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ÉLECTRICITt BT OPTIQUE.

ilO ÉLteCTRlCTTÉ ET OPTIQUE

équations qui nous montrent que la ritesse du déplacement est, comme le moment électromagnétique, paraDèle à Taxe des X. C'est éridemmeiit aussi la direction du déplacement lui-même, et d'après les équations (VII), celle de la force électromotrice qui le produit.

Ainsi en un point d'une onde plane, le déplacement électrique et le moment électromotrice ont même direction; la force électromotrice et Tinduction] leur sont perpendiculaires; ces directions sont d'ailleurs situées dans le plan de l^^nde.

189* Mais, lorsque les perturbations électromagnétiques sont assez rapides pour donner naissance aux phénomènes lumineux, qu'elle est la direction du déplacement électrique par rapport au plan de polarisation de la lumière ? L'hypothèse de Maxwell sur l'expression de l'énergie kinétique du milieu qui transmet les ondes et l'étude des diverses théories proposées pour l'explication de la réflexion vitreuse nous permettent de répondre facilement à cette question.

Nous savons que dans les théories ordinaires de la lumière» les phénomènes observés dans les miUeux isotropes s'interprètent tout aussi bien, soit en admettant, avec Fresnel, que les vibrations de Téther sont perpendiculaires au plan de polarisation, soit en admettant, comme le font Neumann et Mac-CuUagh, que ces vibrations s'eflTectuent dans le plan de polarisation. Nous avons montré, en outre, à propos de la réflexion vitreuse (<), que ces deux hypothèses conduisent à des résultats opposés pour la densité de l'éther ; si Ton adopte celle de Fresnel, la densité doit être considérée

(*) Théorie malhémaliqut dt la Lumière, pp. 320 olsuiv.

connue variable ; si Ton prend celle de Neumann et Mac- Gallagh, cette densité est constante.

Mais dans Tune et l'autre théorie l'énergie kinétique a pour valeur

|/p(V» + 7,'» + !:")rfT

p désignant la densité, 1% V, Ç' les composantes de la vitesse de la molécule d'éther. Suivant Maxwell, l'énergie kinétique n'est autre que le potentiel électrodynamique du système de courants qui existent dans le milieu ; l'expression de cette énergie est donc, dans le cas où le milieu est supposé ma* gnétique (143),

l/(aa + p* + Yc)rfT,

ou, en exprimant les composantes de l'induction au n des composantes de la force électromagnétique.

lïx/(x> + p« + r')rf^.

Pour faire cadrer la théorie de Maxwell avec la théorie naire de la lumière qui, jusqu'Ici, s'est trouvée d'accord l'expérience, nous devons admettre que dans ces deux ries les expressions de l'énergie kinétique sont identi Nous devons donc avoir

Or, (X étant constant pour un milieu isotrope» la prei de ces égalités nous indique que la densité p de l'éthei

être une constante ; nous devons donc adopter l'hypothèse de Neumann et Mac-Gullagh. Mais alorâ la force électromagnétique, qui, d après les trois dernières égalités, a même direction que la vibration de la molécule d'éther, est située dans le plan de polarisation. Par conséquent, en nous reportant à ce qui a été démontré dans le paragraphe précédent nous arrivons à cette conclusion : le déplacement électrique est perpendiculaire au plan de polarisation, si toutefois Ton adopte les hypothèses de Maxwell.

100. Propagation dans un milieu anisotrope. — Double réfraction. — Jusqu'ici nous avons implicitement supposé que le milieu isolant qui propage lés perturbations électromagnétiques est isotrope; cherchons maintenant ce que deviennent les équations du champ lorsque le diélec^ trique est anisotrope.

Nous avons vu (73) que l'analogie delà loi des échanges d'électricité entre les cellules d'un diélectrique avec la loi des échanges de chaleur danfe la théorie de Fourier, conduit, si l'on choisit convenablement les axes de coordonnées, aux valeurs suivantes pour les composantes du déplacement électrique dans un milieu anisotrope.

"—Ht--)-'

'^ désigne le potentiel électrostatique, X, Y et Z, les compo- RATites de la force électromotrice due à toute autre cause

qu'une différence de potentiel. En supposant cette force électromotrice due uniquement à Tinduction produite par les courants et lescdmanls du champ, ces égalités deviennent

lOl* Mais il n*est pas nécessaire pour établir ces formules de s'appuyer sur Thypothèse de la constitution cellulaire, dés diélectriques.

D'après les formules (VII) du Chapitre précédent, les composantes du déplacement électrique dans un milieu isotrope sont proportionnelles -à celles de la force électromotrice ; par suite, riiypothèse la plus simple qui se présente, est d'admettre que, pour un milieu anisotrope, ^ g, h sont des fonctions linéaires et homogènes de P, Q, R,

/'=AP + BQ + GR, i7 = A'P + FQ + C'R,

A = AT + B^Q + cm.

' D'ailleurs les neuf coefficients A, B, G,... ne sont pas absolument arbitraires. Montrons en effet qu'ils forment un déterminant symétrique.

' Si nous donnons aux composantes du déplacement des accroissements ef/*, dg, dh, le travail correspondant de la force électromotrice est •

Pdf+Qdg + ïidk,

OU, d'après les relations précédentes

P [AdP + BdQ + CrfR) + (A'rfP + B'c^Q + CdR)

+ R (A'rfP + V'dQ + C'rfR),

ou encore

(AP + A'Q:+ A"R) dP + (BP +B'Q+B''R) dQ

+ (CP+C'Q+C'^R)ûfR.

Pour qu'il y ait conservation de l'énergie cette expression doit être une différentielle exacte. Cette dernière condition s'exprime par trois égalités dont la première «st

d{\F + A^Q + A^R) rf(CP + C^Q + C^'R) .

e^R "" rfP '

nous en tirons

Les deux autres égalités nous donneraient

ce qui montre bien que le déterminant des coefficients est symétrique

Le nombre de ces coefQcients se trouve donc réduit à 6. Par le choix des axes de coordonnées nous disposons des valeurs de trois d'entre eux ; nous pouvons donc faire ce choix le telle sorte que les coefficients qui ne sont pas sur la diago- Qale du déterminant se réduisent à zéro ; les valeurs de /, g, h se réduisent alors aux expressions (i).