font 22; je pose 2 sous le 6, et retiens 2.
2* colonne de droite. 2 que j'ai retenus et 3 font 5, et 7 font 12, et 8 font 20, et 7 font 27 ; je pose 7 sous le 7, et retiens 2.
3* colonne de droite. 2 que j’ai retenus et 4 font 6, et 8 font i4,et6 font 20, et 2 font 22 ; je pose 2 sous le 2, et retiens 2.
4* colonne de droite. 2 que j'ai retenus et 6 font 8, et 6 font i4> et 3 foni 17, et 3 font 20: je pose o sous le 3, et retiens 2.
5* colonne de droite. 2 que j ai retenus et 8 font 10, et 5 font 1 5, et 4 font 19, et 9 font 28 ; je pose 28, et j’ai pour total :
280272 (deux cent quatre-vingt mille deux cent soixante-douze).
11 n'est pas inutile, je pense, de signaler comme aussi bonne la manière d'additionner en commençant par le dernier chiffre de la colonne des unités, et de remonter ainsi au lieu de descendre. D'ailleurs en recommençant, selon cette méthode, une addition déjà faite selon la première, elle devient une sorte de preuve ou de vérification.
Nous allons essayer, avant de passer aux additions décimales , d'en faire encore une simple, d’après cette seconde manière.
Supposons des nombres de six chiffres :
Nous dirons ainsi :
ir* colonne de droite. 2 et 4 font 6, et 3 font 9, et 5 font 14, et 8 font 22, et !\ font 26; je pose 6, et retiens 2.
2* colonne de droite. 2 que j'ai retenus et 3 font 5, et 5 font 10, et A font 1 4» et 7 font 21, et 5 font 26, et 5 font 3t ; je pose 1, et retiens 3.
3* colonne de droite. 3 que j’ai retenus et 4 font 7, et 6 font i3, et 5 font 18, et 1 font 19, et 7 font 26, et 9 font 35; je pose 5, et retiens 3.
4e colonne de droite. 3 que j'ai retenus et 5 font 8, et 7 font i5, et 6 font 21, et 9 font 3o, et 3 font 33, et 8 font 4 1 ; je pose 1, et retiens 4»
5* colonne de droite. !\ que j'ai retenus et 6 font 10, et 8 font 18, et 7 font 25, et 6 font 3 1, et 9 font 40, et 7 font 47 ; je pose 7, et retiens f\.
6* colonne de droite. 4 que j’ai retenus et 7 font 1 1 , et 9 font 20, et 8 font 28, et 2 font 3o, et 6 font 36, et 3 font 3q; je pose 3q.
Ce qui nous donne un total de
397i5t6(trois millions neufeent soixantc-onze mille cinq cent seize.
