Autre expression du potentiel d'un courant

L'intégrale précédente étendue à une surface peut être remplacée par une intégrale curviligne prise le long du circuit traversé parle courant. C'est la transformation inverse & celle que nous avons employée au § 117. En se reportant à ce que nous avons dit à cet endroit il est facile de voir que l'intégrale

(2) T = if{¥dœ + Gdy + Edz)

prise le long du circuit mobile est égale à ' / / L Wy ^^/ W^ dxj^ \dœ dy/J

diù

étendue à une surface limitée par le même circuit. Si donc on veut que l'intégrale (2) représente le potentiel, donné par l'intégrale (1), d'un courant fermé, il faut qu'on ait

dy dz

(3) ( 6=2^ — Sïi

^ ^ ^ ^ dz dx

dG dF ^ dx dy

ÉLEGTRODYNAMIQUE m

Les quantités F, G, H ainsi introduites sont appelées par Maxwell les composantes du moment électro-magnétique (le mot moment est pris dans le sens de quantité de mouvement),

131. Cas d'un courant se déplaçant dans un milieu magnétique. — Jusqu'ici nous avons implicitement supposé que s'il existe des aimants en présence du courant mobile, celui-ci ne les traverse pas. Examinons le cas où le courant mobile se déplace dans un milieu magnétique.

Il peut y avoir indécision sur le choix des quantités à prendre pour les composantes a, p, y de la force qui s'exerce sur l'unité de pôle. Nous avons vu, en effet, à propos des aimants, que la force qui agit sur un pôle placé à l'intérieur d'une cavité creusée dans un milieu magnétique dépendait de la forme de la cavité, et parmi les valeurs qu'elle peut prendre nous en avons considéré deux : Tune {la force magnétique) ayant pour composantes

dû ^ dQ rfû.

^=-5^' P^"V ^^^di'

l'autre [Vinduction magnétique) de composantes

a = a + 47rA, ^ = P +• 4itB, c = y + 4icC

û désignant le potentiel de l'aimant et A, B, G les composantes de la magnétisation au point considéré.

Mais la forme des équations (3) permet de lever facilement l'indétermination et montre qu'il faut y introduire les composantes de l'induction magnétique. £n effet, en prenant les dérivées des deux membres de chacune d'elles respectivement

ÉLBCTaiCITÉ BT OPTIQDB. tO

Digitizp

par rapport h œ^ y, z^ on obtient

dx ^ dy ^ dz

Or nous avons vu que cette condition n'est pas satisfaite par les composantes de la force magnétique dans le cas d'un point intérieur aux masses magnétiques tandis qu'elle l'est toujours pour les composantes de l'induction. C'est donc ces dernières qu'il faut introduire dans les formules ; celles-ci deviennent

182., Une indétermination du même genre a lieu pour les formules du § 118 qui donnent les composantes Uy v^ w de la vitesse d'un courant en fonction de %, p, y, mais il est facile de la lever en montrant que dans ce cas on ne doit pas prendre les composantes de l'induction.

En effet, plaçons-nous dans le cas particulier où le circuit mobile n'est traversé par aucun courant ; nous aurons alors u = o = U7 = o. Si donc on prenait les composantes de l'induction il viendrait

de db ^ ^ db da

dy dz^ ^ dz ûte"~' dx dy'^ *

conditions qui ne sont pas satisfaites en général. Nous ne pouvons donc prendre les comi[)osante8 de l'induction et nous

-dy-

rfG " dx

dP - dx'

rfH dx

dG dx

dP ~dy

ÉLECTRODYNAMIQUE 147

devons conserver les composantes a, p, y de la force magné- Uque. Nous nous contenterons de ce double aperçu, en l'absence d'une théorie plus satisfaisante.

188. Détermination des composantes du moment électromagnétique. — Abandonnons le cas où le courant mobile se meut dans un milieu magnétique et cherchons les composantes P, G, H du moment magnétique.

Les trois équations différentielles (3) ne suffisent pas pour déterminer ces quantités car il est facile de voir que si P, G, H est une solution de ces équations, le groupe de valeurs

où X est une fonction quelconque des coordonnées est également une solution du système. En effet, le second membre de la première des équations devient quand on substitue à F, G, H les valeurs précédentes,

rfy(^+5^)""rf^(®+^)='^

da

m rf»3f

dy

dydx

dz dydz

cOI dG dy dz

et le dernier membre de celle suite d'égalités est égal à a puis que, par hypothèse, F, G, H forment une solution du système. On verrait par un calcul semblable que les deux autres équations sont également satisfaites.

184. Pour déterminer les composantes P, G, H nous devons donc leur îmopser la condition de satisfaire à une nouveUe

équation. Maxwell prend pour cette équation de condition,

En tenant compte de cette relation il est possible de trouver entre les composantes u, t?, t^ de la vitesse du courant et les composantes F, G, H du moment magnétique trois relations qui nous permettront d'obtenir les valeurs de ces dernières quantités. Nous avons, d'après les formules du § 118 et les formules (3) du § 130.

df rffi d^G 6PF d^F

dy dz dxdy dy^ dz^ "^ dœdz

ou, en ajoutant et retranchant au second membre la quantité

ePF

-^ et groupant les termes d'une manière convenable

dœ^ "** dœdy ""^ dxdz da? dy^ dz^ ou enfin