Foroe magnétique dans l'intérieur d'un aimant

— Nous ne pouvons connaître la force qui s'exerce sur Tunité de masse magnétique placée à l'intérieur de l'aimant sans y creuser une petite cavité permettant d'y placer un petit aimant d'épreuve ; mais l'existence de cette cavité modifie Faction de l'aimant et cette modification dépend de la forme donnée à la cavité. Pour faire le calcul de la force en un point de la cavité, il faut donc en connaître la forme.

Maxwell ne considère que deux cas particuliers dans lesquels la cavité est un cylindre très petit dont les génératrices sont parallèles à la direction de la magnétisation. Dans le premier cas la hauteur du cylindre est infiniment grande par

% rapport à sa section ; dans le second elle est infiniment petite.

i Appelons û le potentiel de TaiiBant tout entier en un point

» intérieur et Q^ le potentiel de la masse cylindrique enlevée

> pour former la cavité en ce môme point. La diOérence û— Û|

^ est la valeur du potentiel de Taimant en P quand hi cavité y est

creusée. La force sur Tunitéde masse magnétique a ators pour

composantes

dœ dœ dy "• dy 2F dz

lOO. Cherchons la valeur de û| quand la hauteur du cylindre est grande par rapport à la section, û^ est la somme de deux intégrales, l'une étendue à la surface, Fautre au volume. Cette dernière est infiniment petite du troisième ordre et peut être négligée vis-à-vis de la première. Mais dans celle-ci les éléments correspondant auK bases du cylindre peuvent aussi être négligés, ces bases étant infiniment petites par rapport à la hauteur; il n'y a donc à tenir compte que de la surface latérale. Or, en tout point de cette surface la normale est perpendiculaire à la direction de magnétisation ; par suite, la projection /A -|- /nB -f- nC de la magnétisation sur cette normale est nulle et les éléments de l'intégrale correspondante à la surface latérale sont encore nuls. Il en résulte donc que l'on peut alors négliger la quantité û^. On a pour les composantes de la force magnétique

* dx^ ^ dy^ ^ dz^

expressions identiques à celles qui donnent les composantes en un point extérieur.

101. Induction magnétique* — Passons maintenant au cas où la hauteur de la cavité cylindrique est très petite par rapport à la base. Gomme précédemment, nous pouvons dans la valeur de Û, négliger l'intégrale étendue au volume. Dans rinlégrale double les éléments fournis par la surface latérale sont nuls puisque la normale à chaque élément de surface est perpendiculaire à la direction de magnétisation ; il suffit donc d'étendre l'intégrale double à la surface des bases du cylindre.

Pour trouver la valeur de celte intégrale prenons pour axe des œ une parallèle à la direction de magnétisation ; cet axe sera alors perpendiculaire & chacune des bases du cylindre Pour chaque élément de l'une d'elles nous aurons ^ = i, m == o, n = 0, et pour chaque élément de l'autre /== — 1, w = o, n = 0. Dans ce système d'axes particulier nous avons donc pour la valeur de û|,

— diû ,

chacune des deux intégrales étant étendue à la surface des bases. Cette valeur est la même que si Ton supposait que chaque base du cylindre est recouverte d'une couche de magnétisme ayant respectivement pour densités -f- A et — A. L'étendue de ces couches étant très grande par rapport à leur distance, qui est égale à la hauteur du cylindre, l'action qu'elles exercent sur l'unité de masse magnétique placée entre elles a pour valeur iwA. Cette force est dirigée du côté de la couche négative, c'est-à-dire en sens inverse de la magnétisation.

La cavité, qui a un effet contraire à celui dû cylindre aimanté de même volume, produira donc ufte augmentation de la

GoooIp

lirection de la magnétisation et cette augmenta- . Par suite la composante suivant oœ de la force dmant sur Tunité de masse placée à Tintérieur

a = — -j — f- 47tA ^ a -|- 47cA'

d que si au lieu de prendre le système particunt nous avons fait usage, nous prenons des axes tous obtiendrons pour les composantes de la cessions analogues à la précédente, an tes sont donc

a = OL -j-47cA, ô = p -f47rB,

3pelle les composantes de t induction magnélique le taimanL

rquons que la quantité

ddœ -|- ^dy -f ^dz

entielle totale, puisqu'elle est égale à — dù^ quantité

adx + bdy \- cdz

lifTérence entre la force magnétique et Tinducue consiste dans la valeur de la somme des dées de leurs composantes : cette somme est nuUe

pour rinduction magnétique; elle ne Test pas pour la force magnétique.

Montrons en effet que

da , db . de On a

dœ'^ dy'^ dz'^ dx"^ dy'^ d^'^ Kdx'^ dy'^ dzj' ou

da . db , de Ar^ . * /^A , rfB , dG\

Or,

dX ^^ dB j^ dC

dœ'^dy'^dz'^^'

et la relation de Poisson donne, pour un point intérieur,

Au = — 47rp.

La somme considérée est donc nulle.

103. Magnétisme induit. — Certains corps placés dans un champ magnétique s*aimantent par influence. Poisson admet que les composantes de la magnétisation induite en uù point d'un tel corps sont proportionnelles aux composantes de la force magnétique en ce point. Posons donc ^.^SeESE i^BaioîT>s.

.universityJ

A = xa, B = xB, C = XY. \ r^A. <^^

D*après les formules précédentes, les composantes de Tin*

âLKCTRICITifc ET OPTIQUB. S

Googl^

il4 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

duction seront, au même point,

ûj = a + 47rA = (i -|- ^'^^) *> 6 = p + 47rB = (i + 47cx) B, C = Y -|- 47rC = (1 + 47cx) Y-

En posant

ces formules deviennent :

a = |xa

- Maxwell appelle [i. la capacité magnétique inducUve, Celte quantité est analogue au pouvoir inducteur spécifique K de Télectrostatique; elle est plus grande que Tunité pour les corps magnétiques, égale àTunitédanslevide, pluspetiteque Tunité pour les corps diamagnétiques.

104. La simplicité des formules précédentes peut faire illusion sur la difficulté de la détermination de l'induction eu un point d'un corps. C'est que nous n'avons pas tenu compte de ce que x et [jl ne sont pas des constantes ; en second lieu nous avons supposé n'avoir en présence que des aimants permanents où la force coercitive est infinie et des aimants produits par influence dans lesquels la force coercitive est nulle.

Les corps naturels ne satisfont pas à ces conditions. La force coercitive ne peut jamais être ni rigoureusement nulle, ni rigoureusement infinie. De plus le coefficient x n*est pas une

constante. C'est une fonction de l'intensité du magnétisme

Va* -j- B* -f- C* à laquelle on a donné le nom de fonction magnétisante. On n'aie droit de regarder x et [jl comme des constantes que si la magnétisation est très fsiible.

C'est ce que nous supposerons toujours dans ce qui va suivre, et cela sera d'autant plus légitime que pour la plupart des corps [jl diffère très peu de i.