AP

Si on suppose que Téquation (5) est toiyours satisfaite, c*està-dire qu'elle est une identité, les dérivées partielles de J sont nulles et la relation (6) se réduit à

AF -f- ^ww = o.

Cette équation étant analogue à l'équation de Poisson, F peut être considéré comme le potentiel d'une matière attirante de densité m. D'après ce que nous savons sur la forme

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(lu potentiel qui satisfait à une telle équation nous pouvons poser immédiatement

l'intégrale étant étendue à tous les éléments (fr de l'espace tout entier ; u est la valeur de la première composante du courant au centre de gravité de l'élément dr et r est la distance de cet élément au point a?, y, z.

Nous obtiendrons par des calculs analogues

G=ArfT. H= C^dr.

Ces valeurs de F, G, H satisfont nécessairement aux équations différentielles (3) ; montrons queTéquation de condition (5) est également satisfaite et pour cela cherchons les dérivées partielles de F, G, H qui y entrent.

135. Donnons à un point de coordonnées a?, y, z un déplacement parallèle à Taxe des x et de grandeur dx; la distance de ce point aux différents éléments de la matière attirante fictive de densité u croît de dr et le potentiel F au point consi-

déré augmente de --r dx. Mais supposons qu'au lieu de déplacer le point attiré x^ y, z^ comme nous venons de le faire en laissant fixe la matière attirante, nous donnions aux divers points de la matière attirante un déplacement égal à — dx, en laissant fixe le point a?, y, z^ cela reviendra absolument au même. L'accroissement dr de la distance du point attiré au point attirant sera évidemment le môme, si l'on donne au point

attiré un déplacement quelconque, ou si c'est le point attiré qui subit un déplacement parallèle égal et de sens contraire. Gela revient à supposer que la densité u au centre de gravité

de l'élément devient après le déplacement, m -}- ^ cte. Nous avons donc

la première intégrale étant étendue à tout le volume occupé par la matière attirante après le déplacement, la seconde au volume occupé avant le déplacement. Or ces deux champs d'intégration sont les mêmes puisque tous deux comprennent Tespace tout entier ; par conséquent, nous avons simplement

d'où

dP dx

rdx '•

Nous obtiendrions des expressions analogues pour les différentielles partielles de G par rapport à y et de H par rapport kz ; leur addition donne

j^dF dG ^^

dz'~ J r \cla) "^ dy ' dz)

Tous les éléments de cette dernière intégrale sont nuls puisque, pour Maxwell, l'électricité est incompressible et

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qae Téquation qui exprime cette incompressibilité est

dx"^ dy~^ dz L'équation de condition (5) est donc satisfaite.

136. Revenons au cas où le milieu étant magnétique, les composantes F, 6, H du moment électromagnétique sont liées à celles de Tbiduction par les équations (4). Il est facile de s'assurer que ces équations et l'équation de condition (5) seront satisfaites si l'on prend pour F, 6, H le produit des valeurs trouvées par le coefGcient de perméabilité magnétique (A du milieu ; nous avons donc

= IL j ^dt, G = IL j ^dx, H = JA / ^ c/t.