Il vient en appliquant cette règle

/p8tf ^ rfT = — / A -^ (p8y) dx.

^v^^ ^^ fU *^^^^

OU en additionnant et tenant compte ées équations (4) et (5) :

y. ,; ^U^Â r^' / ' 5W = J^8pc/T,

ou en vertu de Téquation de Poisson généralisée :

En appliquant le môme lemme que tout à Theure, il vient:

AâK^â)

ou encore, en remarquant que le pouvoir inducteur K, n'est pas altéré par les déplacements des masses éleclriques et par

conséquent que 8K = o :

f^iii-È)]

d. = - I Kdr^

dx

On obtiendrait par symétrie deux autres équations analogues, et en les additionnant et divisant par — 47c, on trouverait :

ft 2 (£)'"■•

L'énergie potentielle du système a donc pour valeur

la constante d'intégration étant nulle , puisque l'énergie ^

potentielle doit être nulle quand tout l'espace est à Télat neutre, et que dans ce cas le potentiel en chaque point a la même valeur, zéro.

82. L'intégrale du second membre de l'expression (6) doit être étendue à tout l'espace, mais il revient au même de ne l'étendre qu'à l'espace occupé par le diéleclrique^car les éléments de l'intégrale qui correspondent à des points situés à l'intérieur des conducteurs sont nuls. En effet en tout point d'un conducteur le potentiel a même valeur et par suite, ses

dérivées partielles -r»-? -t^j -^^ sont également nulles.

Cette remarque permel de transformer Texpression (6), en tout point d'un diélectrique, nous avons d*après les hypothèses de Maxwell,

' Ai: dx Ai: dy Ai: dz

et en portant les valeurs des dérivées parlielles du potentiel <{/, déduites de ces relations dans le second membrede(3),iivienl

Telle est Ténergie potentielle d'un système électrisé exprimée à Taide des notations de Maxwell .

88. Cherchons maintenant Texpression de cette énergie considérée comme résultant de la déformation du fluide inducteur.

Soient Xc?t, Yrfx, Zc/t les trois composantes de la force qui agit sur un élément d'z du fluide inducteur lorsque ce fluide se trouve en équiUbre contraint par suite de la charge des conducteurs placés dans le diélectrique. Si les molécules électriques qui composent le système subissent un déplacement infiniment petit, les composantes/*,^, A, du déplacement de Télément tfr du fluide inducteur prennent des accroissements 8/*, 8^, Ih, Le travail élémentaire de la force qui s*exerce sur cet élément a pour valeur

(X8/ 4- \lg -f Z8A) cfT,

et le travail total sur tous les éléments du fluide inducteur est

AxS/- + Y8^ + ZSA) rfx,

l'intégrale étant étendue à tout Tespace occupé par le diélectrique. La variation de Ténergie potentielle du système, qui ne diffère que par le signe de la variation du travail, est donc

= — Axa/- + ^[Zg -f Z8A) rfx.

84. Élasticité du fluide inducteur. — L'identification de celte expression avec la suivante

BW= / i?(/3/-+^8^.+ m)rfT.

déduite de Tégalité (7) nous donne pour les valeurs des composantes X, Y, Z,

Ces relations nous montrent que les composantes de la force qui s'exerce sur un élément d-c du fluide inducteur sont proportionnelles aux composantes du déplacement électrique. La force élastique du fluide inducteur est donc dirigée suivant le déplacement et le rapport de sa grandeur à celle du déplace-

ment est égal à -rp- Nous verrons plus lard que dans le cas où

le diéleclrique est un milieu cristallisé la force élastique n'est plus dirigée suivant le déplacement; les conclusions précé-

dentés ne s'appliquent qu'aux milieux diélectriques isotropes.

35. 11 est à peine besoin de faire remarquer combien l'élasticité du fluide inducteur est difl^érente de Télasticité des gaz ou de Téther lumineux. Dans les gaz et dans Téther l'énergie potentielle dépend seulement des positions relatives des molécules et non de leur position absolue dans l'espace; par suite il n'y a pas réaction élastique quand un de ces fluides se déplace sans se déformer. Il en est tout autrement pour le fluide inducteur. Tout se passe comme si chacune des molécules de ce fluide était attirée proporlionnellementà la distance par sa position d'équilibre jiormai. 11 résulterait de là que si l'on donnait à toutes ces molécules un môme mouvement de translation sans que leur situation relative variât, l'élasticilé n'en devrait pas moins entrer enjeu. Cette élasticité toute particulière que doit posséder le fluide inducteur paraît difficile à admettre. On ne conçoit pas comment le point mathématique où se trouve une molécule de fluide inducteur en équilibre normal, pourraagirsur cette molécule pour la ramènera sa position d'équilibre quand une cause électrique l'en aura déplacée. On concevrait plus facilement que ce sont les molécules matérielles du diélectrique qui agissent sur les molécules du fluide inducteur pénétrant le milieu pondérable. Mais celte hypothèse ne lèverait pas toutes les difficultés, car elle n'expliquerait pas l'élasticité du fluide inducteur répandu dans le vide. En outre l'action delà matière sur le fluide inducteur entraînerait Texistence d'une réaction de ce fluide surla matière; or, on n'a constaté aucune manifestation de cette réaction.

36. On pourrait encore supposer l'existence de deux fluides inducteurs se pénétrant et dont les molécules de l'un agiraient

sur les molécules de Tautre dès quelles seraient dérangées de leurs positions d'équilibre normal. Mais si cette hypothèse a Tavantage de ramener Télaslicité spéciale au fluide inducteur à Télaslicité telle qu'on la conçoit ordinairement, elle a Tinconvénient d'être plus compliquée que celle deTexistence d'un seul fluide. Aussi crbyons-nous que l'hypothèse du fluide inducteur de Maxwell n'est que transitoire et qu'elle sera remplacée par une autre plus logique dès que les progrès de la science le permettront. On peut nous objecter que Maxwell n'a pas introduit cette hypothèse du fluide inducteur; mais, comme nous l'avons dit au commencement de ce chapitre^ si le mot n'est pas dans l'ouvrage de ce physicien, la chose s'y trouve ; seulement ce que nous avons appelé fluide inducteur est désigné par le mot électricité ; dans le langage de Maxwel l'électricité des diélectriques est supposée élastiquj. tandis que l'électricité des conducteurs est supposée inerte. Ces propriétés diiîérentes attribuées à deux fluides désignés par le môme nom sont la cause du manque de clarté que présentent certains passages de l'ouvrage de Maxwell. C'est uniquement pour éviter cette obscurité que nous avons introduit le mot de fluide inducteur dans l'exposé des idées de Maxwell.

87. Distribution électrique. — Pour achever de justifler les hypothèses de Maxwell, il nous faut maintenant montrer que les lois expérimentales de la distribution électrique en sont une conséquence nécessaire.

Commençons par rappeler ces lois. On sait que cette distribution ne dépend que d'une certaine fonction ^, le potentiel, assujettie à diverses conditions. Dans toute l'étendue du diélectrique celte fonction «j/ est continue ainsi que ses déri-

ÉLBCTRICITÉ BT OPTIQUE. 3

vées et satisfait à la relation

en tout point d'un conducteur elle a une valeur constante, mais en un point de la surface ses dérivées ne sont pas continues. Enfin cette fonction s'annuUe pour les points situés à l'infini.

L*étude de la distribution électrique sur un conducteur conduit à introduire une nouvelle quantité, la densité^^iecr trique superficielle. Si nous désignons par q la quantité d'électricité répandue sur un élément de surface o^, la relation de Poisson, étendue au cas où le diélectrique est autre que Tair, donne

K --p diù = — 4m.

La densité superficielle S- a donc pour expression

(j -^zi — •— — *" 47crfn

I Mais on peut supposer que la couche de fluide électrique répandue à la surface a une densité constante et que son épais-

j seur est proportionnelle à <x ; c'est à cette dernière interpré- I tation qne nous nous attacherons.

\Vi

88. Revenons à la théorie de Maxwell. Dans cette théorie nous avons deux fluides incompressibles, le fluide inducteur I et le fluide électrique auxquels nous admettrons que Ton puisse appliquer les lois de Thydrostatique. On sait que si p

est la pression en un point x, y, z, d'un tel fluide, les composantes X, Y, Z, de la force élastique résultant du déplacement de ce point, ont pour valeurs

X = ^» Y = ^, Z = ^• dœ dy dz

Si nous désignons par <]/ la pression en un point du fluide inducteur, nous avons

dx dy dz

Mais nous avons vu dans le paragraphe 34 que les com- J^ posantes de la force élastique sont égales aux produits des

composantes du déplacement par — —• Nous avons donc

^'dx~ K '' dy~ K ^' dz ~ K

De ces relations on déduit

' At: dœ ^ Ai: dx A^n dx

Ces nouvelles relations sont précisément celles qui définissent les composantes du déplacement, ^ désignant alors le potentiel. Pour Justifier la manière dont nous avons défini, d*après Maxwell, les composantes du déplacement électrique, il nous . faut montrer queja jjressiQa ^ an un point du fluide indue- / teur n'est autre chose que le potentiel. / //