OF THE

:VERSITTJ

254 ÉLECTRICITÉ ET OPTIÛUB

gnons par ^ et par <^' les valeurs de q pour le rayon droit et pour le rayon gauche et par c Tépaisseur du milieu traversé, le plan de polarisation tournera dans le sens des aiguilles d'une montre d'un angle égal à

Mais d'après l'équation de condition (8), q dépend de y. Comme d'ailleurs la variation de q due à l'action magnétique n*e8t toujours qu'une très faible fraction de la valeur même de q^ nous pouvons écrire

q^ étant la valeur de q pour une force magnétique nulle. Cette quantité q^ doit donc satisfaire à l'équation (8) dans laquelle on prend y = o ; par suite on a

pn» = Ao5^J^-A^9{ +

Les quantités (^ et q^' doivent satisfaire à cette même équation (8) dans laquelle on donne à n des valeurs ne différant que par le signe ; à la valeur positive de n correspondra la valeur <^* puisque d'après les équations (7) on a un rayon circulaire gauche se propageant suivant la direction positive de l'axe des z quand n est positif ; à la valeur négative de n correspondra au contraire la valeur q'; par conséquent nous aurons

pn^ + 2GY(?'*n = Ao<?'» + A^^'^ +

pn> - 2CYî''»n = Ao/» + A,/^ +

POLARISATION ROTATOIRE MAONÉTIQUE 255

La comparaison des trois dernières relations montre immédiatement que Ton a (jt>q^ et ^< ç^; nous devons donc écrire

Si nous portons ces valeurs de q' et ^ dans Texpression de la rotation, nous obtenons

2 Wy ^ dt)

ou, eu confondant les valeurs des dérivées de q' et de q' par rapport & y,

221. En dérivant par rapport à y les deux membres de Téquation (8) où nous considérons n comme constant, nous avons

- ÎC% - «W,» ^ = («W + 4A,,. + ) ^ = 1 1.

Mais, admettre, comme nous l'avons fait, que la quantité q ne varie que très peu sous Tinfluence d'un champ magnétique, c'est supposer que le coefficient C est très petit. Nous

pouvons donc négliger le terme K^'^qn ^ par rapport aux

termes du second membre, et il vient alors

256 ÉLECTRJCITÉ ET OPTIQUE

Si maintenant, dans Inéquation (8) nous regardons y comme constant nous avons en dérivant par rapport à n

2p«-2G,,«n-4C,,ng = (2Ao,-h4A,,3+ )g=g|-

Pour la même raison que précédemment le terme ^Cyq^n peut être négligé par rapport à 2p« et le terme ACyqn — par rapport à ceux du second membre ; par suite nous obtenons

^ dq dn

Si nous portons dans la relation (10) la valeur de -^ tirée de cette dernière égalité, nous avons pour la valeur de la dérivée partielle -^»

(11) £(2 = ..C2frf2^

^ ' dy p dn

Pour exprimer cette dérivée en fonction de la longueur d'onde dans le vide X, de la lumière considérée et de Tindice de réfraction i du milieu, remarquons que Ton a

ql = 27ut et nX = SttV,

V étant la vitesse de propagation dans le vide. De ces deux relations nous tirons

et par conséquent

En outre, en différentiant ia seconde, nous obtenons Xdn -)- nctk = o,

d'où

dn'^ dk dn dX

L'égalité (12) peut donc s'écrire

dn V \ rfX/ '

si nous portons cette valeur dans la relation (il) et si dans

celte relation nous remplaçons q par sa valeur -r-> nous obtenons

Par conséquent, en posant 4it»C

pV ="*

la valeur de la rotation donnée par la formule (9) deviendra Nous retrouvons donc bien la formule (I) d'Airy.

l. Interprétation du terme complémentaire de l'énergie kinétique. — Il s'agit maintenant d'expliquer l'introduction du terme complémentaire (5) dans l'expression de l'énergie kinétique du milieu. Gomme nous l'avons dit les

ÉLBCTRiaTâ BT OPTIQUB. 17

explications de Maxwell n'ont pas toute la rigueur qu'on désirerait y rencontrer. Essayons cependant de les reproduire, Maxwell pose ainsi la question : L'expérience apprend qu'un milieu isotrope soumis à l'action d'un champ magnétique fait tourner le plan de polarisation de la lumière ; par conséquent un rayon polarisé circulairement ne se propage pas avec la même vitesse suivant qu'il est droit ou gauche. Or si les composantes du déplacement d'une molécule d'éther sont exprimées par les équations (7), nous aurons un rayon circulaire droit ou gauche suivant que n est négatif ou positif.

La vitesse de propagation suivant l'axe des ^ est - ; comme

elle doit avoir une valeur différente pour le rayon droit et pour le rayon gauche, à deux valeurs de n ne différant que par le signe doivent correspondre deux valeurs de q diffé^ rentes et de signes contraires; ou bien, ce qui revient au même, à une valeur de q doivent correspondre deux valeurs de n différant par la valeur absolue et par le signe. Mais le milieu considéré constitue un système dynamique dont l'état est déterminé, à chaque instant, par un certain nombre d'équations. Nous avons donc à rendre compte de ce fait que, pour une valeur déterminée donnée à l'une et à l'autre des quantités ^ et r, il y a deux valeurs distinctes de n qui satisfont à ces équations.

Écrivons l'équation de Lagrange relative au paramètre r,

dt dr' dr ^ dr*

Ge paramètre ayant une valeurdéterminéene changeant pas avec le temps, r est nul ; par conséquent le premier terme

POLARISA-nON ROTATOfllE MAGNÉTIQUE S59

dispafalt de i'éqoation précédente, qui devient

dl , dV

Mais T, énergie kinéiique du système, est une fonction homogène du second degré des vitesses de ce système ; T contient donc w^i poisqae n est la vitesse angulaire d*une molécule d'éther. Il peut égaleomt contenir des termes où se trouvent les produits de n par d'antres vitesses et aussi des termes dans lesquels ces vitesses entrent au second degré mais où ne figure pas n. Quant à U, Maxwell suppose qu'il conserve la valeur qu'il possède dans nn milieu isotrope non soumis à l'action du magnétisme ; par suite, U ne renferme que des dérivées de Ç et Yj par rapport à z; il ne contient donc pas n. Par conséquent l'expression la plus générale de Téquation de Lagrange que nous venons de considérer est

An* 4- Bn + C = o.

Puisque, d'après ce qui précède, cette équation doit être satisfaite pour deux valeurs de n inégales en valeur absolue, il faut nécessairement que B soit différent de zéro. Gomme les termes Bn proviennent uniquement de l'énergie kinétique, celle-ci contient donc au moins deux séries de termes. L'une, An', est homogène et du second degré par rapport an; c'est l'expression de l'énergie kinétique d'un milieu non soumis à l'action du magnétisme. L'autre contient la première puissance de n; elle est due au champ magnétique et par suite elle représente le terme complémentaire qu'il s'agit d'expliquer ou au moins une partie de ce terme.

260 ÉLECTRICITÉ ET OPTrQDE

223. Voici maintenant les conclusions que Maxwell dédoit de ce qui précède :

« Tous les termes de T sont du second degré par rapport aux vitesses. Donc les termes qui renferment n doivent renfermer quelque autre vitesse. Or cette autre vitesse ne peut être ni r' ni q\ puisque, dans le cas que nous considérons, r et ^ sont constants. C'est donc une vitesse existant dans le milieu, indépendamment du mouvement qui constitue la lumière. De plus, ce doit être ayant une quan ti té avec n une relation telle qu'en la multipliant par n le résultat soit unequantité scalaire ; car, T étant une quantité scalaire, ses termes ne peuvent être que des quantités scalaires. Donc celte vitesse doit être dans la même direction que n ou dans la direction contraire, c'est-à-dire que ce doit être une vitesse angulaire relative à Taxe des z.

a Or cette vitesse ne peut être indépendante de la force magnétique; car, si elle se rapportait à une direction fixe dans le milieu, les phénomènes seraient différents quand on retourne le milieu bout pour bout, ce qui n'est pas le cas.

« Nous sommes donc amené à cette conclusion, que cette vitesse est obligatoirement liée à la force magnétique, dans le milieu où se manifeste la rotation magnétique du plan de polarisation {Traité d'électricité, t. II, § 820). »

Un peu plus loin (§ 822), Maxwell ajoute :

« Lorsqu'on étudie l'action du magnétisme sur la lumière polarisée, on-est donc conduit à conclure que, dans un milieu soumis à l'action d'une force magnétique, une partie du phénomène est due à quelque chose qui, par sa nature mathématique, se rapproche d'une vitesse angulaire agissant autour d'un axe dirigé suivant la force magnétique.

<( Cette vitesse angulaire ne peut être celle d'aucune partie de dimensions finies du milieu, tournant d'un mouvement d'ensemble. Nous devons donc penser que cette rotation est celle de parties très petites du milieu tournant chacun autour de son axe. Telle est l'hypothèse des tourbillons moléculaires. 9

224. Ainsi, d'après Maxwell, l'explication de la polarisation rotatoire magnétique doit résulter de l'existence de tourbillons dans le milieu soumis à l'action d'un champ magnétique, tourbillons que nous avons déjà vu intervenir dans l'interprétation des pressions électrodynamiques (210). Mais quelles sont les lois qui régissent les mouvements de ces tourbillons? Maxwell avoue notre ignorance absolue sur ce sujet et, faute de mieux, il admet que les tourbillons d'un milieu magnétique sont soumis aux mêmes conditions que ceux queHelmholtz (*) a introduits dans l'Hydrodynamique, et que les composantes d'un tourbillon en un poiat sont égales à celles de la force magnétique en ce point.

Une des propriétés des tourbillons de Helmholtz peut s'énoncer comme il suit : soient P et Q deux molécules voisines sur l'axe d'un tourbillon ; si le mouvement du milieu a pour effet d'amener les molécules en V et en Q', la droite P'Q' représente la direction de Taxe du tourbillon, et la grandeur de celui-ci est modifiée dans le rapport de PQ à P'Q'.

Si nous appliquons cette propriété aux tourbillons d'un milieu soumis au magnétisme, nous aurons, en applant a, p, y, les composantes de la force magnétique au point P, a', p' y\ les composantes de cette même force quandle point Pest venu

{>) Sur U mouvement tourbiUonnaire ; Journal de Crelle, vol. LV, 1858.

en P', et Ç, v|, C, les composantes du déplacement du point P,

225. Les composantes de la vitesse angulaire d'un élémoiit du milieu ont pour valeur

/ION / i rf M rfC\

Or, puisque d'après les conclusions du § 223 l'énergie kinétique doit contenir cette vitesse, le terme correspondant, dans le cas où les axes de coordonnées sont quelconques par rapport à la direction de la force magnétique, doit être de la forme

et le terme complémentaire de l'énergie kinétique d*un certain volume du milieu a pour expression

2Cy (a>^a' + a),p' + cojy') dt.

Si dans cette pression nous remplaçons a', p\ y par les

yaleurs (12) et oo^ , (d,, 03, par les valeurs (13) nous obtenons

"/[•(l-i)+Kf-S)+^(^l)]*

, fr dn/dx: *A , ftrfî/rfc' rfïAj. 'i^(<^ li'M^

Cr rfg/dÇ' dC\,.d^(d\' <K\, rfjM' rfç'M .

Montrons que si l'on étend Tintégration à l'espace tout entier la première intégrale de cette somme est nulle dans le cas qui nous occupe. En effet, en intégrant par parties, le. premier terme de cette intégrale donne

L'intégrale de surface se rapportant & la surface limite, qui est à l'infini d'après notre hypothèse, Ç et a sont nuls ; par suite l'intégrale elle-même est égale à zéro. Dans l'intégrale triple du second membre entre la dérivée ^ ; si donc

le champ magnétique est uniforme, comme c'est généralement le cas lorsqu'on étudie la polarisation rotatoire magnétique, cette dérivée est nulle et l'intégrale triple l'est aussi. En prenant ainsi successivement tous les termes de la pre-

mière intégrale de Texpression du terme complémentaire, on verrait qu'ils sont tous égaux à zéro. 11 n y a donc à considérer que les trois autres intégrales de cette expression

Celles-ci peuvent se mettre sous une ^utre forme. Considérons en effet le premier terme de la première d'entre elles; nous obtenons, en intégrant par 'parties

dœdy

ou, puisque l'intégrale de surface est nulle pour les mêmes raisons que précédemment

dx dy I dœdy

Le second terme de Favant-dernière intégrale du terme complémentaire nous donne, en opérant de la même manière,

/d-ndi:' , r w£[!3 .

et nous avons pour la somme des deux termes considérés

dœ \dx dy)

Une transformation analogue effectuée sur tous ks termes

POLARISATION ROTATOIRB MAGNÉTIQUE 265

et un groupement convenable de ceux-ci montreraient que l'expression (14) se réduit bien à Texpression (5) que nous avons introduit (217) comme terme complémentaire dans Ténergie kénétique du milieu soumis à Taction du magnétisme.

226. Difficultés soulevées par la théorie deMax^welL — Dans la théorie que nous venons d'analyser, Maxwell semble avoir complètement abandonné la théorie électromagnétique de la lumière. Nous avons, en effet, implicitement admis avec ce physicien, que lorsqu'une onde se propage dans un milieu placé dans un champ magnétique, les composantes Ç, Tj, et Ç du déplacement d une molécule d'élher ne dépendent pas directement de la force magnétique. Or, nous avons vu (189) que la concordance de la théorie électromagnétique de la lumière avec les théories actuellement adoptées pour l'explication des phénomènes lumineux exigeait que les dérivées par rapport au temps de l, yi, Ç soient respectivement égales aux composantes a, p, y ^^ 1^ force magnétique. Pour que la théorie de Maxwell sur la polarisation rotatoire magnétique s'accorde avec la théorie électromagnétique il faudrait qu'il en fût encore ainsi; c'est ce qui ne semble pas avoir lieu.

D'autre part les formules de Helmholtz semblent 6tôsez difficilement applicables au cas qui nous occupe. Elles s'appuient sur les principes de l'Hydrodynamique qu'il serait sans doute malaisé d'étendre à l'éther, puisqu'il faudrait y supposer une pression uniforme dans tous les sens.

Elles supposent en outre qu'il y a entre les composantes du déplacement et celles du tourbillon, certaines relations qui

pourraient

s'écrire :

dydl

dzdt

d*X, dxdl

dxdt

d>\ dydt

et dont Maxwell ne

tient

, pas compte.

227. Admettons pour un instant que les dérivées \\ V» C sont respectivement égales à a, p, y et cherchons les conséquences de cette hypothèse.

Le terme principal de l'énergie kinétique devient

^/(*'+P' + T')rfT.

Les binômes alternés qui entrent dans l'expression (14) du

terme complémentaire ou les dérivées par rapport au temps

de ceux qui se trouvent dans Texpression (5) de ce même terme ont alors pour valeurs

dy dz dy dz

dz dx dz dx

^ __ ?^' — le ^.

dx dy dx dy

Mais d'après les équations (II) du § 167 les seconds membres de ces égalités sont respectivement égaux à 4irM, 4irt?, 4xm>, Comme u, v, u?, sont les dérivées par rapport au temps des composantes f^ g^ h du déplacement électrique nous obte-

nons donc en intégrant,

dy dz^^^'

dx dy

Par conséquent Texpression (5) du terme complémentaire peut s'écrire

(.6, 4^y'(.f+pj?+,g).,.

Les quantités désignées parles symboles ^***' renfermant

les produits des composantes de la force magnétique par les dérivées du déplacement électrique prises par rapport à œ^ y, z^ ce terme complémentaire est du troisième degré par rapport à ces quantités. Dans le terme principal de T, a, p, y entrent au second degré, mais les dérivées du déplacement électrique n'y figurent pas. Par conséquent, en général les équations du mouvement seront linéaires, comme cela a lieu dans les théories ordinaires de la lumière ; dans la polarisation rotatoire, elles cesseront d'être linéaires par suite de rintroduction du terme complémentaire. Il en résulte que dans ce dernier cas la vitesse de propagation des perturbations constituant la lumière dépendra de oc, % y et par conséquent de l'intensité lumineuse qui est fonction de ces quantités. Cette conséquence est tout à fait contraire aux faits observés dans tous les autres phénomènes lumineux ; il est

donc permis de douter qu'il y ait accord entre la théorie électromagnétique et la théorie de la polarisation rotatoire magnétique.

228. Toutefois il ne faudrait pas sur cette conclusion, se hâter de rejeter cette dernière théorie. C*est qu'en effet, dans les conditions où se font les expériences, on se trouve dans un des cas particuliers, où quoique le terme complémentaire soit du troisième degré, les équations du mouvement sont linéaires.

Pour le montrer considérons une onde plane polarisée, et prenons pour plan des xy un plan parallèle à Tonde. Le déplacement électrique s^effectuant dans le plan de Tonde (180) la composante h est nulle. En outre fti gnt dépendent ni de X ni de y. Par conséquent le terme complémentaire (16) se réduit à

/^(•^+fi)-

Les composantes a, p, y de la force magnétique peuvent être considérées comme la somme des composantes de la force magnétique du champ constant dans lequel se trouve le milieu traversé par Tonde et des composantes de la force magnétique du champ dont les perturbations périodiques donnent lieu aux phénomènes lumineux. Ces dernières composantes sont variables avec le temps. Mais nous savons que la force magnétique du champ périodique est dirigée dans le plan de Tonde ; sa composante suivant Taxe des z est donc nulle dans le cas qui nous occupe. Par suite la quantité Y qui entre dans Texpression précédente du terme com-

POLARISATION ROTATOIRB MAGNÉTIQUE 269

plémentaire a pour valeur la composante suivant Taxe des z du champ constant produit par les aimants ou les courants. Cette quantité étant constante le terme complémentaire n'est

plus que du second degré par rapport à a, p, -j^ et j- et les

équations du mouvement redeviennent linéaires.

On peut d'ailleurs faire voir autrement que y est une constante. En effet, écrivons l'équation de Lagrange relative à cette quantité ; nous aurons

Or d'après Cauchy, U ne dépend pas de C ; par suite il est indépendant de y et le second membre de cette équation est nul. Le premier terme est aussi nul puisque T, qui a ici pour valeur

ne contient pas y'. Par conséquent Féquation précédente se réduit à

rfy

ou, en remplaçant T par la valeur précédente et effectuant la dérivation.

Pour que y soit constant il suffit donc que le second terme

270 ÉLBÇTftlCnt BT QPTIQUB

le soit également. Or, si nous tenons compte ëes rdstkNM (15) qui donnent les composantes du déplacement, nous atroiis pour ce terme

ou, puisque Tonde est perpendiculaire à l'axe des z.

ou enfin

Mais l ei -¥[ étant les composantes du déplacement d'une molécule d'éther, ces quantités satisfont aux équations

Ç = r cos {nd — qz), Tj = r sin {nt — qz).

Si nous calculons les dérivées de Ç et ii par rapport à / et leurs dérivées secondes par rapport à ^ et si nous portons les valeurs ainsi trouvées dans le terme précédent, nous obtenons

Crhiq^ [— cos {nt—qz) cos (w^— g^)— sin (nt—qz) sin (rU'—qz)]

= — Gr^nq.

C'est donc une quantité indépendante de <; par suite y est constant.

229. Une autre difficulté de la théorie découle de Tapplication des propriétés des tourbillons d'HelmhoUz aux tourbillons moléculaires d'un milieu soumis au magnétisme. En

effet il faut nécessairement que l'énergie de ce milieu ait pour valeur

è/(«* + P'4-Y')rf^-

Or, si a, p, y sont, comme l'admet Maxwell, les composantes d'un tourbillon d'Helmholtz l'énergie kinétique du milieu a une valeur toute différente.

Il parait assez difficile d'aplanir cette difficulté. On ne pourrait guère y parvenir qu'en modifiant profondément la théorie de Maxwell et ces modifications la rapprocheraient de la théorie proposée par M. Potier.

230. Théorie de M. Potier. — Cette théorie est fondée sur les deux hypothèses suivantes:

1* La matière pondérable participe dans une certaine mesure, variable avec la longueur d'onde, au mouvement de l'éther;

2o Les molécules d'un corps pondérable deviennent de véritables aimants sous l'action d'un champ magnétique.

La première hypothèse, déjà admise par Presnel, semble (confirmée par les expériences de M. Fizeau sur l'entraînement de l'éther; la seconde est conforme au mode ordinaire d'interprétation des propriétés magnétiques ou diamagné-* tiques des milieux pondérables.

De ces deux hypothèses il résulte que chaque molécule aimantée du milieu éprouve un déplacement périodique lorsqu'un rayon traverse ce milieu. En général ce déplacement n'est pas une translation, les deux pôles de l'aimant se dépla* çant de quantités inégales ; la direction de l'axe magnétique

d'une molécule change donc périodiquement ainsi que les composantes de son moment magnétique et, par suite, des forces électromotrices d'induction prennent naissance dans le milieu. Ces forces s'ajoutant à celles qui résultent de la perturbation magnétique constituant la lumière, la loi qui lie cette perturbation au temps se trouve modifiée et on conçoit que le plan de polarisation change d'azimut.

231. Montrons, en effet, que les hypothèses de M. Potier conduisent à introduire dans l'expression de Ténergie kinétique le terme complémentaire de Maxwel et, par conséquent, permettent de retrouver la formule (I) d'Airy.

Soient a?, y, ^ et a? + Zœ, y + 5y, z + 8-8' les coordonnées des pôles d'une molécule aimantée dans sa position normale, et -^ m et — m les masses magnétiques respectives de ces pôles; nous avons pour les composantes du moment magnétique de la molécule,

mZWf w5y, mS^.

Pour avoir les valeurs nouvelles de ces composantes lorsque la molécule est dérangée de sa position d'équilibre par l'effet de la perturbation lumineuse, il nous faut connaître la direction suivant laquelle la matière pondérable est entraînée par cette perturbation. Nous admettrons, ce qui est le plus naturel, que cette direction est celle du déplacement électrique. Gomme d'ailleurs, dans la théorie électromagnétique, le déplacement électrique est perpendiculaire au plan de polarisation (189), cette hypothèse revient à admettre que la matière pondérable se déplace suivant la direction de la vibration de Fresnel. Si donc /*, g, h sont les conaposantes du

déplacement électrique au point œ, y,^, et c un coefficient de proportionnalité, nous aurons pour les coordonnées de Tun des pôles de la molécule déplacée,

et pour les coordonnées de Tautre pôle,

a?4"8aj + e/*-f"^V» y + 5y + e^ 4" ^?^> s-j-^z + th-^tZh.

La variation 8/* de la composante / du déplacement pour les variations Sa?, 8y, hz des coordonnées peut se développer suivant les puissances croissantes de ces dernières quantités ; en négligeant les termes du second degré et des degrés plus élevés, nous aurons

Par conséquent les composantes du moment magnétique de la molécule déplacée sont données par

m (Sa? + ttf) = mtœ '\- t-L mZœ + e ~- mly + c ^ wSa?,

et deux autres expressions analogues. yP ^ ^ ^^ R S I T Y)

282. Introduisons les composantes de la magnétisation. Soient Â, B, C ces composantes au point a?, y, z; A', B', G leurs nouvelles valeurs quand ce point s'est déplacé de s/; «^, ^h; nous avons

Agît = mSa?, B8t = wSy, Crfr = m%x

A'rfT=m(Sa?-f-»8/), B'dT=m(8y-f-s8^), C'cfr=m(8-3r-f-e8A),

ÉLICTftiCITÉ BT OPTIQUI. 18

dxéisLui le volume de la molécule aimantée. Par suite la dernière égalité do paragraphe précédent peut s'écrire

Haie les composantes de la magnétisation aont liées à celles de la force magnétique (103) par les relations

A = xa, B = xp, G = xy

X étant la fonction magnétisante. Par conséquent Tégalité précédente devient, lorsqu'ony remplace A, B, C par ces valeurs,

^'-- + «(«£ + p| + rd,j

(1) A'=x«+.xjf