Valeurs de F, Qy H pour un courant linéaire
Plaçons-nous dans le cas particulier où en présence du courant mobile il n'y a qu'un seul courant dont le circuit est formé par un fil de faible section efo. L'intensité de ce dernier
courant étant désignée par i, la vitesse de l'électricité est j- et
la direction de cette vitesse est celle de la tangente au circuit menée dans le sens du courant. Les cosinus directeurs de
cette tangente sont — > ^> -— (en appelant ds l'élément d*arc
du circuit), de sorte que l'on a pour les composantes u, v^ to de la vitesse de l'électricité
♦ dce i dy i dz
dfs ds dfs ds de ds
OU, puisque chds = rfr,
idœ
rfT'
Par conséquent la composante F du moment magnétique en un point de l'espace peut s'écrire
et nous avons pour les trois composantes
(8) P=»-Jt' ^ = 'f^^ "^'/^''
138. Formule de Neumann. — Soit G {fig, 34) un circuit fixe parcouru par un courant d'intensité t, et G' un circuit mobile parcouru par un courant d'intensité t". Le potentiel électrodynamique T du courant G' par rapport au courant G a pour valeur,
T == r f{¥dx'^Gdy' -f- Hàz").
Dans cette expression F, G, H sont relatives au circuit G
puisque ce circuit est seul en présence du circuit mobile ; si jdé donc nous supposons que ce circuit est formé d'un 61 de faible section, F, G, H sont données par les expressions (8) trouvées précédemment et dans lesquelles r est la distance du milieu de l'élément ds au milieu de l'élément ds\ En portant
Klg. 31.
ÉLEGTRODYNÂMIQUE 153
ces valeurs dans Texpression de T nous obtenons -, .^ / . / dœ dœ -f- dy dy -f- dz dz'
et, en appelant s Tangle des deux éléments ds et ds\
m '"il ûfe^' COSe
Telle est la forme donnée par Neumann au potentiel électrodynamique d'un courant par rapport à un autre.
La symétrie de cette formule par rapport à i et f, kds et ds montre que le potentiel électrodynamique de G' par rapport à G est égal au potentiel électrodynamique de G par rapport à G'.
189. Nouvelle expression du potentiel électrodynamique d'un courant. — La formule
T = tf(Fdx+ Gdy + Hdz)
peut facilement se mettre sous une autre forme qui nous sera utile dans ce qui va suivre.
Des valeurs (7) établies au g 137 on tire immédiatement
idx = tuhj tdy = vdx, xdz = wdr,
et en portant ces valeurs dans Texpression de T, il vient
(10) T = APw-f Gt? + Hm?) c?t.
rintégrale étant étendue à l'espace occupé par la matière conductrice qui constitue le circuit mobile.
140. Potentiel électrodynamique d'un courant par rapport A lui-même. — On peut par la pensée décomposer un circuit traversé par un courant en une infinité de circuits de section infiniment petite. Ghsicun des courants ainsi obtenus possède par rapport aux autres un potentiel électrodynamique ; la somme de ces potentiels est ce qpi'on appelle le potentiel du courant par rapport à lui-même. Cherchons l'expression de ce potentiel.
Soient w, v, to les composantes de la vitesse de l'électricité en un point du circuit, F, G, H les composantes du moment électromagnétique en ce même point, et T le potentiel du courant par rapport à lui-même. Si nous donnons à, u, v, w^ les accroissements rfw, c?t?, cîm?, ces quantités F, G, H, et T prendront respectivement les accroissements dF, dG, <ffl et cTT. Le courant qui circule alors dans le circuit peut être considéré comme résultant de la superposition du courant primitif et du courant provenant de l'accroissement donné à la vitesse de l'électricité ; nous appellerons ce dernier, courant supplémentaire. L'accroissement cTT du potentiel peut donc être regardé comme égal à la somme du potentiel du courant ancien par rapport au courant supplémentaire et du potentiel du courant supplémentaire par rapport à lui-même. Le potentiel du courant primitif par rapport au courant supplémentaire est, d'après l'expression (10) du potentiel d'un courant
C{udF -{- vd(j -f o^rfH) rfr.
Quant au potentiel du courant supplémentaire par rapport à lui-même ce sera une quantité infiniment petite du second
ÉLEGTRODYNÀMIQUB 155
ordre et on pourra le négliger ; on a donc
dT =J{ud¥ + rc» + wdS) dx.
Mais on peut considérer dT comme étant égal au potentiel du courant supplémentaire par rapport au courant primitif augmenté du potentiel du courant supplémentaire par rapport à lui-même. En négligeant ce dernier, il vient
dT =f{Ydu -}- Gdv -f Rdw) dr,
et en additionnant les deux valeurs de dT puis divisant par 2,
dT = |/(F^M + udF + Gdv -f t?^ -|- Edw + icdH) du.
ou
rfT = I dji^u + Gt? -f Htt?) rfr,
L'intégration donne pour la valeur du potentiel du courant par rapport à lui-même
(H) T = |y*(Fw + Gr + H«?) dx.
141. Remarquons que le raisonnement qui nous a conduit à cette expression s'applique tout aussi bien au cas d'un système de plusieurs courants qu'à celui d'un courant unique. Cette expression représente donc d'une manière générale le potentiel électrodynamique d'un système de courants par rapport à lui-même. Il faut alors étendre l'intégration à tout le volume occupé par les conducteurs matériels du système, ou bien encore à l'espace tout entier, ce qui revient au même
puisque le système est supposé n'être en présence d*aucQn autre système de courants.
142. Expressions diverses du potentiel d'un système de courants par rapport à lui-mèmé. — Nous avons établi au § 134 que la composante F du moment électromagnétique en un point de l'espace est donnée par la formule
r étant la distance du point considéré à Télément de volume c?t' pour lequel la composante de la vitesse est u\ Au point de Tespace occupé par un élément de volume d'z d'un système de courants les composantes du moment électromagnétique relatif au système lui-même seront donc
En portant ces valeurs dans Texpression (10) du potentiel électrodynamique du système par rapport à lui-môme il vient
. Chacune des intégrales doubles du second membre de cette égalité doit être étendue à toutes les combinaisons possibles de deux éléments dx et dr. Ces éléments appartenant au même système de courants, un même élément de volume joue le rôle de dr et de dt' et chaque intégrale contient deux fois le même élément différentiel. Si Ton ne prend qu'une
ÉLECTRODYNAMIQUE 1 57
seule fois chaque élément différentiel il faut, dans Tégalité précédente, porter le double du résultat obtenu par Tintégration ainsi conduite. Le "facteur - disparaît donc et on a la formule
(12) T = r TîîîiliEElilifE rf, d.'.
143, Dans l'expression (il) du travail électrodynamique, nous pouvons remplacer w, t?, to par leurs valeurs:
"~ Ait \dy dzj
Ait \dz dx)
^ ~" 47C \dx dy) ' . nous obtenons
-= hf[^ (^.-S)+«(l-S+H(i-l)>-
Considérons l'intégrale
en intégrant par parties, il vient
m étant le cosinus de Taxe des y avec la normale à
itt ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE
cUû de la surface qui limite le volume d^intégratioo. Si, comme nous en avons le droit, nous étendons les intégrales triples à l'espace tout entier, les composantes cl, p, y> ^^ ^^ ^^'^^ V^ s'exerce sur un point de la snrtefie limitant le volume sont nulles, puisque le point est rejeté à Iliifini. Les éléments de rintégrale double sont donc nuls et l'intégrale elle-même est égale à zéro. Nous avons donc simplement
En effectuant une transformation analogue pour les autres intégrales de l'expression précédente de T et portant les valeurs obtenues dans cette expression > on obtient
144. Cette nouvelle forme du potentiel peut être simplifiée en tenant compte des groupes d'équation (3) et (4) qui donnent les valeurs des différences des dérivées partielles de F, G, H, dans le cas où le système de courants est dans un milieu non magnétique et dans le cas où il est au contraire dans un milieu magnétique. Nous avons dans le premier cas
et dans le second
ÉLEGTRODYNAMIQUfi 159
145. Cas d'un système de conducteurs linéaires. — Quand les circuits qui composent le système sont linéaires le potentiel électrodjmamique du système par rapport à luimême peut se mettre sous la forme qu'a donnée Neumann au potentiel de deux systèmes de courants linéaires l'un par rapporta l'autre. En effet, d'après les formules (7) et (8) établies au § 137 les composantes de la vitesse de l'électricité en un point sont
idœ idy idz
OT ax ox
et les composantes du moment électromagnétique au même point sont
p=.^r^. G=i'Ç^, h=»Yt-'-
£n portant ces diverses valeurs dans l'expression (9) elle devient
dœdaf -f" ^ydr/ -f- dzdz'
ou, en appelant t l'angle formé par deux éléments quelconques du système de courants,
