Théorème II. — Le potentiel d'un circuit fermé

plan en un point extérieur situé dans son plan est nul.

a. Supposons d'abord que le circuit possède un axe de symétrie OA {/Ig. 14), et plaçons un pôle magnétique en un point quelconque de cet axe. Si nous faisons tourner le circuit autour de son axe de symétrie, le pôle magnétique conserve toujours la même position par rapport au circuit et, par conséquent, le potentiel en ne

ÉLEGTR0MA6NÉTISIIE

varie pas. Mais quand le circuit a tourné d*un angle de 180"^, il revient dans son plan primitif et le sens du courant représenté dans la position initiale par les flèches de la figure 14, est, après cette rotation, représenté par les flèches de la figure 15. Le courant a donc changé de sens par rapport au point 0, et d'après la loi des courants de sens inverses, la force qui s'exerce sur le pôle a changé de sens. De ce changement dans le sens de la force résulte un

changement dans le signe du potentiel Q ; comme d'autre part ce potentiel doit conserver la môme valeur il doit être nul. ^^8- 16.

b. Si le circuit a la forme d'un rectangle curviligne BGDE {fiç, 16), formé par les arcs de cercle BG et DE et par les portions BD et CE des rayons BO et GO le potentiel en est nul puisque ce point appartient à l'axe de symétrie OA de la figure.

c. Quand le circuit fermé se compose d'une série d'arcs de cercles concentrique AB, CD,... {fiç. 17), réunis par des portions rectilignesGD,DE,... passant par le centre commun 0, le potentiel en ce point est évidemment nul, d'après ce qui précède et d'après le théorème I.

Flg. 18.

d. Passons enfin au cas général d'un circuit plan de forme

quelconque {fig. 18). Prenons sur le circuit des points très voisins A, B, C,... et par ces points faisons passer des arcs de cercle ayant pour centre un point quelconque du plan du cincuit. En menant par un nombre égal de rayons convenablement choisis, nous pourrons former un circuit fermé KahVcc\,, dont les divers éléments sont très rapprochés des éléments du circuit donné. D'après le principe des courants sinueux, Faction de ces deux circuits sur un pôle magnétique est la même. Or, nous venons de voir que le potentiel enO dû au courant sinueux composé d*arcs de cercle concentriques et et de portions rectilignes dirigées vers le centre est nul. Par suite il en est de même pour un circuit de forme quelconque.

109. Théorème III. — Quand un circuit fermé est trace sur la surface latérale cTun cône de telle manière que chacune des génératrices du cône rencontre le circuit un nombre pair de fois, zéro pouvant être un de ces nombres ^ le potentiel du sommet du cône, supposé non enveloppé par le circuit, est nul.

En effet, en traçant sur la surface du c6ne{/îg. i9)des|^éné~

Fig. 19.

ratrices infiniment voisines, nous pouvons décomposer le circuit en éléments plans tels que AGDBA. Le point étant situé dans le plan de chacun de ces circuits partiels le po-

ÉLKGTROMAGNÉTISME 121

tentiel en ce point dû à fun quelconque d'entre eux est nul ; la somme de ces potentiels, c'est-à-dire le potentiel dû au circuit total, est donc nulle.

110. Théorème IV. — Quand deux circuits fermés y tracés sur la surface latérale d'un cône et coupant toutes les génératrices au moins une fois ^ sont parcourus par des courants de même intensité et de même sens par rapport à un observateur placé au sommet du cône le potentiel en ce pointa la même valeur pour chacun des circuits.

Soient ACE et BDF [fig. 20) les deux circuits parcourus par des courants dont le sens est indiqué par les flèches pla-

Fig. 2a.

cées extérieurement. Si nous supposons ces circuits parcourus en même temps par des courants égaux en intensité mais dont le sens, indiqué par les flèches intérieures, est contraire à celui du courant réel qui les traverse, le potentiel en dû à Tensemble de ces quatre courants est évidemment nul. Il sera encore nul si nous ajoutons à ces courants des courants de même intensité mais de sens différents parcourant deux génératrices quelconques du cône, AB et CD. Mais Tintensité étant

la même pour tous les courants, nous pouvons considérer le système comme formé :

1* Du circuit fermé ACDB parcouru dans le sens indiqué par Tordre des lettres; 2*» du circuit fermé ABFDÛEA; 3*» du circuit BDF ; 4° du circuit AEG. Le potentiel en dû à chacun des deux premiers circuits est nul, car chacun d'eux satisfait aux conditions du théorème précédent. Le potentiel dû h. Tensemble du troisième et du quatrième circuit est donc nul et par conséquent le potentiel résultant du circuit BDF parcouru par le courant réel est égal et de signe contraire au potentiel résultant du circuit AEG parcouru par le courant fictif de sens contraire au courant réel qui traverse ce circuit. Le potentiel du courant réel traversant le circuit AGE est égal et de signe contraire au potentiel du courant fictif qui parcourt ce même circuit en sens inverse ; il est donc égal au potentiel du courant réel qui traverse BDF.

Faisons d'ailleurs observer que les deux circuits considérés, au lieu d'être placés sur la surface d'un même cône, comme nous l'avons supposé, pourraient appartenir à deux cônes distincts mais superposables.

111. Potentiel d'un courant fermé. — Prenons un circuit fermé quelconque parcouru par un courant, et cherchons le potentiel en un point extérieur au circuit.

Du point comme sommet traçons un cône s' appuyant sur le contour du circuit. Ce cône découpera sur la surface de la sphère de rayon unité une surface dont la valeur <p mesure l'angle solide sous lequel le circuit est vu du point 0. Nous pouvons décomposer ce cône en une infinité de cônes infiniment déliés de même angle solide et supposer le circuit donné

ÉLEGTR0MA6NÉTISME 1^3

décomposé en une infinité de petits circuits fermés tracés sur la surface de ces cônes. Ces cônes de même angle solide, étant inûniment petits, peuvent être choisis superposables et le potentiel en est le même pour chacun des circuits tracés sur la surface de l'un d'eux. Le potentiel du circuit total est la somme de ces potentiels ; il est donc proportionnel au nombre des cônes élémentaires et, par suite, à l'angle solide <p.

Mais, d'après la troisième loi fondamentale que nous ayons énoncée, l'action exercée par un courant fermé sur un pôle d'aimant est proportionnelle à l'intensité de ce courant ; par con8équent,en négligeant la constante d'intégration dans l'expression de la fonction potentielle, cette fonction doit également être proportionnelle à l'intensité du courant. Nous pouvons donc écrire

l'intensité étant mesurée au moyen d'une unité telle que le coefficient de proportionnalité soit égal à 1, unité que l'on appelle unité électro-magnétique cCintensité.

L'action d'un circuit sur un pôle magnétique changeant de signe quand on change le sens du courant qui le traverse, le signe de <pt doit dépendi;e du sens du courant. Appelant face positive du circuit celle qui se trouve à gauche d'un observateur placé sur le circuit dans le sens du courant et tourné vers l'intérieur du circuit, on convient de donner à la valeur de l'angle solide le signe + ou le signe — suivant que c'est la face positive ou la face opposée qui est vue du point considéré. En adoptant cette convention et celle qui consiste à regarder comme positive une force attractive et comme négative une force répulsive, les composantes da la force exercée par un

iU

courant fermé sur Tunilé de pôle sont donne'es par les relations déjà écrites

dy

___dù ^ " dz

112. Cas d'un circuit infiniment petit. ^ Soient AA ' (/?^. 21) la projection d'un circuit infiniment petit et AOA* le

cône élémentaire d'angle solide d^ passant par ce circuit. Le potentiel au point a pour valeur

dÇX = irf(p.

Or, (Ap étant Taire de la section BB ' découpée par le cône sur la sphère de rayon i, Taire de la section AA" découpée par ce môme cône sur la sphère de rayon OA = r, est r^d^. D'ailleurs en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, on peut considérer cette aire AA'' comme la projection de Taire rfw du circuit AA' sur un plan perpendiculaire à OA. Nous avons donc

r V<p = diù cos e , et par suite

idiù cos %

Cette expression est analogue à la formule

^ c?u) cos e

efÛ:

ÉLECTROMAGNÉTISME 125

que nous avons trouvée (97) pour le potentiel d'un élément de feuillet magnétique de puissance ^. Par suite un élément de courant fermé a le même potentiel qu'un élément de feuillet de même surface et de puissance égale à l'intensité du courant.

113. Équivalence d'un courant fermé et d'un feuillet magnétique. — Les intégrales des formules (1) et {"i) étendues à une même surface donneront, la première le potentiel d'un courant fermé de forme quelconque, la seconde, le potentiel d'un feuillet de même contour. Si on suppose ^ = f, ces intégrales ont la même valeur, à une constante près. Par conséquent les composantes a, p, y de la force exercée par un courant fermé sur l'unité de masse magnétique sont égales à celles de la force qu'exercerait un feuillet magnétique de même contour et dont la puissance ^ serait égale à l'intensité électromagnétique i du courant. Il y a donc équivalence dans les effets d'un courant fermé et d'un feuillet magnétique.

Il y a cependant lieu de faire remarquer que les fonctions potentielles ne jouissent pas de propriétés identiques dans les deux cas. Montrons qu'en effet le potentiel d'un aimant est une fonction uniforme, tandis que le potentiel d'un courant fermé peut prendre en chaque point de l'espace une infinité de valeurs.

La variation du potentiel d'un courant ou d'un feuillet quand on passe d'un point à un autre par un chemin quel- Conque est égale et de signe contraire à l'intégrale

^-AUFORNi^

126 ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE

prise le long du chemin parcouru puisque a, p, y sont les dérivées partielles du potentiel changées de signe. Les conditions d'intégrabililé

d^__d^ d%d^ d^dj

dy dx dz dœ dz dy

étant remplies, l'intégrale prise le long d'une courbe fermée C quelconque sera nulle ; il y a toutefois à cela une condition.

Par cette courbe G faisons passer une surface quelconque

et soit A la portion de cette surface qui est limitée par la

courbe fermée G. Pour que l'intégrale soit nulle, il faut que

les forces a, p, y et leurs dérivées premières soient finies en

tous les points de Taire A.

Mais si la courbe fermée enlace le courant, ce courant viendra certainement couper l'aire A au moins en un point et au point de rencontre, les forces magnétiques a, p, y seront infinies. L'intégrale prise le long d'une courbe fermée envacant le courant n'est donc pas nulle et la fonction û peut prendre en un même point deux valeurs différentes.

114. Travail des forces électromagnétiques suivant une courbe fermée enlaçant le circuit. — La difiiérence entre ces deux valeurs, qui est égale à l'intégrale

/ <idx + ^dy -j- -(dz

prise le long de la courbe décrite C, représente le travail de la force électromagnétique dans le déplacement. Pour avoir ce travail, considérons le feuillet F {fig. 22) équivalent au courant. Le potentiel de ce feuillet étant une fonction uniforme

Pig. 22.

ÉLKCTROM AGNÉTISME 1 27

devra reprendre la même valeur quand on reviendra au point P ' après avoir parcouru la courbe fermée G. Or la variation subie par le potentiel est égale à l'intégrale

prise le long de la courbe

G, plus la variation brusque

que subit le potentiel quand on traverse le feuillet en allant

de P' au point infiniment voisin P. Soit H cette variation ;

on aura donc :

H + C{aLdœ -|- pdy -|- ydz) = o.

Il nous reste donc à calculer celte variation brusque H.

Nous avons facilement cette variation dans le cas particulier où le feuillet forme une surface fermée. £n un point extérieur le potentiel est nul puisque l'angle sous lequel le feuillet est vu de ce point est nul. En un point intérieur il est =b 4 7c<t», suivant que c'est la face positive du feuillet ou sa face négative qui est tournée vers Tintérieur de la surface fermée. La variation du potentiel quand on passe de la face négative à un point de la face positive est donc An4^.

Dans le cas où le feuillet ne forme pas une surface fermée la variation du potentiel est encore la même. Soit en efiet A6G {fig. 23) un feuillet dont nous supposerons la face positive, située du côté convexe. Au moyen d'un second feuillet ADG de même contour et de même puissance que le premier et dont la face positive est également tournée du côté convexe,

nous pouvons former un feuillet fermé ABCD. Quand on passe du point P en un point P'inQniment voisin et situé de l'autre côté du feuillet Tangle sous lequel on voit ce feuillet fermé augmente de Atz, Gomme Tangle sous lequel est vu le feuillet

ADG reste le même, l'angle solide correspondant à Tautre feuillet ABC doit augmenter de 4 tc. Par suite la variation du potentiel est encore 4 7c4>.

Si dans la figure 22 nous supposons que la face négative du feuillet équivalent au courant '^' " * est du côté du point P, le po-

tentiel augmentera de 4 m quand on passera de P en P ' et, d'après ce que nous avons dit, le travail de la force électromagnétique sera — 4 izi quand un pôle unité décrira la courbe fermée PCP 'P dans le sens indiqué par Tordre de» lettres c'est-à-dire en pénétrant dans le feuillet par sa face positive. Nous pouvons donc écrire quand l'intégrale est prise le long d'une courbe fermée

/ ddx + pdi/'\- ydz = zh 47rî

le second membre étant pris avec le signe -|- quand le contour d'intégration enlace le circuit en pénétrant par sa face négative et avec le signe — dans le cas contraire.

Faisons observer que le contour d'intégration peut enlacer plusieurs fois le circuit ; alors le travail électromagnétique est égal à autant de fois ± 4 tti qu'il y a d'enlacements.

ÉLEGTROMAGNÉTISME 129

115. Cas de plusieurs courants. — S*il y a plusieurs courants la force exercée sur Tunité de pôle placée en un point de Tespace est égale à la résultante des forces exercées par chacun d'eux et le travail électromagnétique, quand le pôle décrit une courbe fermée, est égal à la somme des travaux

des composantes, clest-à-dire à V ± 4 tti, la sommation s'é-

tendant à tous les courants enlacés par la courbe. On a donc

(4) f<ida!+pdi/-^ydz = 4^,^±i.

Cette relation peut d'ailleurs être interprétée autrement. En effet si nous considérons une surface S passant par la courbe G, tous led courants pour lesquels l'intensité est prise dans la formule (1) avec le même signe, le signe + par exemple, traversent cette surface dans le même sens ; les courants pour lesquels l'intensité est prise avec le signe — traversent au contraire la surface en sens inverse. L'intensité d'un courant étant la quantité d'électricité qui traverse une section du circuit pendant l'unité de temps, nous pouvons considérer

V ± I comme égale à la quantité d'électricité qui traverse

dans un certain sens la surface S pendant l'unité de temps. Par conséquent, le travail électromagnétique, quand on se déplace sûr une courbe fermée G enlaçant plusieurs circuits, est égal au produit par Ait de la quantité d'électricité qui traverse pendant l'unité de temps une surface S limitée à la courbe G.

116. Nouvelle expression du travail éleotromagné* tique suivant une courbe fermée. — Si nous désignons

iUECTRICITft BT OPTIQUB. 9

130 ÉLBGTRIGITÉ ET OPTIQUE

par u, V, Wy les composantes de la vilesse de rélectricilé dans un des circuits , par dUa la section de ce circuit par la surface S et enfin par /, m, n les cosinus directeurs de la normale à cet élément prise dans une direction convenable, nous aurons pour la quantité d'électricité qui traverse la surface S :

Mais nous pouvons remplacer le signe ^ du second membre par le signe i et étendre Tintégration à toute la surface Sy les éléments de cette surface non traversés par un courant donnant dans l'intégrale des éléments nuls. Par conséquent la formule (i) peut s'écrire

1(2) / acte -f- prfy -|- ydz == 47c / (fti -|- mt?-|- nw) rf»,

la première intégrale étant prise le long de la courbe G, la seconde étant étendue à la surface S.

117. Transformation de Tintégrale curviligne. — Nous pouvons transformer l'intégrale curviligne du premier membre. Dans le cas où la courbe G est plane cette transformation est très facile. En effet, si nous prenons le plan de cette courbe pour plan des œy, l'intégrale considérée se réduit à

Taoto + pe/y,

où « et p sont des fonctions continues et uniformes des coordonnées w et,v. Or, on sait que dans ces conditions la valeur

ÉLBGTR0MA6NÉT1SM£

de rintégrale précédente, quand le contour d'intégration est décrit de telle sorte que l'espace illimité se trouve à gauche, est égale à celle de l'intégrale

~dy)

dœdy

étendue à Taire plane limitée

par la courbe G.

Kfifectuons une transfor

mation du même

genre dans le cas où l'inté

grale curviligne est

prise le long d'un contour

triangulaire ABC

dont les sommets sont situés

sur les axes

de coordonnées {fig. 24).

y Nous pouvons

obtenir la valeur de l'inté-

grale en prenant suc-

cessivement pour con- /

tours d'intégration OAB /

OBC, OBA et addition- //

nant les trois résul- J^

tats obtenus, puis- -^

Pig.

qu'en opérant ainsi

chacune des droites OA, OB, OC est prise deux fois en sens inverses et que les côtés du triangle sont parcourus dans le sens ABC. Nous avons donc