Considérons maintenant un parallèlipipéde rectangle
(Jîg, 9) dont les arêtes, que nous supposerons parallèles aux axes de coordonnées, ont pour longueurs eio?, dy^dz^ et écrivons que ce parallèlipipéde est en équilibre sous Faction des pressions qui s'exercent sur ses faces et sous l'action de la force extérieure dont les composantes sont Xc?T, Yrfr, Zc?t.
Fig. 9.
Les équations qui expriment que la somme des moments des forces par rapport à chacun des trois axes de coordonnées est nulle conduisent précisément aux relations (2). Exprimons donc seulement que la somme des composantes Kuivant un
DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS l'ACTION ÉLECTRIQUE 85
des axes des forces qui agissent sar le parallélipipède est nulle.
La pression qui s'exerce sur la face ABCD a pour composante parallèle à Ox, ^xxdy dz\ la pression qui sVxerce sur la face opposée EFGH a pour composante suivant la même direction
{Pxar-| — zf^ ^) ^y^^« Nous adopterons la notation de
Maxwell qui regarde les tensions comme positives et les pressions comme ne'gatives ; la résultante de ces deux forces se réduit alors à leur somme algébrique.
^^dxdydz='^'''
dx
dw
dx.
Nous trouverions de la môme manière pour la somme algébrique des composantes parallèles à Ox des pressions qui s'exercent sur les autres faces du parallélipipède,
dy
dr.
dz
dx*
La somme de ces quantités doit être égale à — Xdx; nous avons donc
dx
dy ' dz
En écrivant que les sommes des composantes des pressions suivant lesaxes desy et des -y sont égales aux composantes de la force extérieure suivant les mêmes axes, nous obtiendrons deux équations analogues. En divisant les deux membres de chacune de ces équations par dx, nous aurons, en tenant
86 ÉLECTRiaiÉ ET OPTIQUE
compte des relations (2) :
rfP.
dx
rfP,
xs..
dx dx
rfP„
dy rfP,
dy rfP
dy
rfP.
dz
rfP;
SU
dz
dz
dx d^
80. Ce système de trois équations contient six inconnues; il admet donc une inOnité de solutions. Maxwell prend la sui* vante :
p Kf/d^y
- B^Wdz) \dœ) \dy) \
p p -IL^^ ^^ -^" — i^dxdy
zy
ly, .
li^d±d^ ~ " ~ 4it dy dz
Kd^d^
* arx — "sx —
47C dœ dz
Montrons que ce système de solutions satisfait bien aux équations (3). On a
dP^Kmd^ dœ 47C \dx dx^
d^ <P^ d^ iéP^ \ dy axdy ds/dxdzj
çgpary K /c?i çPjj; , d^.^£±
dy dz
dx dy^ ' dy dœdy ^ Ji^\dœ dz^ "*" dg:dœdz/
DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS l' ACTION ÉLECTRIQUE ^
et le premier membre de la première équation devient, après réduction,
47C dœ \dx^ ^ dy^ ^ dz^J "" 47c dœ ^'
Or on a vu (12) que dans un miJieu diélectrique homogène, on a
KAij/ = — 47cp.
Par conséquent le premier membre de Téquation considérée peut s'écrire
ce qui montre que cette équation est satisfaite.On s'assurerait de la même manière que les deux dernières des équations (3) sont vérifiées par la solution adoptée par Maxwell.
81. Prenons pour axe des a? la direction de la force électromotrice en un point et pour axes des y et des z deux droites rectangulaires perpendiculaires à cette direction. Si nous désignons par F la valeur absolue de la force électromotrice, nous avons dans ce nouveau système d'axes
dœ dy dz
En portant ces valeurs dans les relations (4) , nous obtenons
