en 207 se trouve neuf fois. Pour t’assurer que

10 en 84 se trouve huit fois, et 4 de reste; tu poses 8 sous le 4, et tu retiens 4<>; 4° el 5 font 45.

10 en 45 se trouve quatre fois, et 5 de reste; tu poses 4 sous le 5, et tu retiens 5o ; 5o et 9 font 5g.

8 sous le 4» et tu retiens 4» c’est-à-dire 4°l 4° el 8 fout 48.

10 en 48 se trouve quatre fois, et 8 de reste; tu

poses 4 sous le 8, et tu retiens 80; 80 et 4 font 84. $ ce chiffre 9 est exact, avant de le poser au quotient,

g tu multiplies le diviseur par 9, en disant 9 fois 3 X font 27; pose 7, et retiens 2; 9 fois 2 font 18 et 2 g de retenus font 20; ce qui te donne précisément 207 $ Tu retranches ce produit de ton premier dividende 10 en 5g se trouve 5 fois, et 9 de reste; tu poses & partiel, il te reste zéro.

5 sous le 9, et le reste 9 un peu à droite. Ton quotient est donc 3g, c’est-à dire que, dans

Quotient : 6,784,845 9 (six millions sept cent le nombre 897, on trouve le nombre 23 3g fois quatre-vingt-quatre mille huit cent quarante-cinq, K tout juste.

et 9 de reste). S Tu vois que la division est une opération triple,

Je te montrerai plus tard comment on opère pour puisque, dans la même règle, il te faut diviser, source reste. traire et multiplier. 11 est bon de s’accoutumer à faire

J'ai commencé par te faire faire une division ^ de tête ces deux dernières opérations, afin de ne pas ayant le nombre 10 pour diviseur, parce que tu J charger son calcul de chiffres inutiles, n’avais pas de peine à trouver combien de fois ce g D’ordinaire aussi on met un point après le prenornbre était contenu dans un autre , sachant g micr groupe de chiffres du dividende qui contient d’avance que 4<b 5o, 60, sont quatre fois, cinq fois, le diviseur. Ce groupe de chiffres s’appelle premier six fois dix ; plus le chiffre qui y est joint, s’il y en g membre : ce qui reste du dividende après la pre-

a un, comme 48, 59, 64. Mais, si le diviseur composé de deux chiffres est un nombre plus fort et moins commode que 10, nous serons peut-être un peu plus embarrassés.

Par exemple :

mière soustraction s’appelle deuxième membre.

Voici une manière d’abréger la division en faisant la multiplication du diviseur, à mesure qu’on met un chiffre au quotient, et la soustraction sans poser le produit :

Dividende. . .

| 23 Diviseur.

3g Quotient.

Comme ton opération se trouve un peu plus compliquée, tu remarques qu’elle n’est pas posée de la même manière; le quotient cette fois est placé sous le diviseur et non sous le dividende : tu vas en voir la raison. Tu commences comme de coutume :

en 89 se trouve combien de fois? — Tu l’auras bientôt trouvé en inultipliaut dans ta tête ou sur l’ardoise le nombre i3 par 2, par 3, par 4» tu trouves que 3 fois 23 te donne 69, et 4 fois ?3, 92. Ce dernier produit est trop fort, donc 23 en 89 se

AhlTHMiTIQUK.

Le diviseur étant plus grand que les deux premiers chiffres du dividende, il en faut prendre trois après lesquels tu poses un point, disant: En 473 combien de fois ‘>4? ou en 47 combien de fois 5? 11 pourrait y aller neuf fois; mais 54 multiplié pur 9 donne 486, qui est plus fort que 4y3; il ne peut donc y aller que 8 fois; tu poses 8 au quotient.

Tu multiplies les quatre unités du diviseur par le nombre 8, ce qui te donne 3a, lesquels ôtés de 33 (car tu empruntes au second chiffre de ton dividende un chiffre égal au second chiffre de ton produit ), il reste 1, que tu poses sous le dividende, et tu retiens 3. Tu multiplies encore par 8 le second chiffre du diviseur, disant : 8 fois 5 font 4<> cl 3 de retenus font 43, lesquels ôtés de 47) il reste 4 ; tu

ARITHMÉTIQUE

poses 4, ta descends le dernier chiffre du dividende, et tu as pour deuxième membre 4*8. Tu dis donc en 4* combien de fois 5? Tu vois qu’il n’y peut aller que sept fois, et tu poses 7 au quotient ; lu multiplies encore 54 par 7, disant : 4 fois 7 font 28, lesquels ôtés de 28, reste zéro, et retiens 2; sept fois 5 font 35 et 2 de retenus font 37, qui ôtés de 4» reste 4, que tu poses devant le zéro ; ce qui te fait 4» de reste en sus du quotient, qui est 87.

C’esl-à-dirc que , si tu partages 4?38 fr. entre cinquante-quatre personnes, chacune aura 87 fr., plus 4o fr. qui resteront à partager en portions de moins d’un franc.

Quand un des dividendes partiels ne contient pas le diviseur, tu poses un zéro au quotient pour donner aux autres chiffres leur valeur relative.

9 en 27 se trouve trois fois sans reste ; tu poses 3 au quotient;, et zéro au deuxième membre de la division ; tu descends le chiffre suivant, qui est 8.

9 en 8 ne se trouve pas; tu poses zéro au quotient, et tu descends le dernier chiffre du dividende 1.

9 en 81 se trouve 9 fois, puisque 9 fois 9 font 8 1 . Tu soustraits ce produit de tou dernier membre, ce qui te donne zéro.

Par conséquent tu as pour quotient 309 (trois cent neuf).

Lorsque le dividende et le diviseur sont terminés par des zéros, on peut, pour abréger, supprimer ceux du nombre qui en a le moins, et en supprimer autant à l’autre nombre.

2 i9ooo i

3oo

3 en 24 se trouve huit fois, puisque 3 fois 8 font 24*, tu poses 8 au quotient, et zéro au deuxième membre, puisque tu n’as point de reste, et tu descends le chiffre suivant.

3 en 9 se trouve trois fois ; tu poses 3 au quotient, et zéro sous le 9 du dividende; tu 11’as plus h descendre qu’un zéro, pour lequel tu en poses un autre an quotient, qui est 83o (huit cent trente).

l^a suppression égale des zéros ne change rien au quotient, puisque le rapport d'un nombre à l’autre reste toujours le môme, quoiqu’ils soient devenus chacun cent fois plus petits. Ici le quotient est tou-

jours 83o, c’est-h-dire que 3 est contenu 83o fois en 2490, comme 3oo en 249000.

Tu te souviens que pour nfultiplier un nombre par dix, par cent, par mille, il suffit d’ajouter un, deux, trois zéros. De même pour diviser un nombre par dix, par cent, par mille, il suffit de retrancher un, deux, trois zéros, si les derniers chiffres sont des zéros. Si le diviseur seulement est l’unité suivie de zéros , on divise en retranchant à la droite du dividende autant de chiffres qu’il y a de zéros au diviseur. Si tu partages 4376 fr. entre dix personnes, n’ayant qu'un zéro au diviseur, tu retranches le chiffre 6 de ton dividende, et tu trouves qu’elles auront chacune 437 fr., plus 6 fr. de reste.

Si tu partages 5863o fr. en cent portions, chacune sera de 586 fr., et tu auras 3o fr. de reste. Si c'est en mille portions, tu auras pour chacune 58 fr., et il restera 63o fr.

Si tu multiplies ou si tu divises le diviseur et le dividende par un môme nombre, le résultat de ta division ou le quotient demeurera toujours le môme. Si par exemple tu as à diviser 12 4

3 sera le quotient.

Si tu multiplies le dividende et le diviseur par 4, tu auras :

3 sera toujours le quotient.

Tu comprends que la différence qui existe entre 12 et 4 est précisément la même qui existe entre 48 et 16, puisque, chacun de ces nombres étant le quadruple des premiers, le rapport n’a pas changé. C’est ce qu’on exprime d’une manière abrégée, en écrivant ta : 4 : : 48 : 16; ce qui veut dire 12 est à 4 comme 48 est à 16.

Il me reste maintenant h te donner un exemple de division en nombres composés.

Quand le diviseur et le dividende ont un nombre égal de décimales, tu opères comme pour des nombres entiers, et tu sépart'9 dans ton résultat les décimales par une virgule; mais toutes les fois que le nombre des décimales d’un nombre n’est pas égal a celui de l’autre, on les rend égaux en y ajoutant un ou plusieurs zéros, pour qu'il y ait autant de parties décimales au dividende qu’au diviseur.

Ainsi, dans cette question : lin particulier ayant acheté 9^6 hectolitres de vin pour 43279 fr. 5o c., veut savoir à combien lui revient l’hectolitre.

Tu poses les francs et les centimes sans les séparer par uue virgule, ce qui rend le nombre du divi-

ARITHMÉTIQUE. 27

dende cent fois plus grand. 11 faut donc rendre aussi le diviseur cent fois plus grand ; à cet effet lu y ajoutes deux zéros, et tu fais ton opération sans t’embarrasser des parties décimales.

9 en 4.5 se trouve quatre fois; tu multiplies Ion diviseur entier par le chiffre 4» que tu poses au quotient, et tu soustrais chiffre à chiffre le produit du dividende, comme tu las fait plus haut, et tu as pour deuxième membre 543900, en descendant le zéro qui reste de ton dividende. Tu opères pour le deuxième membre comine pour le premier, en disant : En 54 combien de fois 9? il y est 5 fois (si tu disais 6 fois, le produit du diviseur entier multiplié par 9 serait trop fort); tu poses 5 au quotient, et tu multiplies encore une fois ton diviseur par ce môme chiffre, retranchant à mesure du deuxième membre, comme tu as fait du premier; tu descends le zéro de ce deuxième membre, et tu passes au reste, auquel lu ajoutes un zéro, parce qu’il représente des décimales.

Tu demandes encore une fois en 70 combien de fois 9? il y est 7 fois. Tu poses 7 au quotient, et tu multiplies et soustrais comme pour les autres chiffres; tu as pour reste 473ooo; car lu ajoutes encore un zéro. Ce nombre devant représenter des centimes, tu recommences ton opération en disant une dernière fois : En 47 combien de fois 9? il y est 5 fois ; tu poses 5 au quotient, et tu recommences ta multiplication et ta soustraction en disant : 5 fois zéro est zéro, de zéro reste rien, 5 fois zéro de zéro reste rien ,5 fois G font trente, de 3o reste rien, et re-

£ tiens 3 ; 5 fois 4 font 20 et 3 de retenus font i3, de S a3 reste rien ; 5 fois 9 font 4^, et a de retenus font

ï” kl» (*e 47 re8,c r'en » tOD <luolicnt est de 4^*7^» tu

ÿ sépares les décimales par une virgule, et tu trouves ? que l’hectolitre revient à quarante- cinq francs •j» soixante-quinze centimes.

ÿ Ceci te met sur la voie de la méthode que tu dois employer quand tu as un reste à diviser. Ce reste î: étant trop petit pour contenir le diviseur, tu y ajoutes *£ un zéro, et tu as alors des décimes, ou des déeimè- § très, ou des décilitres, ou des décigrammcs, selon ? l’unité que tu divises ; enün des parties dix fois plus il petites, et par conséquent dix fois plus nombreuses. ^ Si ce reste divise le donne un nouveau reste, lu £ ajoutes deux zéros, et, en le rendant cent fois plus grand, tu as des parties cent fois plus petites, c’csl- X à-dire des centièmes de franc, de mètre, de gramme, ^ de litre, ou des centimes, centimètres, etc. Tu peux g ainsi diviser jusqu'aux dix-millièmes. 11 est bien Z* entendu que ceci ne peut avoir lieu que pour les § objets qui peuvent se diviser en fractions décimales. S Si tu devais partager un nombre d’objets entiers g qui ne pussents ni se mesurer, ni se peser, ni se diviser en quantités plus petites, le reste ne pourrait S se partager également. Ainsi, si tu devais distribuer 3: cent jetons à quarante-cinq personnes, elles auraient £ chacune deux jetons, et il en resterait dix qui S n'entreraient pas dans le partage.

ÏÜ II y a encore d’autres règles d’arithmétique que X celles que je viens de t’enseigner, mais elles sont Z- trop compliquées pour Ion Age. Dans la prochaine leçon, je te montrerai les divers moyens de s’assurer qu’une règle est bonne, c’est ce qu’on appelle la preuve , et tu en sauras assez pour le présent. Il faut seulement ne pas négliger de s’exercer con- £ stainment, car rien ne se perd plus vite que l’habi- $ tude de calculer.

ARITHMETIO.de. - HUITIÈME LEÇON. (Preuves.)

itsqu’a présent j’ai vérifié moi-même tes opérations, pour m’assurer qu’elles étaient justes. Maintenant je vais rapprendre la mate prou ver à toi-même que ta règle est bonne. C’est ce qu’on appelle la preuve d’une opération.

Commençons par relie de l'addition. On la fait de plusieurs manières ; d’abord par Y addition même.

Preuves de V addition.

Après avoir fait ton addition, tu sépares par un trait ton premier nombre des autres, et lu additionnes tous les nombres restants; à la somme de tous ces nombres , tu ajoutes le premier nombre que tu as séparé : si le total est conforme à celui de ta première addition , ta règle est bonne. Par exemple :

iiière de

£ as séparé, et tu obtiens *5879, somme conforme à ton premier total. Ton addition est donc exacte.

•g Deuxième preuve.

& La deuxième preuve se fait par la soustraction.

Tu opères d’abord comme pour la première, en •£ séparant un nombre et additionnant les autres ; tu retranches alors ce total partiel du total de ton opé- £ ration, et tu dois trouver pour reste le nombre que fg tu as d’abord retranché, sinon l’opération n’est pas *£ bonne. Voici l’application de cette preuve à l’addi- •£ lion ci-dessus :

Total général. . . . 25879

Total partiel . . . . 21195

Reste 4684, égal au nombre

retranché.

Total général. . . . 20879

Total partiel . . . . 21195

Preuve. 25879

Après avoir fait ton addition à l’ordinaire, tu sépares par un trait le nombre 4684» et tu additionnes les trois nombres qui restent , ce qui te donne £•! 21 190 ; à ce nombre tu joins celui de 4684, que tu ^

Après avoir supprimé un nombre et additionné ceux qui restent, tu en retranches le total 21 190 du total général 25879, et tu as pour reste 4684, qui est précisément le nombre retranché d’avance. Ta règle est donc exacte.

Troisième preuve.

Celle-ci est encore plus simple; c’est aussi une soustraction ; mais tu fais l’opération d’un seul coup.

Ton addition faite, tu la recommences par la colonne de gauche, et tu retranches;» mesure la somme de chaque colonne de la partie du total qui y correspond; si le résultat de la dernière soustraction est un zéro, la règle est bonne. Appliquons cette preuve à l’opération précédente:

4‘fi7

4* colonne. 4 et 6 font 10 et 9 font 19 et 4 font •j3; tu retranches ?3 de la partie du total qui y correspond, c’est-à-dire de i5, et tu as pour reste 2, que tu poses sous le 5.

3* colonne. 6 et 8 font i4 et 7 font 21 et 5 font 26, que tu retranches de 28, c’est-à-dire des 2 mille, reste de la soustraction précédente, et des 8 centaines du total, ce qui fait 28 centaines ; 26 de 28 reste encore 2, que tu poses sous le 8 (tu te rappelleras que ce 2 et le chiffre suivaut du total fout 27).

2* colonne. 8 et 4 font 12 et 8 font 20 et G font 26; tu retranches 26 de 27, et tu poses 1 sous le 7, en te souvenant de joindre ce chiffre au chiffre suivant du total, ce qui te donne 19.

1” colonne. 4 et 4 font 8 et 4 font 12 et 7 font 19; 19 de 19 reste zéro, ce qui devait être, puisque tu as retranché successivement du total les mille, les centaines, les dizaines et les unités dont ce total était composé.

Preuve de la soustraction.

La preuve de la soustraction se fait en additionnant le plus petit nombre ou le nombre retranché à la différence donnée par l'opération , et on doit retrouver le plus grand. Tu conçois qu’il n'en peut être autrement , puisqu’en rejoignant la différence au plus petit nombre, il est égal au plus grand. On fait ici l’addition de bas en haut; pour n’avoir rien à écrire, on suppose qu’on pose à mesure les chiffres du grand nombre.

47G9fi9

Reste. . . . 180876

iM colonne. 6 et 9 font i5; tu poses 5 comme au grand nombre, et tu retiens 1.

2* colonne. 7 et 6 font i3 et 1 de retenu font 1 4 ; tu poses 4» ou plutôt il se trouve tout posé au grand nombre, et tu retiens 1.

3* colonne. 8 et 9 font 17 et 1 de retenu font 18; tu poses 8, et tu retiens 1.

4* colonne. Zéro et 6 font 6 et 1 de retenu font 7 ; tu trouves en effet 7 au grand nombre.

5* colonne. 8 et 7 font i5 ; tu as aussi 5 au grand nombre, et tu retiens 1 .

6* colonne. 1 et 4 font 5 et 1 de retenu font 6; c’est bien 6 que tu trouves au grand nombre ; ta soustraction est exacte.

La preuve pourrait se faire également par la soustraction en retranchant la différence ou reste du plus grand nombre; ce serait alors le plus petit nombre qu’on devrait trouver pour résultat; mais la première manière me parait la plus simple, par conséquent nous nous y tiendrons.

Preuve de la multiplication.

On peut la faire par la multiplication même ; quand le multiplicande et le multiplicateur sont des nombres pairs, c’est-à-dire dont on peut prendre la moitié exactement. Tu prends la moifé du plus grand nombre, et tu doubles le plus petit; tu fais lainultiplicatiou,et tu dois obtenir le même produit.

Si, par exemple, tu as à faire la preuve de l’opé-

ration suivante :

Multiplicande 298

Multiplicateur. 26

Produit des unités 1788

Produit des dizaine 586

Produit total 7/4^

Preuve :

Moitié du multiplicande. . . i4y Double du multiplicateur. . 52

Produit des unités. 298

Produit des dizaines 7$5

Produit total égal au produit de l’opération 774®

Si l’un des facteurs est impair et l’autre pair, on prend la moitié du facteur pair et l’on double le facteur impair.

Quand les deux facteurs sont impairs, on double le multiplicande, et on obtient un produit double du premier, ou égal au premier multiplié par 2. Mais dans ce cas, tu feras mieux, pour abréger, de foire la preuve de la multiplication par la division.

Deuxième preuve.

En divisant le produit d’une multiplication par l’un des deux facteurs, multiplicande ou inultipli-

ARITHMÉTIQUE

cateur , lu dois avoir l’autre fadeur pour résultat au quotient; ainsi en nous servant de l’exemple précédent :

ARITHMÉTIQUE

Preuve .

tu vois qu’en prenant ton produit pour dividende, ^ ton multiplicateur pour diviseur , tu trouves pour £ quotient ton multiplicande; de même, si tu prends S le multiplicande pour diviseur, tu auras le multipli- 3» cateur pour quotient, c’est-à-dire si ta règle est juste. &

Preuve de la division. £

Pour faire la preuve de la division, on" emploie & la multiplication ; c’est-à-dire que, si tu multiplies le quotient par le diviseur, ou le diviseur par le quotient , ce qui revient au même , le produit doit être égal au dividende, s’il n’y a pas de reste; s’il y en a un, tu l’ajoutes au dernier produit partiel avant d’en faire l’addition , sans quoi ce reste manquerait au produit général.

Division.

Reste.

Par.

Preuve.

365 Diviseur.

24 Quotient.

4 Reste.

Produit 8764 égal au dividende.

Maintenant que te voilà en état de faire ce qu’on appelle les quatre règles et de t'assurer par toiinême que tu n’as point commis d’erreur, nous en resterons là de l’arithmétique. A moins de se destiner aux sciences mathématiques ou au commerce en grand, c’est tout ce qu’il est nécessaire de savoir ; mais il faut le savoir bien, car on en a continuellement besoin, comme tu verras plus tard, quand tu seras d’âge à faire toi-même l’emploi de l’argent nécessaire à ton entretien.

Au lieu du mètre , on employait pour mesurer les étoffes l'aune de Paris (égale à 1 mètre 19 cent.). Ses subdivisions sont :

Une demi-aune, qu’on écrit £

Un quart j

Un huit j

Un seize

Un trente-deux 3',-

Un tiers ~

Un six i

Un douze 7—

Un vingt-quatre

Un quarante-huit -fj

Je t’ai déjà dit que ce qu’on nomme encore la livre, poids, était un demi-kilogramme. L’ancienne livre pesait un peu moins (490 grammes); elle se subdivise en seize onces, ou en demi-livre, quart, deini-quart, etc.

La livre des monnaies a aujourd'hui la même valeur que le franc, puisqu’elle vaut vingt sous et que le sou vaut cinq centimes. Mais la manière de compter est différente, parce que les parties dont elle est composée ne peuvent se joindre comine si elles £ étaient d’une seule espèce, ainsi que cela se pratique § dans le calcul décimal. Au lieu de se subdiviser en jg* dixièmes ou décimes , puis en centièmes ou ccnti- «£ mes, comme le franc, la livre se subdivise en vingt £ sous, et le sou en douze deniers. Cette dernière mon- ^ naie est en quelque sorte imaginaire aujourd’hui ;

on ne rencontre au-dessous du sou que des liards jg il en faut quatre pour faire un sou. On en trouve •g encore quelques-uns en circulation, ainsi que des *£ pièces de deux liards et de six liards ; mais on ne -J les fait pas entrer en chiffres. Ou n’écrit que les livres , sous et deniers , de cette façon :

S Quatre livres 2 sous 6 deniers, ou deux sous Si et demi.

Addition.